1. 数形结合思想[知识生成]我们知道，通过不同方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式.图(1)是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c.
(1)图中阴影部分的面积用两种方法可分别表示为
(2)你能得出的a,b,c之间的数量关系是
[知识应用]
(3)一个直角三角形的两条直角边长分别为5和12，则其斜边长为
[知识迁移]通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式.
(4)如图(2)表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图(2)中图形的变化关系，以整式乘法形式写出一个代数恒等式.
(1)图中阴影部分的面积用两种方法可分别表示为
c²-2ab
，(b-a)²
；(2)你能得出的a,b,c之间的数量关系是
a²+b²=c²
（等号两边需化为最简形式）.[知识应用]
(3)一个直角三角形的两条直角边长分别为5和12，则其斜边长为
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.[知识迁移]通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式.
(4)如图(2)表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图(2)中图形的变化关系，以整式乘法形式写出一个代数恒等式.
答案：(1) $c^2-2ab$，$(b-a)^2$
(2) $a^2+b^2=c^2$ [解析] $\because c^2-2ab=(b-a)^2,\therefore c^2-2ab=b^2-2ab+a^2,\therefore a^2+b^2=c^2.$
(3)13 [解析]因为直角三角形的两条直角边长为5和12,所以$c^2=5^2+12^2=169$,所以$c=13.$
(4)根据题意可知,题图(2)左边的图形体积为$x^3-x$,右边的图形的体积为$x(x+1)(x-1)$,所以$x^3-x=x(x+1)(x-1).$
(2) $a^2+b^2=c^2$ [解析] $\because c^2-2ab=(b-a)^2,\therefore c^2-2ab=b^2-2ab+a^2,\therefore a^2+b^2=c^2.$
(3)13 [解析]因为直角三角形的两条直角边长为5和12,所以$c^2=5^2+12^2=169$,所以$c=13.$
(4)根据题意可知,题图(2)左边的图形体积为$x^3-x$,右边的图形的体积为$x(x+1)(x-1)$,所以$x^3-x=x(x+1)(x-1).$
2. (2026·四川乐山市中区期末)造纸厂只生产面积约为1 $m^2$的长方形纸张，称为A0纸，其他纸张都在A0纸的基础上裁剪获得，这是全球最广泛使用的纸张规格体系，叫ISO216标准.如图(1)，我们把A0纸沿其长边中点所在直线裁剪，得到新的纸张A1，把A1纸沿其长边中点所在直线裁剪，得到新的纸张A2，由此方法我们可以得到A系列纸张A1,A2,A3,A4….
查阅资料知A系列纸张的规格如下：
| 规格 | A0 | A1 | A2 | A3 | A4 |
|------------|------|------|------|------|------|
| 长/mm | 1189 | 841 | 594 | 420 | 297 |
| 宽/mm | 841 | 图2 | 420 | 297 | 210 |
| 长与宽的比值 | 1.41 | 1.41 | 1.41 | ▲ | ▲ |
(1)请计算A3,A4纸的长与宽之比(结果保留两位小数)，并填在上面表中；
(2)通过查阅资料，可知A系列纸的长与宽之比为一个固定的无理数，请求出这个数；
(3)如图(2)，已知长方形ABCD是一张A4纸，E,F分别为边AD,CD的中点，请判断$△ BEF$的形状，并说明理由(提示：$(2\sqrt{2})^2=8$).
查阅资料知A系列纸张的规格如下：
| 规格 | A0 | A1 | A2 | A3 | A4 |
|------------|------|------|------|------|------|
| 长/mm | 1189 | 841 | 594 | 420 | 297 |
| 宽/mm | 841 | 图2 | 420 | 297 | 210 |
| 长与宽的比值 | 1.41 | 1.41 | 1.41 | ▲ | ▲ |
(1)请计算A3,A4纸的长与宽之比(结果保留两位小数)，并填在上面表中；
(2)通过查阅资料，可知A系列纸的长与宽之比为一个固定的无理数，请求出这个数；
(3)如图(2)，已知长方形ABCD是一张A4纸，E,F分别为边AD,CD的中点，请判断$△ BEF$的形状，并说明理由(提示：$(2\sqrt{2})^2=8$).
答案：(1)1.41 1.41
(2)设A0纸的长和宽分别为a mm和b mm，
由题意可知,A系列纸张的长与宽的比值为一个固定的无理数,$\therefore \frac{a}{b}=\frac{b}{\frac{a}{2}},\therefore a=\sqrt{2}b$或$a=-\sqrt{2}b$(舍去),
$\therefore \frac{a}{b}=\sqrt{2}$,即A0纸的长与宽的比值是$\sqrt{2}$.
同理可知,A1纸的长为b mm,宽为$\frac{a}{2}$mm,A2纸的长为$\frac{a}{2}$mm,宽为$\frac{b}{2}$mm,$\therefore \frac{b}{\frac{a}{2}}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{b}{2}}$.
$\because a=\sqrt{2}b,\therefore \frac{b}{\frac{\sqrt{2}b}{2}}=\frac{\frac{\sqrt{2}b}{2}}{\frac{b}{2}}=\sqrt{2}$,
即A1纸的长与宽的比值是$\sqrt{2}$,
同理,可得A系列纸的长与宽的比均为$\sqrt{2}$.
(3)$△ BEF$是直角三角形.理由如下：
由(2)知,A系列纸的长与宽的比值均为$\sqrt{2}$,
设$AB=CD=2x$,则$AD=BC=2\sqrt{2}x$.
$\because E,F$分别为边$AD,CD$的中点,
$\therefore AE=DE=\frac{1}{2}AD=\sqrt{2}x,DF=CF=\frac{1}{2}CD=x$,
$\therefore EF^2=x^2+(\sqrt{2}x)^2=3x^2,BF^2=x^2+(2\sqrt{2}x)^2=9x^2$,
$BE^2=(2x)^2+(\sqrt{2}x)^2=6x^2$,
$\therefore BF^2=EF^2+BE^2,\therefore △ BEF$是直角三角形.
(2)设A0纸的长和宽分别为a mm和b mm，
由题意可知,A系列纸张的长与宽的比值为一个固定的无理数,$\therefore \frac{a}{b}=\frac{b}{\frac{a}{2}},\therefore a=\sqrt{2}b$或$a=-\sqrt{2}b$(舍去),
$\therefore \frac{a}{b}=\sqrt{2}$,即A0纸的长与宽的比值是$\sqrt{2}$.
同理可知,A1纸的长为b mm,宽为$\frac{a}{2}$mm,A2纸的长为$\frac{a}{2}$mm,宽为$\frac{b}{2}$mm,$\therefore \frac{b}{\frac{a}{2}}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{b}{2}}$.
$\because a=\sqrt{2}b,\therefore \frac{b}{\frac{\sqrt{2}b}{2}}=\frac{\frac{\sqrt{2}b}{2}}{\frac{b}{2}}=\sqrt{2}$,
即A1纸的长与宽的比值是$\sqrt{2}$,
同理,可得A系列纸的长与宽的比均为$\sqrt{2}$.
(3)$△ BEF$是直角三角形.理由如下：
由(2)知,A系列纸的长与宽的比值均为$\sqrt{2}$,
设$AB=CD=2x$,则$AD=BC=2\sqrt{2}x$.
$\because E,F$分别为边$AD,CD$的中点,
$\therefore AE=DE=\frac{1}{2}AD=\sqrt{2}x,DF=CF=\frac{1}{2}CD=x$,
$\therefore EF^2=x^2+(\sqrt{2}x)^2=3x^2,BF^2=x^2+(2\sqrt{2}x)^2=9x^2$,
$BE^2=(2x)^2+(\sqrt{2}x)^2=6x^2$,
$\therefore BF^2=EF^2+BE^2,\therefore △ BEF$是直角三角形.