1.（改编自《实验班 中考数学压轴题》）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(-1,1)，第2次接着运动到点(-2,0)，第3次接着运动到点(-3,2)，第4次接着运动到点(-4,0)，…，按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点P的坐标是(
A.(2025,0)
B.(-2025,1)
C.(-2025,0)
D.(-2025,2)
B
)。A.(2025,0)
B.(-2025,1)
C.(-2025,0)
D.(-2025,2)
答案：1.B [解析]根据动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动,第1次从原点运动到点(-1,1),第2次接着运动到点(-2,0),第3次接着运动到点(-3,2),第4次运动到点(-4,0),第5次接着运动到点(-5,1),…,
∴横坐标为运动次数的相反数,
∴经过第2025次运动后,动点P的横坐标为-2025.
∵纵坐标为1,0,2,0,每4次一轮,2025÷4=506……1,
∴经过第2025次运动后,动点P的纵坐标为四个数中的第1个,即为1,
∴经过第2025次运动后,动点P的坐标是(-2025,1).故选B.
∴横坐标为运动次数的相反数,
∴经过第2025次运动后,动点P的横坐标为-2025.
∵纵坐标为1,0,2,0,每4次一轮,2025÷4=506……1,
∴经过第2025次运动后,动点P的纵坐标为四个数中的第1个,即为1,
∴经过第2025次运动后,动点P的坐标是(-2025,1).故选B.
2. 将正整数按如图所示的规律在平面直角坐标系中进行排列，每个正整数对应一个整点坐标$(x,y)$，且$x,y$均为整数. 如5对应的坐标为$(-1,1)$，9对应的坐标为$(1,-1)$，则2026对应的坐标是
(23,-22)
.答案：2.(23,-22) [解析]观察平面直角坐标系中点的排列规律可知,数$i^2$($i$为奇数)对应的点在第四象限的角平分线上,又$45^2=2025$,由$2n+1=45$,得$n=22$,所以数2025对应的坐标为$(22,-22)$.又$2026-2025=1$,所以数2026对应的坐标为$(23,-22)$.
思路引导 观察图的结构,发现所有奇数的平方数都在第四象限的角平分线上.依此先确定2025的坐标为$(22,-22)$,再根据图的结构求得2026对应的坐标.
思路引导 观察图的结构,发现所有奇数的平方数都在第四象限的角平分线上.依此先确定2025的坐标为$(22,-22)$,再根据图的结构求得2026对应的坐标.
3.（2024·绥化中考）如图，已知$A_1(1,-\sqrt{3})$，$A_2(3,-\sqrt{3})$，$A_3(4,0)$，$A_4(6,0)$，$A_5(7,\sqrt{3})$，$A_6(9,\sqrt{3})$，$A_7(10,0)$，$A_8(11,-\sqrt{3})$，…，依此规律，则点$A_{2024}$的坐标为
(2891,-√3)
。答案：3.(2891,-√3) [解析]由题知,点$A_1$的坐标为$(1,-\sqrt{3})$,点$A_2$的坐标为$(3,-\sqrt{3})$,点$A_3$的坐标为$(4,0)$,点$A_4$的坐标为$(6,0)$,点$A_5$的坐标为$(7,\sqrt{3})$,点$A_6$的坐标为$(9,\sqrt{3})$,点$A_7$的坐标为$(10,0)$,点$A_8$的坐标为$(11,-\sqrt{3})$,点$A_9$的坐标为$(13,-\sqrt{3})$,点$A_{10}$的坐标为$(14,0)$,点$A_{11}$的坐标为$(16,0)$,…,由此可见,每隔七个点,点$A_n$的横坐标增加10,且纵坐标按$-\sqrt{3},-\sqrt{3},0,0,\sqrt{3},\sqrt{3},0$循环出现,又因为$2024÷7=289……1$,所以$1+289×10=2891$,则点$A_{2024}$的坐标为$(2891,-\sqrt{3})$.
4. 在同一平面内，若一个点到一条直线的距离不大于1，则称这个点是该直线的“伴侣点”.在平面直角坐标系中，已知点$M(1,0)$，过点$M$作直线$l$平行于$y$轴，点$A(-1,a)$，点$B(b,2a)$，点$C(-\dfrac{1}{2},a-1)$，将三角形$ABC$进行平移，平移后点$A$的对应点为点$D$，点$B$的对应点为点$E$，点$C$的对应点为点$F$.
(1)试判断点$A$是否是直线$l$的“伴侣点”？请说明理由.
(2)若点$F$刚好落在直线$l$上，$F$的纵坐标为$a+b$，点$E$落在$x$轴上，且$△ MFD$的面积为$\dfrac{1}{12}$，试判断点$B$是否是直线$l$的“伴侣点”？请说明理由.
(1)试判断点$A$是否是直线$l$的“伴侣点”？请说明理由.
(2)若点$F$刚好落在直线$l$上，$F$的纵坐标为$a+b$，点$E$落在$x$轴上，且$△ MFD$的面积为$\dfrac{1}{12}$，试判断点$B$是否是直线$l$的“伴侣点”？请说明理由.
答案：4.(1)不是.理由如下：
∵点A的坐标为$(-1,a)$,
∴点A到直线l的距离为2.
又2＞1,
∴点A不是直线l的“伴侣点”.
(2)点B是直线l的“伴侣点”.理由如下：
∵$C(-\dfrac{1}{2},a-1),F(1,a+b)$,
∴平移后的对应点横坐标增加了$\dfrac{3}{2}$,纵坐标增加了$b+1$,
∴$D(\dfrac{1}{2},a+b+1),E(b+\dfrac{3}{2},2a+b+1)$.
∵点E落在x轴上，
∴$2a+b+1=0$.
∵$△MFD$的面积为$\dfrac{1}{12}$,
∴$\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}|a+b|=\dfrac{1}{12},∴a+b=±\dfrac{1}{3}$.
当$a+b=\dfrac{1}{3}$时,解得$a=-\dfrac{4}{3},b=\dfrac{5}{3}$,此时点B的坐标为$(\dfrac{5}{3},-\dfrac{8}{3})$,点B是直线l的“伴侣点”;
当$a+b=-\dfrac{1}{3}$时,解得$a=-\dfrac{2}{3},b=\dfrac{1}{3}$,此时点B的坐标为$(\dfrac{1}{3},-\dfrac{4}{3})$,点B是直线l的“伴侣点”.
∵点A的坐标为$(-1,a)$,
∴点A到直线l的距离为2.
又2＞1,
∴点A不是直线l的“伴侣点”.
(2)点B是直线l的“伴侣点”.理由如下：
∵$C(-\dfrac{1}{2},a-1),F(1,a+b)$,
∴平移后的对应点横坐标增加了$\dfrac{3}{2}$,纵坐标增加了$b+1$,
∴$D(\dfrac{1}{2},a+b+1),E(b+\dfrac{3}{2},2a+b+1)$.
∵点E落在x轴上，
∴$2a+b+1=0$.
∵$△MFD$的面积为$\dfrac{1}{12}$,
∴$\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}|a+b|=\dfrac{1}{12},∴a+b=±\dfrac{1}{3}$.
当$a+b=\dfrac{1}{3}$时,解得$a=-\dfrac{4}{3},b=\dfrac{5}{3}$,此时点B的坐标为$(\dfrac{5}{3},-\dfrac{8}{3})$,点B是直线l的“伴侣点”;
当$a+b=-\dfrac{1}{3}$时,解得$a=-\dfrac{2}{3},b=\dfrac{1}{3}$,此时点B的坐标为$(\dfrac{1}{3},-\dfrac{4}{3})$,点B是直线l的“伴侣点”.