任务一 如果小明从一楼到三楼的旋梯需要正好绕圆柱转两圈(即旋转了720°),请计算:
(1)旋梯的垂直总高度是多少米?
(2)在从上向下看的形状图中,旋梯最外侧边缘点形成的圆的半径 R 是多少米?(假设踏面宽度为0.3米)
[类比迁移]实际上,当我们行走在旋梯上时,我们的路径是一条空间曲线——螺旋线.为了估算行走的总路程,我们可以将这条复杂的空间曲线“拉直”成平面斜线进行研究.这需要将“水平方向的绕行路程”和“竖直方向的上升路程”结合起来考虑.
任务二 基于任务一的数据和模型,请完成以下估算.
(1)计算行走路径在水平面上投影的总长度(即绕行的总弧长,从旋梯中点计算).
(2)结合垂直总高度,利用勾股定理,估算出沿旋梯中心线行走的大概总路程 $ L_1 $.
(3)如果要更精确地估算沿最外侧(扶手附近)行走的总路程 $ L_2 $,需要考虑哪些新的因素?请写出你的思路.
(1)旋梯的垂直总高度是多少米?
(2)在从上向下看的形状图中,旋梯最外侧边缘点形成的圆的半径 R 是多少米?(假设踏面宽度为0.3米)
[类比迁移]实际上,当我们行走在旋梯上时,我们的路径是一条空间曲线——螺旋线.为了估算行走的总路程,我们可以将这条复杂的空间曲线“拉直”成平面斜线进行研究.这需要将“水平方向的绕行路程”和“竖直方向的上升路程”结合起来考虑.
任务二 基于任务一的数据和模型,请完成以下估算.
(1)计算行走路径在水平面上投影的总长度(即绕行的总弧长,从旋梯中点计算).
(2)结合垂直总高度,利用勾股定理,估算出沿旋梯中心线行走的大概总路程 $ L_1 $.
(3)如果要更精确地估算沿最外侧(扶手附近)行走的总路程 $ L_2 $,需要考虑哪些新的因素?请写出你的思路.
答案：任务一:
(1)垂直总高度=2×3=6(米).
(2)旋梯最外侧边缘点半径R=r+0.3=0.5+0.3=0.8(米).
任务二:
(1)行走路径在水平面上投影的总长度(中心线):
中心线半径 $r_c=r+\frac{0.3}{2}=0.5+0.15=0.65$(米),
一圈水平投影弧长=$2π×0.65=1.3π$(米),
两圈水平投影总长:
$L_{水平}=2×1.3π=2.6π$(米).
(2)
∵垂直高度 H=6 米,
∴由勾股定理,得
$L_1^2={L_{水平}}^2+H^2=(2.6π)^2+6^2=6.76π^2+36$,
∴$L_1=\sqrt{6.76π^2+36}≈10.14$(米).
(3)更精确估算沿最外侧行走的总路径 $L_2$ 的思路:
①将水平绕行半径替换为最外侧半径 R=0.8 米,重新计算水平总弧长:$L_{水平外}=2×2π R=3.2π$(米);
②再利用勾股定理,结合垂直高度 H=6 米,计算 $L_2=\sqrt{(3.2π)^2+6^2}$;
③若需进一步精确,可考虑台阶实际分布、人行走时路径偏移、旋梯倾斜高度变化等因素.
(1)垂直总高度=2×3=6(米).
(2)旋梯最外侧边缘点半径R=r+0.3=0.5+0.3=0.8(米).
任务二:
(1)行走路径在水平面上投影的总长度(中心线):
中心线半径 $r_c=r+\frac{0.3}{2}=0.5+0.15=0.65$(米),
一圈水平投影弧长=$2π×0.65=1.3π$(米),
两圈水平投影总长:
$L_{水平}=2×1.3π=2.6π$(米).
(2)
∵垂直高度 H=6 米,
∴由勾股定理,得
$L_1^2={L_{水平}}^2+H^2=(2.6π)^2+6^2=6.76π^2+36$,
∴$L_1=\sqrt{6.76π^2+36}≈10.14$(米).
(3)更精确估算沿最外侧行走的总路径 $L_2$ 的思路:
①将水平绕行半径替换为最外侧半径 R=0.8 米,重新计算水平总弧长:$L_{水平外}=2×2π R=3.2π$(米);
②再利用勾股定理,结合垂直高度 H=6 米,计算 $L_2=\sqrt{(3.2π)^2+6^2}$;
③若需进一步精确,可考虑台阶实际分布、人行走时路径偏移、旋梯倾斜高度变化等因素.