25. 新考法 探究新定义问题 喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义:对于三个正整数,若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数,则称这三个数为“和谐组合”,其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”,最大的整数称为“最大算术平方根”.例:1,4,9这三个数,$\sqrt{1×4}=2$,$\sqrt{1×9}=3$,$\sqrt{4×9}=6$,其结果分别为2,3,6,都是整数,所以1,4,9这三个数称为“和谐组合”,其中最小算术平方根是2,最大算术平方根是6.
(1)请直接判断3,12,16是不是“和谐组合”,
(2)请证明2,8,18这三个数是“和谐组合”,并求出最小算术平方根和最大算术平方根;
(3)已知4,a,25三个数是“和谐组合”,且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍,求a的值.
(1)请直接判断3,12,16是不是“和谐组合”,
不是
(填“是”或“不是”);(2)请证明2,8,18这三个数是“和谐组合”,并求出最小算术平方根和最大算术平方根;
(3)已知4,a,25三个数是“和谐组合”,且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍,求a的值.
答案：25. (1)不是 [解析]根据题意可知,$\sqrt{48}$,$\sqrt{192}$都不是整数,
∴3,12,16 不是“和谐组合”.
(2)
∵$\sqrt{2× 18}=6$,$\sqrt{2× 8}=4$,$\sqrt{18× 8}=12$,
∴2,8,18 这三个数是“和谐组合”.
∴最小算术平方根是 4,最大算术平方根是 12.
(3)
∵最大算术平方根是最小算术平方根的 5 倍,
∴这三个数中最大乘积为最小乘积的 25 倍.分三种情况:
①当$4≤ a≤ 25$时,$25a=25× 4a$,得$a=0$(舍去);
②当$a＜4$时,$4× 25=25× 4a$,得$a=1$,经检验符合题意;
③当$25＜a$时,$25a=25× 4× 25$,得$a=100$,经检验符合题意.综上所述,$a$的值为 1 或 100.
∴3,12,16 不是“和谐组合”.
(2)
∵$\sqrt{2× 18}=6$,$\sqrt{2× 8}=4$,$\sqrt{18× 8}=12$,
∴2,8,18 这三个数是“和谐组合”.
∴最小算术平方根是 4,最大算术平方根是 12.
(3)
∵最大算术平方根是最小算术平方根的 5 倍,
∴这三个数中最大乘积为最小乘积的 25 倍.分三种情况:
①当$4≤ a≤ 25$时,$25a=25× 4a$,得$a=0$(舍去);
②当$a＜4$时,$4× 25=25× 4a$,得$a=1$,经检验符合题意;
③当$25＜a$时,$25a=25× 4× 25$,得$a=100$,经检验符合题意.综上所述,$a$的值为 1 或 100.