18.(2025·扬州广陵区期末)如图,在正方形ABCD中,AB=4,E为边AB上一点,点F在边BC上,且BF=1,将点E绕着点F顺时针旋转$90°$得到点G,连接DG,则DG的长的最小值为
3
.答案：
18.3 [解析]如图
,过点 $G$ 作 $GH⊥ BC$,垂足为 $H$,
$\therefore ∠ GHF=90°$. $\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,
$\therefore AB=CD=4$,$∠ B=90°$.$\therefore ∠ B=∠ GHF=90°$. 由旋转,得 $EF=FG$,$∠ EFG=90°$,$\therefore ∠ EFB+∠ GFH=90°$.
$\because ∠ BEF+∠ BFE=90°$,$\therefore ∠ BEF=∠ GFH$,
$\therefore △ EBF≌△ FHG(\mathrm{AAS})$,$\therefore BF=GH=1$,
$\therefore$ 点 $G$ 在与 $BC$ 平行且与 $BC$ 的距离为 1 的直线上,
$\therefore$ 当点 $G$ 在边 $CD$ 上时,$DG$ 最小且 $DG=4-1=3$,
$\therefore DG$ 的最小值为 3.
18.3 [解析]如图
,过点 $G$ 作 $GH⊥ BC$,垂足为 $H$,$\therefore ∠ GHF=90°$. $\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,
$\therefore AB=CD=4$,$∠ B=90°$.$\therefore ∠ B=∠ GHF=90°$. 由旋转,得 $EF=FG$,$∠ EFG=90°$,$\therefore ∠ EFB+∠ GFH=90°$.
$\because ∠ BEF+∠ BFE=90°$,$\therefore ∠ BEF=∠ GFH$,
$\therefore △ EBF≌△ FHG(\mathrm{AAS})$,$\therefore BF=GH=1$,
$\therefore$ 点 $G$ 在与 $BC$ 平行且与 $BC$ 的距离为 1 的直线上,
$\therefore$ 当点 $G$ 在边 $CD$ 上时,$DG$ 最小且 $DG=4-1=3$,
$\therefore DG$ 的最小值为 3.
三、解答题(第19～23题每题6分,其余每题8分,共54分)
19.(2026·扬州梅岭中学期末)“儿童散学归来早,忙趁东风放纸鸢”,放学后,小明来到广场上放风筝.如图,已知小明站立的最高点B,风筝正下方一点D和风筝连接点C构成三角形.
(1)经测量,$BD=10\ \mathrm{m}$,$CD=24\ \mathrm{m}$,$BC=26\ \mathrm{m}$,小明判断$△ BCD$是直角三角形,他的说法是否正确,请说明理由；
(2)若小明沿水平方向移动$2\ \mathrm{m}$到点$F$处,此时风筝垂直下降到点$C'$处,测得$FC'=17\ \mathrm{m}$,求风筝垂直下降的高度.
19.(2026·扬州梅岭中学期末)“儿童散学归来早,忙趁东风放纸鸢”,放学后,小明来到广场上放风筝.如图,已知小明站立的最高点B,风筝正下方一点D和风筝连接点C构成三角形.
(1)经测量,$BD=10\ \mathrm{m}$,$CD=24\ \mathrm{m}$,$BC=26\ \mathrm{m}$,小明判断$△ BCD$是直角三角形,他的说法是否正确,请说明理由；
(2)若小明沿水平方向移动$2\ \mathrm{m}$到点$F$处,此时风筝垂直下降到点$C'$处,测得$FC'=17\ \mathrm{m}$,求风筝垂直下降的高度.
答案：19.(1)他的说法正确. 理由如下:
$\because BD=10\ \mathrm{m}$,$CD=24\ \mathrm{m}$,$BC=26\ \mathrm{m}$,
$\therefore$ 根据勾股定理,得 $BD^2+CD^2=10^2+24^2=100+576=676=26^2=BC^2$. $\therefore △ BCD$ 是直角三角形,$∠ BDC=90°$.
(2)根据题意,得 $BF=2\ \mathrm{m}$.
$\because BD=10\ \mathrm{m}$,$\therefore FD=10-2=8(\mathrm{m})$. $\because FC'=17\ \mathrm{m}$,
$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ FDC'$ 中,$DC'=\sqrt{FC'^2-FD^2}=\sqrt{17^2-8^2}=15(\mathrm{m})$.$\therefore CC'=DC-DC'=24-15=9(\mathrm{m})$,故风筝垂直下降的高度为 9 m.
归纳总结 本题考查了勾股定理的应用,勾股定理的逆定理,解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解.
$\because BD=10\ \mathrm{m}$,$CD=24\ \mathrm{m}$,$BC=26\ \mathrm{m}$,
$\therefore$ 根据勾股定理,得 $BD^2+CD^2=10^2+24^2=100+576=676=26^2=BC^2$. $\therefore △ BCD$ 是直角三角形,$∠ BDC=90°$.
(2)根据题意,得 $BF=2\ \mathrm{m}$.
$\because BD=10\ \mathrm{m}$,$\therefore FD=10-2=8(\mathrm{m})$. $\because FC'=17\ \mathrm{m}$,
$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ FDC'$ 中,$DC'=\sqrt{FC'^2-FD^2}=\sqrt{17^2-8^2}=15(\mathrm{m})$.$\therefore CC'=DC-DC'=24-15=9(\mathrm{m})$,故风筝垂直下降的高度为 9 m.
归纳总结 本题考查了勾股定理的应用,勾股定理的逆定理,解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解.
20. 传统文化 《九章算术》 [阅读]能够成为直角三角形三条边长的三个正整数 $ a,b,c $，称为勾股数. 世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为
$\begin{cases}a = \dfrac{1}{2}(m^2 - n^2), \\b = mn, \\c = \dfrac{1}{2}(m^2 + n^2),\end{cases}$
其中 $ m ＞ n ＞ 0, m,n $ 是互质的奇数.
[应用]当 $ n=1 $ 时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长.
$\begin{cases}a = \dfrac{1}{2}(m^2 - n^2), \\b = mn, \\c = \dfrac{1}{2}(m^2 + n^2),\end{cases}$
其中 $ m ＞ n ＞ 0, m,n $ 是互质的奇数.
[应用]当 $ n=1 $ 时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长.
答案：20. 当 $n=1$ 时,$a=\frac{1}{2}(m^2-1)$①,$b=m$②,$c=\frac{1}{2}(m^2+1)$③.
$\because$ 直角三角形有一边长为 5,
$\therefore$ 当 $a=5$ 时,即 $\frac{1}{2}(m^2-1)=5$,
解得 $m^2=11$,与 $b$ 为整数矛盾. 故舍去;
当 $b=5$ 时,即 $m=5$,代入①③,得 $a=12$,$c=13$;
当 $c=5$ 时,$\frac{1}{2}(m^2+1)=5$,解得 $m=3$,
代入①②,得 $a=4$,$b=3$. 综上所述,直角三角形的另外两条边长分别为 12,13 或 3,4.
易错警示 本题考查了勾股定理的逆定理,注意要分类讨论,不要漏解.
$\because$ 直角三角形有一边长为 5,
$\therefore$ 当 $a=5$ 时,即 $\frac{1}{2}(m^2-1)=5$,
解得 $m^2=11$,与 $b$ 为整数矛盾. 故舍去;
当 $b=5$ 时,即 $m=5$,代入①③,得 $a=12$,$c=13$;
当 $c=5$ 时,$\frac{1}{2}(m^2+1)=5$,解得 $m=3$,
代入①②,得 $a=4$,$b=3$. 综上所述,直角三角形的另外两条边长分别为 12,13 或 3,4.
易错警示 本题考查了勾股定理的逆定理,注意要分类讨论,不要漏解.