【例1】（第七届“学用杯”全国数学知识应用竞赛初赛）如图所示的徽标，是我国古代弦图的变形，该图是由其中的一个$\mathrm{Rt}△ ABC$绕中心点$O$顺时针连续旋转3次，每次旋转$90°$得到的，如果中间小正方形的面积为$1\ \mathrm{cm}^2$，这个图形的总面积为$113\ \mathrm{cm}^2$，且$AD=2\ \mathrm{cm}$，请问徽标的外围周长为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}$.
解析：设$\mathrm{Rt}△ ABC$的较长直角边为$a\ \mathrm{cm}$，较短直角边为$b\ \mathrm{cm}$，斜边为$c\ \mathrm{cm}$.
依题意，得$a-b=3$，$\dfrac{1}{2}ab=\dfrac{113-1}{4}$.
又由勾股定理，得$c^2=a^2+b^2=(a-b)^2+2ab=3^2+112=121$，
所以$c=11$.
所以徽标的外围周长$=4×(11+2)=52(\mathrm{cm})$.
答案：52
解析：设$\mathrm{Rt}△ ABC$的较长直角边为$a\ \mathrm{cm}$，较短直角边为$b\ \mathrm{cm}$，斜边为$c\ \mathrm{cm}$.
依题意，得$a-b=3$，$\dfrac{1}{2}ab=\dfrac{113-1}{4}$.
又由勾股定理，得$c^2=a^2+b^2=(a-b)^2+2ab=3^2+112=121$，
所以$c=11$.
所以徽标的外围周长$=4×(11+2)=52(\mathrm{cm})$.
答案：52
答案：解析：设$\mathrm{Rt}△ ABC$的较长直角边为$a\ \mathrm{cm}$，较短直角边为$b\ \mathrm{cm}$，斜边为$c\ \mathrm{cm}$.
依题意，得$a-b=3$，$\dfrac{1}{2}ab=\dfrac{113-1}{4}$.
又由勾股定理，得$c^2=a^2+b^2=(a-b)^2+2ab=3^2+112=121$，
所以$c=11$.
所以徽标的外围周长$=4×(11+2)=52(\mathrm{cm})$.
答案：52
依题意，得$a-b=3$，$\dfrac{1}{2}ab=\dfrac{113-1}{4}$.
又由勾股定理，得$c^2=a^2+b^2=(a-b)^2+2ab=3^2+112=121$，
所以$c=11$.
所以徽标的外围周长$=4×(11+2)=52(\mathrm{cm})$.
答案：52
【例2】（第二十一届江苏省初中数学竞赛）若一个直角三角形三边的长$a,b,c$都是整数，且满足$a＜b＜c$，$a+c=49$，则这个直角三角形的面积为
解析：$\because a^2 + b^2 = c^2$，$a + c = 49$，
$\therefore a^2 + b^2 = (49 - a)^2$，
即$b^2 = 49×(49 - 2a)$。
由题意，得$49 - 2a = 1,4,9,16,25,36$，
解得整数$a = 24,20,12$，$\therefore c = 25,29,37$。
由勾股定理，得$b = 7,21,35$。
$\because a ＜ b ＜ c$，
$\therefore a = 12,b = 35,c = 37$或$a = 20,b = 21,c = 29$。
故直角三角形的面积为$\frac{1}{2}×12×35 = 210$或$\frac{1}{2}×20×21 = 210$。
答案：210
210
。解析：$\because a^2 + b^2 = c^2$，$a + c = 49$，
$\therefore a^2 + b^2 = (49 - a)^2$，
即$b^2 = 49×(49 - 2a)$。
由题意，得$49 - 2a = 1,4,9,16,25,36$，
解得整数$a = 24,20,12$，$\therefore c = 25,29,37$。
由勾股定理，得$b = 7,21,35$。
$\because a ＜ b ＜ c$，
$\therefore a = 12,b = 35,c = 37$或$a = 20,b = 21,c = 29$。
故直角三角形的面积为$\frac{1}{2}×12×35 = 210$或$\frac{1}{2}×20×21 = 210$。
答案：210
答案：解析：$\because a^2 + b^2 = c^2$，$a + c = 49$，
$\therefore a^2 + b^2 = (49 - a)^2$，
即$b^2 = 49×(49 - 2a)$。
由题意，得$49 - 2a = 1,4,9,16,25,36$，
解得整数$a = 24,20,12$，$\therefore c = 25,29,37$。
由勾股定理，得$b = 7,21,35$。
$\because a ＜ b ＜ c$，
$\therefore a = 12,b = 35,c = 37$或$a = 20,b = 21,c = 29$。
故直角三角形的面积为$\frac{1}{2}×12×35 = 210$或$\frac{1}{2}×20×21 = 210$。
答案：210
$\therefore a^2 + b^2 = (49 - a)^2$，
即$b^2 = 49×(49 - 2a)$。
由题意，得$49 - 2a = 1,4,9,16,25,36$，
解得整数$a = 24,20,12$，$\therefore c = 25,29,37$。
由勾股定理，得$b = 7,21,35$。
$\because a ＜ b ＜ c$，
$\therefore a = 12,b = 35,c = 37$或$a = 20,b = 21,c = 29$。
故直角三角形的面积为$\frac{1}{2}×12×35 = 210$或$\frac{1}{2}×20×21 = 210$。
答案：210
1.（“学用杯”全国数学知识应用竞赛初赛）为了美化环境，净化城市的天空，某市要将建在西里（城中村）的一座高50 m的烟囱拆除，由于烟囱附近的房子密集，拆除只能采取分段拆除，若烟囱折断时，顶端下来正好砸在距烟囱底部10 m的地方最安全，那么按以上要求该烟囱应从底部向上
24
m处折断。答案：1. 24
[解析]设应从底部向上x米处折断，则折断后构成的直角三角形的另外两边分别为(50−x)米、10米，
由勾股定理，得$10^2 +x^2=(50−x)^2$，解得x=24. 故烟囱应从底部向上24米处折断。
[解析]设应从底部向上x米处折断，则折断后构成的直角三角形的另外两边分别为(50−x)米、10米，
由勾股定理，得$10^2 +x^2=(50−x)^2$，解得x=24. 故烟囱应从底部向上24米处折断。
2.（时代学习报第三届数学文化节复赛）如图(1)是一面长方形彩旗完全展平时的示意图(单位:cm),其中长方形ABCD是由白布缝制的穿旗杆用的旗裤,阴影部分CDEF为长方形绸缎旗面,如图(2),将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上,旗杆顶端到地面的高度为220 cm,在无风的天气里,求彩旗自然下垂时最低处离地面的高度h.
答案：
2. 如图，连接DF.
∵在Rt△DEF中，EF=90 cm，ED=120 cm，
∴$DF^2=EF^2+DE^2=90^2+120^2=22500$，
∴DF=150 cm，
∴h=220−150=70(cm).
故在无风的天气里，彩旗自然下垂时最低处离地面的高度h为70 cm.
2. 如图，连接DF.
∵在Rt△DEF中，EF=90 cm，ED=120 cm，
∴$DF^2=EF^2+DE^2=90^2+120^2=22500$，
∴DF=150 cm，
∴h=220−150=70(cm).
故在无风的天气里，彩旗自然下垂时最低处离地面的高度h为70 cm.