21.(2025·四川成都期中)八(1)班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝CE的高度，他们进行了如下操作：①测得BD的长度为24米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为30米；③牵线放风筝的小明身高AB为1.68米.
(1)求风筝的高度CE.
(2)若小亮让风筝沿CD方向下降了8米到点M(即$CM=8$米)，则他往回收线多少米？
(1)求风筝的高度CE.
(2)若小亮让风筝沿CD方向下降了8米到点M(即$CM=8$米)，则他往回收线多少米？
答案：
21.(1)由题意,得 $DE=AB=1.68$ 米,$∠ CDB=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ CBD$ 中,由勾股定理,得 $CD^2=BC^2-BD^2=30^2-24^2=18^2$,$\therefore CD=18$ 米,
$\therefore CE=CD+DE=18+1.68=19.68$(米).
故风筝的高度 $CE$ 为 19.68 米.
(2)如图
,连接 $MB$.
$\because CM=8$ 米,$CD=18$ 米,$\therefore MD=CD-CM=18-8=10$(米). 在 $\mathrm{Rt}△ MBD$ 中,由勾股定理,得 $MB^2=MD^2+BD^2=10^2+24^2=676=26^2$,$\therefore MB=26$ 米,$\therefore$ 往回收线的长度是 $BC-MB=30-26=4$(米).
21.(1)由题意,得 $DE=AB=1.68$ 米,$∠ CDB=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ CBD$ 中,由勾股定理,得 $CD^2=BC^2-BD^2=30^2-24^2=18^2$,$\therefore CD=18$ 米,
$\therefore CE=CD+DE=18+1.68=19.68$(米).
故风筝的高度 $CE$ 为 19.68 米.
(2)如图
,连接 $MB$.$\because CM=8$ 米,$CD=18$ 米,$\therefore MD=CD-CM=18-8=10$(米). 在 $\mathrm{Rt}△ MBD$ 中,由勾股定理,得 $MB^2=MD^2+BD^2=10^2+24^2=676=26^2$,$\therefore MB=26$ 米,$\therefore$ 往回收线的长度是 $BC-MB=30-26=4$(米).
22.(2026·苏州工业园区期末)勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,是用代数思想解决几何问题重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一,它不但因为证明方法层出不穷吸引着人们,更因为应用广泛而使人入迷.
(1)应用一:最短路径问题
如图(1),一只蚂蚁从点A沿圆柱侧面爬到相对一侧中点B处,如果圆柱的高为8 cm,圆柱的底面半径为$\frac{3}{π}$ cm,那么最短的路线长是
(2)应用二:解决实际问题
如图(2),某公园有一秋千,秋千静止时,踏板离地的垂直高度$BE=0.5$ m,将它往前推2 m至C处时,即水平距离$CD=2$ m,踏板离地的垂直高度$CF=1.5$ m,它的绳索始终拉直,求绳索AC的长.
(1)应用一:最短路径问题
如图(1),一只蚂蚁从点A沿圆柱侧面爬到相对一侧中点B处,如果圆柱的高为8 cm,圆柱的底面半径为$\frac{3}{π}$ cm,那么最短的路线长是
5
cm;(2)应用二:解决实际问题
如图(2),某公园有一秋千,秋千静止时,踏板离地的垂直高度$BE=0.5$ m,将它往前推2 m至C处时,即水平距离$CD=2$ m,踏板离地的垂直高度$CF=1.5$ m,它的绳索始终拉直,求绳索AC的长.
答案：
22.(1)5 [解析]将圆柱展开得到平面图形,如图
所示:
由题意,可得 $AC=\frac{1}{2}×2π×\frac{3}{π}=3(\mathrm{cm})$,$BC=4\ \mathrm{cm}$,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=5(\mathrm{cm})$.
故最短的路线长是 5 cm.
(2)由题意,可得 $AC=AB$,$DE=CF=1.5\ \mathrm{m}$,$CD=EF=2\ \mathrm{m}$,$BE=0.5\ \mathrm{m}$,
$\therefore BD=DE-BE=1.5-0.5=1(\mathrm{m})$.
设 $AC=x\ \mathrm{m}$,则 $AD=AB-DB=(x-1)\mathrm{m}$.
在 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中,$∠ ADC=90°$,$AD=(x-1)\mathrm{m}$,$AC=x\ \mathrm{m}$,$CD=2\ \mathrm{m}$,
$\therefore AD^2+DC^2=AC^2$,即 $(x-1)^2+2^2=x^2$,
解得 $x=2.5$.
故绳索 $AC$ 的长为 2.5 m.
22.(1)5 [解析]将圆柱展开得到平面图形,如图
所示:由题意,可得 $AC=\frac{1}{2}×2π×\frac{3}{π}=3(\mathrm{cm})$,$BC=4\ \mathrm{cm}$,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=5(\mathrm{cm})$.
故最短的路线长是 5 cm.
(2)由题意,可得 $AC=AB$,$DE=CF=1.5\ \mathrm{m}$,$CD=EF=2\ \mathrm{m}$,$BE=0.5\ \mathrm{m}$,
$\therefore BD=DE-BE=1.5-0.5=1(\mathrm{m})$.
设 $AC=x\ \mathrm{m}$,则 $AD=AB-DB=(x-1)\mathrm{m}$.
在 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中,$∠ ADC=90°$,$AD=(x-1)\mathrm{m}$,$AC=x\ \mathrm{m}$,$CD=2\ \mathrm{m}$,
$\therefore AD^2+DC^2=AC^2$,即 $(x-1)^2+2^2=x^2$,
解得 $x=2.5$.
故绳索 $AC$ 的长为 2.5 m.