任务一 探究速度范围。
若某车从路口A绿灯开始时出发，匀速行驶。若要连续通过三个路口，其速度范围应是多少？（提示：需保证到达每个路口时均处于该路口绿灯时段内，结果保留一位小数）
[类比迁移]“绿波带”的设计核心是协调周期与车速。设某路段相邻路口间距为L米，主干道绿灯时长为G秒，全信号周期为C秒。理想“绿波速度”v应满足车辆在绿灯亮起后到达下*一个路口时，该路口绿灯仍处于开启状态。
若某车从路口A绿灯开始时出发，匀速行驶。若要连续通过三个路口，其速度范围应是多少？（提示：需保证到达每个路口时均处于该路口绿灯时段内，结果保留一位小数）
[类比迁移]“绿波带”的设计核心是协调周期与车速。设某路段相邻路口间距为L米，主干道绿灯时长为G秒，全信号周期为C秒。理想“绿波速度”v应满足车辆在绿灯亮起后到达下*一个路口时，该路口绿灯仍处于开启状态。
答案：设速度为v米/秒，相邻路口间距L=800米.
由题意可知,各路口绿灯时段(以A绿灯启动时刻为0秒)
路口A:0~40秒,
路口B:20~50秒(持续30秒),
路口C:35~70秒(持续35秒).
则到达各路口的时间:到达B的时间为$t_B=\frac{800}{v}$,到达C的时间为$t_C=\frac{1600}{v}$.
建立不等式组:
在B路口:$20≤\frac{800}{v}≤50,(v＞0)$,
解得$16≤ v≤40$;
在C路口:$35≤\frac{1600}{v}≤70(v＞0),\therefore v≥\frac{1600}{70}\approx22.86,v≤\frac{1600}{35}\approx45.71$,即$22.86≤ v≤45.71$;
取公共解集:$22.86≤ v≤40$,
换算单位:$1\ \mathrm{m/s}=3.6$千米/时,
得$22.86×3.6\approx82.3$(千米/时),$40×3.6=144.0$(千米/时).
故速度范围为22.86~40米/秒,即82.3~144.0千米/时.
由题意可知,各路口绿灯时段(以A绿灯启动时刻为0秒)
路口A:0~40秒,
路口B:20~50秒(持续30秒),
路口C:35~70秒(持续35秒).
则到达各路口的时间:到达B的时间为$t_B=\frac{800}{v}$,到达C的时间为$t_C=\frac{1600}{v}$.
建立不等式组:
在B路口:$20≤\frac{800}{v}≤50,(v＞0)$,
解得$16≤ v≤40$;
在C路口:$35≤\frac{1600}{v}≤70(v＞0),\therefore v≥\frac{1600}{70}\approx22.86,v≤\frac{1600}{35}\approx45.71$,即$22.86≤ v≤45.71$;
取公共解集:$22.86≤ v≤40$,
换算单位:$1\ \mathrm{m/s}=3.6$千米/时,
得$22.86×3.6\approx82.3$(千米/时),$40×3.6=144.0$(千米/时).
故速度范围为22.86~40米/秒,即82.3~144.0千米/时.
任务二 根据以上关系，完成以下问题.
(1)若$L=600$米，$G=40$秒，周期$C=120$秒，车辆从第一个路口绿灯亮起时出发，为保证在第二个路口遇到绿灯，其平均速度至少为多少？
(2)如果希望“绿波速度”控制在36千米/时（即10米/秒），在$L=500$米，$G=40$秒，$C=100$秒的条件下，第二个路口的绿灯应相对于第一个路口延迟多少秒开启？
(1)若$L=600$米，$G=40$秒，周期$C=120$秒，车辆从第一个路口绿灯亮起时出发，为保证在第二个路口遇到绿灯，其平均速度至少为多少？
(2)如果希望“绿波速度”控制在36千米/时（即10米/秒），在$L=500$米，$G=40$秒，$C=100$秒的条件下，第二个路口的绿灯应相对于第一个路口延迟多少秒开启？
答案：(1)题目未直接给出第二个路口的绿灯启动延迟时间.在绿波设计中,相邻路口绿灯启动时间通常相差一个固定的偏移量.为保证车辆能遇到绿灯,到达时间必须落在绿灯窗口内.
最稳妥的假设:第二个路口的绿灯与第一个路口的绿灯同时启动(即偏移量为0),这样车辆只需在第一个绿灯结束前到达即可.这是保证“遇到绿灯”的最宽松条件,由此求得的速度是最小可能速度.故若第二个路口绿灯与第一个路口同时启动(0秒启动),则绿灯时段为0~40秒.车辆需在40秒内到达,
即$v≥\frac{600}{40}=15$(米/秒),
$15×3.6=54$(千米/时).
故平均速度至少为15米/秒(或54千米/时).
说明:在实际绿波设计中,相邻路口绿灯通常会有意错开一段时间,使车辆以某一理想速度行驶时能在绿灯中期到达,从而获得更大的缓冲.此时最小速度会低于15 m/s,但题目未给偏移量,故按最保守情况计算.
(2)车速$v=10$米/秒,行驶时间$t=\frac{L}{v}=\frac{500}{10}=50$(秒).
设第二个路口绿灯相对于第一个路口延迟d秒启动.已知绿灯时长$G=40$秒(与第一个路口相同),周期$C=100$秒.
第二个路口的绿灯时段为
$[d,d+40],[d+100,d+140],[d+200,d+240],\dots$
车辆到达时刻50秒需落在某个绿灯时段内.
情况1:落在第一个周期:
$d≤50≤ d+40,\therefore10≤ d≤50$;
情况2:落在第二个周期:
$d+100≤50≤ d+140,\therefore-90≤ d≤-50$,
$d=-50$相当于延迟-50秒,即提前50秒启动,等价于延迟50秒(周期100),即$d=50$秒;$d=-90$相当于延迟-90秒,即提前90秒启动,等价于延迟10秒,即$d=10$秒,这已包含在情况1中.
因此,d的取值范围是$10≤ d≤50$.
在实际绿波设计中,常取中间值使车辆在绿灯中期到达,即让车辆到达时刻位于绿灯时段的正中央.绿灯时长40秒,中期为20秒处,所以$d+20=50$,解得$d=30$秒.
故延迟时间应在10~50秒之间,推荐取30秒.
最稳妥的假设:第二个路口的绿灯与第一个路口的绿灯同时启动(即偏移量为0),这样车辆只需在第一个绿灯结束前到达即可.这是保证“遇到绿灯”的最宽松条件,由此求得的速度是最小可能速度.故若第二个路口绿灯与第一个路口同时启动(0秒启动),则绿灯时段为0~40秒.车辆需在40秒内到达,
即$v≥\frac{600}{40}=15$(米/秒),
$15×3.6=54$(千米/时).
故平均速度至少为15米/秒(或54千米/时).
说明:在实际绿波设计中,相邻路口绿灯通常会有意错开一段时间,使车辆以某一理想速度行驶时能在绿灯中期到达,从而获得更大的缓冲.此时最小速度会低于15 m/s,但题目未给偏移量,故按最保守情况计算.
(2)车速$v=10$米/秒,行驶时间$t=\frac{L}{v}=\frac{500}{10}=50$(秒).
设第二个路口绿灯相对于第一个路口延迟d秒启动.已知绿灯时长$G=40$秒(与第一个路口相同),周期$C=100$秒.
第二个路口的绿灯时段为
$[d,d+40],[d+100,d+140],[d+200,d+240],\dots$
车辆到达时刻50秒需落在某个绿灯时段内.
情况1:落在第一个周期:
$d≤50≤ d+40,\therefore10≤ d≤50$;
情况2:落在第二个周期:
$d+100≤50≤ d+140,\therefore-90≤ d≤-50$,
$d=-50$相当于延迟-50秒,即提前50秒启动,等价于延迟50秒(周期100),即$d=50$秒;$d=-90$相当于延迟-90秒,即提前90秒启动,等价于延迟10秒,即$d=10$秒,这已包含在情况1中.
因此,d的取值范围是$10≤ d≤50$.
在实际绿波设计中,常取中间值使车辆在绿灯中期到达,即让车辆到达时刻位于绿灯时段的正中央.绿灯时长40秒,中期为20秒处,所以$d+20=50$,解得$d=30$秒.
故延迟时间应在10~50秒之间,推荐取30秒.