3. 综合与实践
[问题驱动]如何验证勾股定理及探究勾股数？
[活动操作]小明参照教材用4张全等的直角三角形纸片拼成如图所示的五边形ABEFG.
[探索新知]
(1)从面积的角度思考,请用两种方法计算五边形ABEFG的面积,并写出得到等式$a^2 + b^2 = c^2$的过程；
(2)如果满足等式$a^2 + b^2 = c^2$的$a,b,c$是三个正整数,我们称$a,b,c$为勾股数.已知$m,n$是正整数且$m＞n$,证明:$2mn, m^2 - n^2, m^2 + n^2$是勾股数；
[灵活运用]
(3)在如图所示的五边形ABEFG中,若$a=4,b=8$,则空白部分的面积为
(4)请写出任意一组含有85的“勾股数”
[问题驱动]如何验证勾股定理及探究勾股数？
[活动操作]小明参照教材用4张全等的直角三角形纸片拼成如图所示的五边形ABEFG.
[探索新知]
(1)从面积的角度思考,请用两种方法计算五边形ABEFG的面积,并写出得到等式$a^2 + b^2 = c^2$的过程；
(2)如果满足等式$a^2 + b^2 = c^2$的$a,b,c$是三个正整数,我们称$a,b,c$为勾股数.已知$m,n$是正整数且$m＞n$,证明:$2mn, m^2 - n^2, m^2 + n^2$是勾股数；
[灵活运用]
(3)在如图所示的五边形ABEFG中,若$a=4,b=8$,则空白部分的面积为
48
；(4)请写出任意一组含有85的“勾股数”
85,3 612,3 613(答案不唯一)
.答案：
(1)如图,延长GM交BE于点D.
方法一:$S_{五边形ABEFG}=S_{正方形ABDN}+S_{正方形MDEF}+S_{△ MFG}+S_{△ ANG}=b^2+a^2+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab=a^2+b^2+ab$；
方法二:$S_{五边形ABEFG}=S_{正方形ACFG}+S_{△ ABC}+S_{△ CEF}=c^2+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab=c^2+ab$,
$\therefore a^2+b^2+ab=c^2+ab,\therefore a^2+b^2=c^2$.
(2)$\because (2mn)^2=4m^2n^2$,$(m^2-n^2)^2=m^4+n^4-2m^2n^2$,$(m^2+n^2)^2=m^4+n^4+2m^2n^2$,
$\therefore (2mn)^2+(m^2-n^2)^2=(m^2+n^2)^2$.
$\because m,n$是正整数且$m＞n$,
$\therefore 2mn,m^2-n^2,m^2+n^2$都是正整数,
$\therefore 2mn,m^2-n^2,m^2+n^2$是勾股数.
(3)48 [解析]$\because a=4,b=8,\therefore$由(1)可知,
$S_{五边形ABEFG}=a^2+b^2+ab=4^2+8^2+4×8=112$.
又$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×4×8=16$,
$\therefore$空白部分的面积为$112-4×16=48$.
(4)85,3 612,3 613(答案不唯一) [解析]不妨假设$m^2-n^2=85,m,n$是正整数且$m＞n$,
$\therefore (m+n)(m-n)=85=1×85=5×17$.
①当$\begin{cases}m+n=85,\\m-n=1\end{cases}$时,解得$\begin{cases}m=43,\\n=42,\end{cases}$
$\therefore 2mn=3\ 612,m^2+n^2=3\ 613$,
$\therefore 85,3\ 612,3\ 613$是一组勾股数.
②当$\begin{cases}m+n=17,\\m-n=5\end{cases}$时,解得$\begin{cases}m=11,\\n=6,\end{cases}$
$\therefore 2mn=132,m^2+n^2=157$,
$\therefore 85,132,157$是一组勾股数.
(1)如图,延长GM交BE于点D.
方法一:$S_{五边形ABEFG}=S_{正方形ABDN}+S_{正方形MDEF}+S_{△ MFG}+S_{△ ANG}=b^2+a^2+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab=a^2+b^2+ab$；
方法二:$S_{五边形ABEFG}=S_{正方形ACFG}+S_{△ ABC}+S_{△ CEF}=c^2+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab=c^2+ab$,
$\therefore a^2+b^2+ab=c^2+ab,\therefore a^2+b^2=c^2$.
(2)$\because (2mn)^2=4m^2n^2$,$(m^2-n^2)^2=m^4+n^4-2m^2n^2$,$(m^2+n^2)^2=m^4+n^4+2m^2n^2$,
$\therefore (2mn)^2+(m^2-n^2)^2=(m^2+n^2)^2$.
$\because m,n$是正整数且$m＞n$,
$\therefore 2mn,m^2-n^2,m^2+n^2$都是正整数,
$\therefore 2mn,m^2-n^2,m^2+n^2$是勾股数.
(3)48 [解析]$\because a=4,b=8,\therefore$由(1)可知,
$S_{五边形ABEFG}=a^2+b^2+ab=4^2+8^2+4×8=112$.
又$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×4×8=16$,
$\therefore$空白部分的面积为$112-4×16=48$.
(4)85,3 612,3 613(答案不唯一) [解析]不妨假设$m^2-n^2=85,m,n$是正整数且$m＞n$,
$\therefore (m+n)(m-n)=85=1×85=5×17$.
①当$\begin{cases}m+n=85,\\m-n=1\end{cases}$时,解得$\begin{cases}m=43,\\n=42,\end{cases}$
$\therefore 2mn=3\ 612,m^2+n^2=3\ 613$,
$\therefore 85,3\ 612,3\ 613$是一组勾股数.
②当$\begin{cases}m+n=17,\\m-n=5\end{cases}$时,解得$\begin{cases}m=11,\\n=6,\end{cases}$
$\therefore 2mn=132,m^2+n^2=157$,
$\therefore 85,132,157$是一组勾股数.
4. 新考法 用数形结合思想证明等量关系（2025·江西抚州期中改编）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释。
（第4题）
(1)如图(1)，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$BC=a$，$AC=b$，$AB=c$，以$Rt△ ABC$的三边长向外作正方形的面积分别为$S_1,S_2,S_3$，试猜想$S_1,S_2,S_3$之间存在的等量关系，直接写出结论。
(2)如图(2)，如果以$Rt△ ABC$的三边长$a,b,c$为直径向外作半圆，那么第(1)问的结论是否成立？请说明理由。
(3)如图(3)，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，三边分别为5,12,13，分别以它的三边为直径向上作半圆，求图中阴影部分的面积。
视频学重难
（第4题）(1)如图(1)，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$BC=a$，$AC=b$，$AB=c$，以$Rt△ ABC$的三边长向外作正方形的面积分别为$S_1,S_2,S_3$，试猜想$S_1,S_2,S_3$之间存在的等量关系，直接写出结论。
(2)如图(2)，如果以$Rt△ ABC$的三边长$a,b,c$为直径向外作半圆，那么第(1)问的结论是否成立？请说明理由。
(3)如图(3)，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，三边分别为5,12,13，分别以它的三边为直径向上作半圆，求图中阴影部分的面积。
视频学重难
答案：(1)$S_1+S_2=S_3$.
(2)成立.理由如下：
设直角三角形两条直角边$BC,AC$分别为$a,b$,斜边$AB$为$c$,
$\therefore S_2=\frac{1}{2}π·(\frac{b}{2})^2=\frac{b^2π}{8},S_1=\frac{1}{2}π·(\frac{a}{2})^2=\frac{a^2π}{8},S_3=\frac{1}{2}π·(\frac{c}{2})^2=\frac{c^2π}{8}$.
$\therefore \frac{a^2π}{8}+\frac{b^2π}{8}=\frac{π(a^2+b^2)}{8}=\frac{π c^2}{8}=S_3,\therefore S_1+S_2=S_3$.
(3)根据(2)的结论,两个以直角边为直径的半圆面积和等于以斜边为直径的半圆面积,故阴影部分的面积$=$三角形$ABC$的面积,$\therefore$阴影部分的面积为$5×12÷2=30$.
(2)成立.理由如下：
设直角三角形两条直角边$BC,AC$分别为$a,b$,斜边$AB$为$c$,
$\therefore S_2=\frac{1}{2}π·(\frac{b}{2})^2=\frac{b^2π}{8},S_1=\frac{1}{2}π·(\frac{a}{2})^2=\frac{a^2π}{8},S_3=\frac{1}{2}π·(\frac{c}{2})^2=\frac{c^2π}{8}$.
$\therefore \frac{a^2π}{8}+\frac{b^2π}{8}=\frac{π(a^2+b^2)}{8}=\frac{π c^2}{8}=S_3,\therefore S_1+S_2=S_3$.
(3)根据(2)的结论,两个以直角边为直径的半圆面积和等于以斜边为直径的半圆面积,故阴影部分的面积$=$三角形$ABC$的面积,$\therefore$阴影部分的面积为$5×12÷2=30$.