【例】（江苏省初中数学竞赛）如图，在平面直角坐标系中，多边形ABCDEFGH是正八边形，点A的坐标为$(1,0)$，点B的坐标为$(0,1)$，则点E的坐标为________。
解析：如图，延长ED交y轴于点M.由题意可知，点E的横坐标与点H的横坐标相等，点E的纵坐标与点M的纵坐标相等。
$\because A(1,0),B(0,1),$
$\therefore OA=OB=1,$
$\therefore AB=AH=BC=CD=\sqrt{2}.$
又多边形ABCDEFGH是正八边形，
$\therefore ∠ DCM=45°.$
在$\mathrm{Rt}△ MCD$中，易求得$MC=1,$
$\therefore OM=2+\sqrt{2},\therefore E(1+\sqrt{2},2+\sqrt{2}).$
答案：$(1+\sqrt{2},2+\sqrt{2})$
解析：如图，延长ED交y轴于点M.由题意可知，点E的横坐标与点H的横坐标相等，点E的纵坐标与点M的纵坐标相等。
$\because A(1,0),B(0,1),$
$\therefore OA=OB=1,$
$\therefore AB=AH=BC=CD=\sqrt{2}.$
又多边形ABCDEFGH是正八边形，
$\therefore ∠ DCM=45°.$
在$\mathrm{Rt}△ MCD$中，易求得$MC=1,$
$\therefore OM=2+\sqrt{2},\therefore E(1+\sqrt{2},2+\sqrt{2}).$
答案：$(1+\sqrt{2},2+\sqrt{2})$
答案：点E的坐标为$(1+\sqrt{2},2+\sqrt{2})$
1. (全国初中数学竞赛)如图,在平面直角坐标系$xOy$中,等腰梯形$ABCD$的顶点坐标分别为$A(1,1),B(2,-1),C(-2,-1),D(-1,1)$.将$y$轴上一点$P(0,2)$绕点$A$旋转$180°$得点$P_1$,点$P_1$绕点$B$旋转$180°$得点$P_2$,点$P_2$绕点$C$旋转$180°$得点$P_3$,点$P_3$绕点$D$旋转$180°$得点$P_4$,$···$,重复操作依次得到点$P_1,P_2,···$,则点$P_{2024}$的坐标是(
A.$(2022,2)$
B.$(2022,-2)$
C.$(2024,2)$
D.$(0,2)$
C
).A.$(2022,2)$
B.$(2022,-2)$
C.$(2024,2)$
D.$(0,2)$
答案：1.C
2. [全国初中数学竞赛(广东中山)预赛]在平面直角坐标系内,点$A(n,1-n)$一定不在(
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
).A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案：2.C
3. [全国初中数学竞赛(海南赛区)初赛]已知点P在平面直角坐标系中的坐标为$(0,1)$，$O$为坐标原点，$∠ QPO=150°$，且点$P$到点$Q$的距离为2，则点$Q$的坐标为
$(1,1+\sqrt{3})$或$(-1,1+\sqrt{3})$
。答案：3.$(1,1+\sqrt{3})$或$(-1,1+\sqrt{3})$
4.（第二十届“希望杯”全国数学邀请赛）记有序的有理数对$x,y$为$(x,y)$。若$xy＞0$，$|x|y - x=0$且$|x|+|y|=3$，则满足以上条件的有理数对$(x,y)$是
$(2,1)$
或$(-2,-1)$
。答案：4.$(2,1) \quad (-2,-1)$
[解析]$\because xy＞0$,
$\therefore x＞0,y＞0$或$x＜0,y＜0$.
①当$x＞0,y＞0$时,$\because |x|y-x=0$,
$\therefore xy-x=0,\therefore x(y-1)=0$,
$\therefore x=0(舍去)或y-1=0,\therefore y=1$.
$\because |x|+|y|=3,\therefore |x|+1=3$,
$\therefore |x|=2,\therefore x=-2(舍去)或x=2$,
$\therefore$有理数对$(x,y)$是$(2,1)$;
②当$x＜0,y＜0$时,$\because |x|y-x=0$,
$\therefore -xy-x=0,\therefore -x(y+1)=0$,
$\therefore x=0(舍去)或y+1=0,\therefore y=-1$.
$\because |x|+|y|=3,\therefore |x|+1=3$,
$\therefore |x|=2,\therefore x=-2或x=2(舍去)$,
$\therefore$有理数对$(x,y)$是$(-2,-1)$.
故满足条件的有理数对$(x,y)$是$(2,1)$或$(-2,-1)$.
[解析]$\because xy＞0$,
$\therefore x＞0,y＞0$或$x＜0,y＜0$.
①当$x＞0,y＞0$时,$\because |x|y-x=0$,
$\therefore xy-x=0,\therefore x(y-1)=0$,
$\therefore x=0(舍去)或y-1=0,\therefore y=1$.
$\because |x|+|y|=3,\therefore |x|+1=3$,
$\therefore |x|=2,\therefore x=-2(舍去)或x=2$,
$\therefore$有理数对$(x,y)$是$(2,1)$;
②当$x＜0,y＜0$时,$\because |x|y-x=0$,
$\therefore -xy-x=0,\therefore -x(y+1)=0$,
$\therefore x=0(舍去)或y+1=0,\therefore y=-1$.
$\because |x|+|y|=3,\therefore |x|+1=3$,
$\therefore |x|=2,\therefore x=-2或x=2(舍去)$,
$\therefore$有理数对$(x,y)$是$(-2,-1)$.
故满足条件的有理数对$(x,y)$是$(2,1)$或$(-2,-1)$.
5. [全国初中数学竞赛(湖南赛区)复赛]如图,在平面直角坐标系$xOy$中,正方形$ABCD$的中心为坐标原点,顶点$A$的坐标为$(1,1)$,$y$轴上一点$P(0,2)$绕点$A$旋转$180°$得到点$P_1$,点$P_1$绕点$B$旋转$180°$得到点$P_2$,点$P_2$绕点$C$旋转$180°$得点$P_3$,点$P_3$绕点$D$旋转$180°$得点$P_4$,$···$,重复操作依次得到点$P_1,P_2,P_3,···$.求:
(1)点$P_1,P_2,P_3$的坐标;
(2)点$P_{2024}$的坐标.
(1)点$P_1,P_2,P_3$的坐标;
(2)点$P_{2024}$的坐标.
答案：5. (1)$P_1(2,0),P_2(0,-2),P_3(-2,0)$.
(2)重复操作依次可得$P_4=P_8=P,P_5=P_9=P_1,P_6=P_{10}=P_2,P_7=P_{11}=P_3$.
$\because 2024=4×506,\therefore P_{2024}=P_4=P.\therefore P_{2024}(0,2)$.
(2)重复操作依次可得$P_4=P_8=P,P_5=P_9=P_1,P_6=P_{10}=P_2,P_7=P_{11}=P_3$.
$\because 2024=4×506,\therefore P_{2024}=P_4=P.\therefore P_{2024}(0,2)$.