7. 数形结合思想,如图,若长方体木箱的长、宽、高分别为12 m,4 m,3 m,则能放进木箱中的直木棒最长为(
A.12 m
B.13 m
C.15 m
D.24 m
B
).A.12 m
B.13 m
C.15 m
D.24 m
答案：
7.B [解析]如图
. $\because BC^2=3^2+4^2=5^2$,$\therefore BC=5\ \mathrm{m}$.
$\because AC=12\ \mathrm{m}$,$\therefore AB^2=AC^2+BC^2=169$,
$\therefore AB=13\ \mathrm{m}$,
$\therefore$ 能放进木箱中的直木棒最长为 13 m. 故选 B.
7.B [解析]如图
. $\because BC^2=3^2+4^2=5^2$,$\therefore BC=5\ \mathrm{m}$.$\because AC=12\ \mathrm{m}$,$\therefore AB^2=AC^2+BC^2=169$,
$\therefore AB=13\ \mathrm{m}$,
$\therefore$ 能放进木箱中的直木棒最长为 13 m. 故选 B.
8. 传统文化 探究赵爽弦图 “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形中的较长直角边长为$a$，较短直角边长为$b$.若$ab=6$，大正方形的面积为16，则小正方形的面积为(
A.8
B.6
C.4
D.3
C
).A.8
B.6
C.4
D.3
答案：8.C [解析]由题意,得 $\begin{cases}ab=6,\\a^2+b^2=16,\end{cases}$
$\therefore$ 小正方形的面积 $=(a-b)^2=a^2+b^2-2ab=16-2×6=4$. 故选 C.
$\therefore$ 小正方形的面积 $=(a-b)^2=a^2+b^2-2ab=16-2×6=4$. 故选 C.
第Ⅱ卷(非选择题 共84分)
二、填空题(每题3分,共30分)
9. 如图,网格中小正方形的边长均为1,小正方形的顶点叫作格点,若△ABC的三个顶点都在格点上,则边AB上的高为
二、填空题(每题3分,共30分)
9. 如图,网格中小正方形的边长均为1,小正方形的顶点叫作格点,若△ABC的三个顶点都在格点上,则边AB上的高为
$\frac{6}{5}$
.答案：
9.$\frac{6}{5}$ [解析]如图
,过点 $C$ 作 $CD⊥ AB$ 于点 $D$,由勾股定理,可知 $AB=5$,
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×5CD=\frac{1}{2}×2×3=3$,$\therefore CD=\frac{6}{5}$.
9.$\frac{6}{5}$ [解析]如图
,过点 $C$ 作 $CD⊥ AB$ 于点 $D$,由勾股定理,可知 $AB=5$,$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×5CD=\frac{1}{2}×2×3=3$,$\therefore CD=\frac{6}{5}$.
10.如图,将长为8 cm的橡皮筋放置在水平面上,固定两端点A和B,然后把中点C垂直向上拉升3 cm至点D,则橡皮筋被拉长了
2
cm.答案：10.2
11.(2025·镇江丹徒区期末)若一个三角形的三边长分别为5,12,13,则这个三角形最长边上的中线长为
$\frac{13}{2}$
.答案：11.$\frac{13}{2}$ [解析]$\because$ 三角形的三边长分别为 5,12,13,符合勾股定理的逆定理 $5^2+12^2=13^2$,
$\therefore$ 此三角形为直角三角形,则 13 为直角三角形的斜边.
$\because$ 三角形斜边上的中线是斜边的一半,
$\therefore$ 三角形最长边上的中线长为 $\frac{13}{2}$.
$\therefore$ 此三角形为直角三角形,则 13 为直角三角形的斜边.
$\because$ 三角形斜边上的中线是斜边的一半,
$\therefore$ 三角形最长边上的中线长为 $\frac{13}{2}$.
12.(2026·宿迁期末)如图,数字代表所在正方形的面积,则A所代表的正方形的面积为
25
.答案：12.25 [解析]由题意可知,直角三角形中,一条直角边的平方为 9,一条直角边的平方为 16,
则斜边的平方为 $9+16=25$.
则斜边的平方为 $9+16=25$.
13. (2026·徐州期末改编)如图,在四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°,M,N分别是对角线BD,AC的中点.若AC=8,BD=10,则MN的长为
3
.答案：
13.3 [解析]如图
,连接 $AM,CM$. 在 $\mathrm{Rt}△ BAD$ 中,$M$ 是 $BD$ 的中点,则
$AM=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×10=5$.
同理,可得 $CM=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×10=5$,$\therefore AM=CM$. $\because N$ 是 $AC$ 的中点,
$\therefore MN⊥ AC$,$AN=NC=\frac{1}{2}AC=4$,
由勾股定理,得 $MN=\sqrt{AM^2-AN^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$.
归纳总结 本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质,熟记在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.
13.3 [解析]如图
,连接 $AM,CM$. 在 $\mathrm{Rt}△ BAD$ 中,$M$ 是 $BD$ 的中点,则$AM=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×10=5$.
同理,可得 $CM=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×10=5$,$\therefore AM=CM$. $\because N$ 是 $AC$ 的中点,
$\therefore MN⊥ AC$,$AN=NC=\frac{1}{2}AC=4$,
由勾股定理,得 $MN=\sqrt{AM^2-AN^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$.
归纳总结 本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质,熟记在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.
14. 如图,在三角形ABC中,BD是边AC的高线,∠A=60°,∠DBC=45°,AB=2,则AC=
$\sqrt{3}+1$
.答案：14.$\sqrt{3}+1$
15. 在$△ ABC$中，$AB=13\ \mathrm{cm}$，$AC=20\ \mathrm{cm}$，边$BC$上的高为$12\ \mathrm{cm}$，则$△ ABC$的面积为
126 或 66
$\mathrm{cm}^2$。答案：
15.126 或 66 [解析]当 $∠ ABC$ 为锐角时(如图
(1)),在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 中,$BD^2=AB^2-AD^2=25$,则 $BD=5\ \mathrm{cm}$. 在 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中,$CD^2=AC^2-AD^2=256$,则 $CD=16\ \mathrm{cm}$,
$\therefore BC=BD+CD=21(\mathrm{cm})$.
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD=\frac{1}{2}×21×12=126(\mathrm{cm}^2)$;
当 $∠ ABC$ 为钝角时(如图(2)),在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 中,$BD^2=AB^2-AD^2=25$,则 $BD=5\ \mathrm{cm}$,在 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中,$CD^2=AC^2-AD^2=256$,则 $CD=16\ \mathrm{cm}$,
$\therefore BC=CD-BD=11(\mathrm{cm})$.
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD=\frac{1}{2}×11×12=66(\mathrm{cm}^2)$.
综上所述,$△ ABC$ 的面积为 $126\ \mathrm{cm}^2$ 或 $66\ \mathrm{cm}^2$.
关键提醒 本题主要考查了勾股定理和三角形的面积公式,画出图形,分类讨论是解答本题的关键.
15.126 或 66 [解析]当 $∠ ABC$ 为锐角时(如图
(1)),在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 中,$BD^2=AB^2-AD^2=25$,则 $BD=5\ \mathrm{cm}$. 在 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中,$CD^2=AC^2-AD^2=256$,则 $CD=16\ \mathrm{cm}$,$\therefore BC=BD+CD=21(\mathrm{cm})$.
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD=\frac{1}{2}×21×12=126(\mathrm{cm}^2)$;
当 $∠ ABC$ 为钝角时(如图
(2)),在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 中,$BD^2=AB^2-AD^2=25$,则 $BD=5\ \mathrm{cm}$,在 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中,$CD^2=AC^2-AD^2=256$,则 $CD=16\ \mathrm{cm}$,$\therefore BC=CD-BD=11(\mathrm{cm})$.
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD=\frac{1}{2}×11×12=66(\mathrm{cm}^2)$.
综上所述,$△ ABC$ 的面积为 $126\ \mathrm{cm}^2$ 或 $66\ \mathrm{cm}^2$.
关键提醒 本题主要考查了勾股定理和三角形的面积公式,画出图形,分类讨论是解答本题的关键.
16.如图,在一款游戏中,一角色到达一个高为10 m的高台A,利用旗杆顶部的绳索,划过$90°$到达与高台A水平距离为17 m,高为3 m的矮台B,则该角色在荡绳索过程中离地面的最低点的高度$MN=$
2
m.答案：
16.2 [解析]如图
,过点 $A$ 作 $AE⊥ OM$ 于点 $E$,过点 $B$ 作 $BF⊥ OM$ 于点 $F$.
$\because ∠ AOE+∠ BOF=∠ BOF+∠ OBF=90°$,
$\therefore ∠ AOE=∠ OBF$.
在 $△ AOE$ 和 $△ OBF$ 中,$\begin{cases}∠ OEA=∠ BFO,\\∠ AOE=∠ OBF,\\AO=OB,\end{cases}$
$\therefore △ AOE≌△ OBF(\mathrm{AAS})$,$\therefore OE=BF$,$AE=OF$,即 $OE+OF=AE+BF=CD=17\ \mathrm{m}$.
$\because EF=EM-FM=AC-BD=10-3=7(\mathrm{m})$,
$\therefore CD=CM+DM=AE+BF=OF+OE=2OE+EF$,
$\therefore 2OE+EF=17$,$\therefore 2OE=10$,$\therefore OE=5\ \mathrm{m}$,
$\therefore OF=12\ \mathrm{m}$,$\therefore OM=OF+FM=15\ \mathrm{m}$.
又由勾股定理,得 $ON=OB=\sqrt{OF^2+BF^2}=13\ \mathrm{m}$,
$\therefore MN=15-13=2(\mathrm{m})$. 故该角色在荡绳索过程中离地面的最低点的高度 $MN$ 为 2 m.
归纳总结 本题主要考查了勾股定理的应用以及全等三角形的应用,正确得出 $△ AOE≌△ OBF$ 是解题关键.
16.2 [解析]如图
,过点 $A$ 作 $AE⊥ OM$ 于点 $E$,过点 $B$ 作 $BF⊥ OM$ 于点 $F$.$\because ∠ AOE+∠ BOF=∠ BOF+∠ OBF=90°$,
$\therefore ∠ AOE=∠ OBF$.
在 $△ AOE$ 和 $△ OBF$ 中,$\begin{cases}∠ OEA=∠ BFO,\\∠ AOE=∠ OBF,\\AO=OB,\end{cases}$
$\therefore △ AOE≌△ OBF(\mathrm{AAS})$,$\therefore OE=BF$,$AE=OF$,即 $OE+OF=AE+BF=CD=17\ \mathrm{m}$.
$\because EF=EM-FM=AC-BD=10-3=7(\mathrm{m})$,
$\therefore CD=CM+DM=AE+BF=OF+OE=2OE+EF$,
$\therefore 2OE+EF=17$,$\therefore 2OE=10$,$\therefore OE=5\ \mathrm{m}$,
$\therefore OF=12\ \mathrm{m}$,$\therefore OM=OF+FM=15\ \mathrm{m}$.
又由勾股定理,得 $ON=OB=\sqrt{OF^2+BF^2}=13\ \mathrm{m}$,
$\therefore MN=15-13=2(\mathrm{m})$. 故该角色在荡绳索过程中离地面的最低点的高度 $MN$ 为 2 m.
归纳总结 本题主要考查了勾股定理的应用以及全等三角形的应用,正确得出 $△ AOE≌△ OBF$ 是解题关键.
17.如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$E$是$AB$的中点，$D$是边$AC$上一点，且$DE ⊥ AB$，连接$DB$，若$AC=6$，$BC=3$，则$CD$的长为________。
答案：17.$\frac{9}{4}$ [解析]$\because E$ 是 $AB$ 的中点,$DE⊥ AB$,
$\therefore DE$ 垂直平分 $AB$,$\therefore BD=AD$,
$\therefore BD+CD=AD+CD=AC=6$.
设 $CD=x$,$\therefore BD=6-x$,
在 $\mathrm{Rt}△ BCD$ 中,$BD^2=CD^2+BC^2$,
$\therefore (6-x)^2=x^2+3^2$,
$\therefore x=\frac{9}{4}$,$\therefore CD=\frac{9}{4}$.
$\therefore DE$ 垂直平分 $AB$,$\therefore BD=AD$,
$\therefore BD+CD=AD+CD=AC=6$.
设 $CD=x$,$\therefore BD=6-x$,
在 $\mathrm{Rt}△ BCD$ 中,$BD^2=CD^2+BC^2$,
$\therefore (6-x)^2=x^2+3^2$,
$\therefore x=\frac{9}{4}$,$\therefore CD=\frac{9}{4}$.