23.阅读:如图(1),在$△ ABC$中,$3∠ A+∠ B=180°$,$BC=8$,$AC=10$,求$AB$的长.
小明的思路:如图(2),作$BE⊥ AC$于点$E$,在$AC$的延长线上取点$D$,使得$DE=AE$,连接$BD$,易得$∠ A=∠ D$,$△ ABD$为等腰三角形,由$3∠ A+∠ ABC=180°$和$∠ A+∠ ABC+∠ BCA=180°$,易得$∠ BCA=2∠ A$,$△ BCD$为等腰三角形,依据已知条件可得$AE$和$AB$的长.
解决下列问题:
(1)在图(2)中,$AE=$
(2)在$△ ABC$中,$∠ A$,$∠ B$,$∠ C$的对边分别为$a$,$b$,$c$,如图(3),当$3∠ A+2∠ B=180°$时,用含$a$,$c$的式子表示$b$.
小明的思路:如图(2),作$BE⊥ AC$于点$E$,在$AC$的延长线上取点$D$,使得$DE=AE$,连接$BD$,易得$∠ A=∠ D$,$△ ABD$为等腰三角形,由$3∠ A+∠ ABC=180°$和$∠ A+∠ ABC+∠ BCA=180°$,易得$∠ BCA=2∠ A$,$△ BCD$为等腰三角形,依据已知条件可得$AE$和$AB$的长.
解决下列问题:
(1)在图(2)中,$AE=$
9
,$AB=$12
;(2)在$△ ABC$中,$∠ A$,$∠ B$,$∠ C$的对边分别为$a$,$b$,$c$,如图(3),当$3∠ A+2∠ B=180°$时,用含$a$,$c$的式子表示$b$.
答案：
23.(1)9 12
(2)如图
,过点 $B$ 作 $BE⊥ AC$ 于点 $E$,在 $AC$ 的延长线上取点 $D$,使得 $DE=AE$,连接 $BD$,
则 $BE$ 是边 $AD$ 的垂直平分线,
$\therefore AB=BD$,$∠ A=∠ D$.
$\because 3∠ A+2∠ ABC=180°$,
$∠ A+∠ ABC+∠ ACB=180°$,
$\therefore 2∠ A+∠ ABC=∠ ACB$.
$\because ∠ ACB=∠ D+∠ DBC$,
$\therefore 2∠ A+∠ ABC=∠ D+∠ DBC$.
$\because ∠ A=∠ D$,$\therefore ∠ A+∠ ABC=∠ DBC$.
又 $∠ A+∠ ABC=∠ DCB$,$\therefore ∠ DCB=∠ DBC$,
$\therefore AB=DB=DC=c$.
由题意,得 $DE=AE=\frac{b+c}{2}$,
$\therefore EC=AE-AC=\frac{b+c}{2}-b=\frac{c-b}{2}$.
在 $\mathrm{Rt}△ BEC$ 中,$BE^2=BC^2-EC^2$,
在 $\mathrm{Rt}△ BEA$ 中,$BE^2=BA^2-EA^2$,
$\therefore BC^2-EC^2=BA^2-EA^2$,
即 $a^2-(\frac{c-b}{2})^2=c^2-(\frac{b+c}{2})^2$,
整理,得 $b=\frac{c^2-a^2}{c}$.
归纳总结 本题考查的是勾股定理,线段垂直平分线的性质,如果直角三角形的两条直角边长分别是 $a$,$b$,斜边长为 $c$,那么 $a^2+b^2=c^2$.
23.(1)9 12
(2)如图
,过点 $B$ 作 $BE⊥ AC$ 于点 $E$,在 $AC$ 的延长线上取点 $D$,使得 $DE=AE$,连接 $BD$,则 $BE$ 是边 $AD$ 的垂直平分线,
$\therefore AB=BD$,$∠ A=∠ D$.
$\because 3∠ A+2∠ ABC=180°$,
$∠ A+∠ ABC+∠ ACB=180°$,
$\therefore 2∠ A+∠ ABC=∠ ACB$.
$\because ∠ ACB=∠ D+∠ DBC$,
$\therefore 2∠ A+∠ ABC=∠ D+∠ DBC$.
$\because ∠ A=∠ D$,$\therefore ∠ A+∠ ABC=∠ DBC$.
又 $∠ A+∠ ABC=∠ DCB$,$\therefore ∠ DCB=∠ DBC$,
$\therefore AB=DB=DC=c$.
由题意,得 $DE=AE=\frac{b+c}{2}$,
$\therefore EC=AE-AC=\frac{b+c}{2}-b=\frac{c-b}{2}$.
在 $\mathrm{Rt}△ BEC$ 中,$BE^2=BC^2-EC^2$,
在 $\mathrm{Rt}△ BEA$ 中,$BE^2=BA^2-EA^2$,
$\therefore BC^2-EC^2=BA^2-EA^2$,
即 $a^2-(\frac{c-b}{2})^2=c^2-(\frac{b+c}{2})^2$,
整理,得 $b=\frac{c^2-a^2}{c}$.
归纳总结 本题考查的是勾股定理,线段垂直平分线的性质,如果直角三角形的两条直角边长分别是 $a$,$b$,斜边长为 $c$,那么 $a^2+b^2=c^2$.
24. (2025·苏州相城区月考)对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O.
(1)若$AO=2$，$BO=3$，$CO=4$，$DO=5$，请求出$AB^2$，$BC^2$，$CD^2$，$DA^2$的值；
(2)若$AB=6$，$CD=10$，求$BC^2+AD^2$的值；
(3)请根据(1)(2)题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论.
(1)若$AO=2$，$BO=3$，$CO=4$，$DO=5$，请求出$AB^2$，$BC^2$，$CD^2$，$DA^2$的值；
(2)若$AB=6$，$CD=10$，求$BC^2+AD^2$的值；
(3)请根据(1)(2)题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论.
答案：24. (1)$\because AC⊥ BD$,$\therefore △ ABO$ 是直角三角形,
$\therefore AB^2=AO^2+BO^2$.
同理,可得 $BC^2=BO^2+CO^2$,$CD^2=CO^2+DO^2$,$AD^2=AO^2+DO^2$. $\because AO=2$,$BO=3$,$CO=4$,$DO=5$,
$\therefore AB^2=13$,$BC^2=25$,$CD^2=41$,$AD^2=29$.
(2)由(1)得,$BC^2+AD^2=(BO^2+CO^2)+(AO^2+DO^2)$
$=(BO^2+AO^2)+(CO^2+DO^2)$
$=AB^2+CD^2$,即 $BC^2+AD^2=AB^2+CD^2$.
$\because AB=6$,$CD=10$,
$\therefore BC^2+AD^2=6^2+10^2=136$.
(3)结论:“垂美”四边形的两组对边的平方和相等.
$\therefore AB^2=AO^2+BO^2$.
同理,可得 $BC^2=BO^2+CO^2$,$CD^2=CO^2+DO^2$,$AD^2=AO^2+DO^2$. $\because AO=2$,$BO=3$,$CO=4$,$DO=5$,
$\therefore AB^2=13$,$BC^2=25$,$CD^2=41$,$AD^2=29$.
(2)由(1)得,$BC^2+AD^2=(BO^2+CO^2)+(AO^2+DO^2)$
$=(BO^2+AO^2)+(CO^2+DO^2)$
$=AB^2+CD^2$,即 $BC^2+AD^2=AB^2+CD^2$.
$\because AB=6$,$CD=10$,
$\therefore BC^2+AD^2=6^2+10^2=136$.
(3)结论:“垂美”四边形的两组对边的平方和相等.