25. 新考法 归纳一般结论 如果正整数$a,b,c$满足等式$a^2 + b^2 = c^2$，那么正整数$a,b,c$叫作勾股数.
小明根据自己探究勾股数的过程，列成下表：
(1)小明发现:$3=2^2 -1,4=2×2,5=2^2 +1$,请你根据小明发现的规律写出下一组勾股数:
(2)若$b$用$2n$($n$为整数,且$n≥2$)表示,则$a,c$用含$n$的代数式分别表示为
小明根据自己探究勾股数的过程，列成下表：
(1)小明发现:$3=2^2 -1,4=2×2,5=2^2 +1$,请你根据小明发现的规律写出下一组勾股数:
24,10,26
;(2)若$b$用$2n$($n$为整数,且$n≥2$)表示,则$a,c$用含$n$的代数式分别表示为
$n^2-1$
和$n^2+1$
,请用所学知识说明它们是一组勾股数.答案：25.(1)24,10,26 [解析]$\because$ 第一列:$3=2^2-1$,$4=2×2$,$5=2^2+1$,第二列:$8=3^2-1$,$6=2×3$,$10=3^2+1$,
第三列:$15=4^2-1$,$8=2×4$,$17=4^2+1$,
$\therefore$ 第四列:$5^2-1=24$,$2×5=10$,$5^2+1=26$,
即下一组勾股数是 24,10,26.
(2)$n^2-1$ $n^2+1$ [解析]$\because b=2n$,
$\therefore a=n^2-1$,$c=n^2+1$.
$\because a^2=(n^2-1)^2=n^4-2n^2+1$,$b^2=(2n)^2=4n^2$,$c^2=(n^2+1)^2=n^4+2n^2+1$,$\therefore a^2+b^2=c^2$,
$\therefore a=n^2-1$,$b=2n$,$c=n^2+1$ 是一组勾股数.
第三列:$15=4^2-1$,$8=2×4$,$17=4^2+1$,
$\therefore$ 第四列:$5^2-1=24$,$2×5=10$,$5^2+1=26$,
即下一组勾股数是 24,10,26.
(2)$n^2-1$ $n^2+1$ [解析]$\because b=2n$,
$\therefore a=n^2-1$,$c=n^2+1$.
$\because a^2=(n^2-1)^2=n^4-2n^2+1$,$b^2=(2n)^2=4n^2$,$c^2=(n^2+1)^2=n^4+2n^2+1$,$\therefore a^2+b^2=c^2$,
$\therefore a=n^2-1$,$b=2n$,$c=n^2+1$ 是一组勾股数.
26. 新考法 新定义问题 (2025·扬州广陵区期末)定义:在$△ ABC$中,若$BC=a$,$AC=b$,$AB=c$,$a$,$b$,$c$满足$ac+a^2=b^2$,则称这个三角形为“类勾股三角形”.请根据以上定义解决下列问题:
(1)如图(1),若等腰三角形$ABC$是“类勾股三角形”,$AB=BC$,$AC＞AB$,请求$∠ A$的度数;
(2)如图(2),在$△ ABC$中,$∠ B=2∠ A$,且$∠ C＞∠ A$,求证:$△ ABC$为“类勾股三角形”.小明同学想到可以在$AB$上找一点$D$,使得$AD=CD$,再作$CE⊥ BD$,请你帮助小明完成证明过程.
(1)如图(1),若等腰三角形$ABC$是“类勾股三角形”,$AB=BC$,$AC＞AB$,请求$∠ A$的度数;
(2)如图(2),在$△ ABC$中,$∠ B=2∠ A$,且$∠ C＞∠ A$,求证:$△ ABC$为“类勾股三角形”.小明同学想到可以在$AB$上找一点$D$,使得$AD=CD$,再作$CE⊥ BD$,请你帮助小明完成证明过程.
答案：
26.(1)$\because AB=BC$,$AC＞AB$,$\therefore a=c$,$b＞c$.
$\because △ ABC$ 是类勾股三角形,$\therefore ac+a^2=b^2$,
$\therefore c^2+a^2=b^2$,$\therefore △ ABC$ 是等腰直角三角形,
$\therefore ∠ A=45°$.
(2)如图
,在 $AB$ 上找一点 $D$,使得 $AD=CD$,再过点 $C$ 作 $CE⊥ BD$ 于点 $E$,
$\therefore ∠ A=∠ ACD$,$\therefore ∠ CDB=∠ ACD+∠ A=2∠ A$.
$\because ∠ B=2∠ A$,$\therefore ∠ CDB=∠ B$,$\therefore CD=CB=a$,
$\therefore AD=CD=a$,$\therefore DB=AB-AD=c-a$.
$\because CE⊥ AB$,$\therefore DE=BE=\frac{1}{2}(c-a)$,
$\therefore AE=AD+DE=a+\frac{1}{2}(c-a)=\frac{1}{2}(c+a)$.
在 $\mathrm{Rt}△ ACE$ 中,$CE^2=AC^2-AE^2=b^2-[\frac{1}{2}(c+a)]^2$,
在 $\mathrm{Rt}△ BCE$ 中,$CE^2=BC^2-BE^2=a^2-[\frac{1}{2}(c-a)]^2$,
$\therefore b^2-[\frac{1}{2}(c+a)]^2=a^2-[\frac{1}{2}(c-a)]^2$,
$\therefore b^2=ac+a^2$,$\therefore △ ABC$ 是“类勾股三角形”.
26.(1)$\because AB=BC$,$AC＞AB$,$\therefore a=c$,$b＞c$.
$\because △ ABC$ 是类勾股三角形,$\therefore ac+a^2=b^2$,
$\therefore c^2+a^2=b^2$,$\therefore △ ABC$ 是等腰直角三角形,
$\therefore ∠ A=45°$.
(2)如图
,在 $AB$ 上找一点 $D$,使得 $AD=CD$,再过点 $C$ 作 $CE⊥ BD$ 于点 $E$,$\therefore ∠ A=∠ ACD$,$\therefore ∠ CDB=∠ ACD+∠ A=2∠ A$.
$\because ∠ B=2∠ A$,$\therefore ∠ CDB=∠ B$,$\therefore CD=CB=a$,
$\therefore AD=CD=a$,$\therefore DB=AB-AD=c-a$.
$\because CE⊥ AB$,$\therefore DE=BE=\frac{1}{2}(c-a)$,
$\therefore AE=AD+DE=a+\frac{1}{2}(c-a)=\frac{1}{2}(c+a)$.
在 $\mathrm{Rt}△ ACE$ 中,$CE^2=AC^2-AE^2=b^2-[\frac{1}{2}(c+a)]^2$,
在 $\mathrm{Rt}△ BCE$ 中,$CE^2=BC^2-BE^2=a^2-[\frac{1}{2}(c-a)]^2$,
$\therefore b^2-[\frac{1}{2}(c+a)]^2=a^2-[\frac{1}{2}(c-a)]^2$,
$\therefore b^2=ac+a^2$,$\therefore △ ABC$ 是“类勾股三角形”.