7.(2025·扬州树人中学期末)如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=45°$,过点$C$作$CD⊥ AB$于点$D$,过点$B$作$BM⊥ AC$于点$M$,连接$MD$,过点$D$作$DN⊥ MD$,交$BM$于点$N$,$CD$与$BM$相交于点$E$,若$E$是$CD$的中点,则下列结论:①$AC=BE$;②$DM=DN$;③$S_{△ DEN}=3S_{△ EMC}$.其中正确的有(
A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
A
).A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
答案：
7.A [解析]
∵∠ABC=45°,CD⊥AB于点D,BM⊥AC于点M,
∴∠ADC=∠EDB=∠AMB=∠CME=90°,
∴∠DCB=∠DBC=45°,∠ACD=∠EBD=90°−∠A,
∴CD=BD.
在△ACD和△EBD中,$\begin{cases} ∠ACD=∠EBD, \\ CD=BD, \\ ∠ADC=∠EDB, \end{cases}$
∴△ACD≌△EBD(ASA),
∴AC=BE.
故①正确；
∵DN⊥MD,
∴∠NDM=90°,
∴∠CDM=∠BDN=90°−∠CDN.
在△CDM和△BDN中,$\begin{cases} ∠CDM=∠BDN, \\ CD=BD, \\ ∠MCD=∠NBD, \end{cases}$
∴△CDM≌△BDN(ASA),
∴DM=DN.
故②正确；
如图,作DF⊥MN于点F,则FN=FM,∠DFE=∠CME=90°,
∴$S_{△DFN}=S_{△DFM}$.
∵E是CD的中点,
∴DE=CE.
在△EFD和△EMC中,$\begin{cases} ∠DEF=∠CEM, \\ ∠DFE=∠CME, \\ DE=CE, \end{cases}$
∴△EFD≌△EMC(AAS),
∴EF=EM,$S_{△EFD}=S_{△EMC}$,
∴$S_{△EMD}=S_{△EFD}=S_{△EMC}$,
∴$S_{△DFN}=S_{△DFM}=2S_{△EFD}=2S_{△EMC}$,
∴$S_{△DEN}=S_{△DFN}+S_{△EFD}=2S_{△EMC}+S_{△EMC}=3S_{△EMC}$.
故③正确.故选A.
7.A [解析]
∵∠ABC=45°,CD⊥AB于点D,BM⊥AC于点M,
∴∠ADC=∠EDB=∠AMB=∠CME=90°,
∴∠DCB=∠DBC=45°,∠ACD=∠EBD=90°−∠A,
∴CD=BD.
在△ACD和△EBD中,$\begin{cases} ∠ACD=∠EBD, \\ CD=BD, \\ ∠ADC=∠EDB, \end{cases}$
∴△ACD≌△EBD(ASA),
∴AC=BE.
故①正确；
∵DN⊥MD,
∴∠NDM=90°,
∴∠CDM=∠BDN=90°−∠CDN.
在△CDM和△BDN中,$\begin{cases} ∠CDM=∠BDN, \\ CD=BD, \\ ∠MCD=∠NBD, \end{cases}$
∴△CDM≌△BDN(ASA),
∴DM=DN.
故②正确；
如图,作DF⊥MN于点F,则FN=FM,∠DFE=∠CME=90°,
∴$S_{△DFN}=S_{△DFM}$.
∵E是CD的中点,
∴DE=CE.
在△EFD和△EMC中,$\begin{cases} ∠DEF=∠CEM, \\ ∠DFE=∠CME, \\ DE=CE, \end{cases}$
∴△EFD≌△EMC(AAS),
∴EF=EM,$S_{△EFD}=S_{△EMC}$,
∴$S_{△EMD}=S_{△EFD}=S_{△EMC}$,
∴$S_{△DFN}=S_{△DFM}=2S_{△EFD}=2S_{△EMC}$,
∴$S_{△DEN}=S_{△DFN}+S_{△EFD}=2S_{△EMC}+S_{△EMC}=3S_{△EMC}$.
故③正确.故选A.
8.如图，∠ABC=∠ACB，BD，CD分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACF，连接AD。以下结论：①AD//BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠ADB+∠ACD=90°；④△ABD和△ACD都是等腰三角形。其中正确的结论有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
）。A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案：
8.D [解析]①如图,过点D作DM⊥AB于点M,DP⊥AC于点P,DN⊥BC于点N.
∵BD,CD分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACF,
∴DM=DN,DP=DN,
∴DM=DP,
∴AD平分∠EAC,
∴∠EAD=∠CAD.
∵∠EAC=∠ABC+∠ACB,∠ACB=∠ABC,
∴∠EAD=∠ABC,
∴AD//BC,故①正确；
②
∵AD//BC,
∴∠ADB=∠DBC.
∵BD平分∠ABC,∠ABC=∠ACB,
∴∠ABC=∠ACB=2∠DBC=2∠ADB,
即∠ACB=2∠ADB,故②正确；
③
∵CD平分∠ACF,
∴∠ACF=2∠ACD.
又∠ACB+∠ACF=180°,∠ACB=2∠ADB,
∴2∠ADB+2∠ACD=180°,
∴∠ADB+∠ACD=90°,故③正确；
④
∵BD平分∠ABC,AD//BC,
∴∠ABD=∠DBC,∠ADB=∠DBC,
∴∠ABD=∠ADB,
∴△ABD是等腰三角形.
∵CD平分∠ACF,AD//BC,
∴∠ACD=∠DCN,∠ADC=∠DCN,
∴∠ACD=∠ADC,
∴△ACD是等腰三角形.
故④正确.故选D.
8.D [解析]①如图,过点D作DM⊥AB于点M,DP⊥AC于点P,DN⊥BC于点N.
∵BD,CD分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACF,
∴DM=DN,DP=DN,
∴DM=DP,
∴AD平分∠EAC,
∴∠EAD=∠CAD.
∵∠EAC=∠ABC+∠ACB,∠ACB=∠ABC,
∴∠EAD=∠ABC,
∴AD//BC,故①正确；
②
∵AD//BC,
∴∠ADB=∠DBC.
∵BD平分∠ABC,∠ABC=∠ACB,
∴∠ABC=∠ACB=2∠DBC=2∠ADB,
即∠ACB=2∠ADB,故②正确；
③
∵CD平分∠ACF,
∴∠ACF=2∠ACD.
又∠ACB+∠ACF=180°,∠ACB=2∠ADB,
∴2∠ADB+2∠ACD=180°,
∴∠ADB+∠ACD=90°,故③正确；
④
∵BD平分∠ABC,AD//BC,
∴∠ABD=∠DBC,∠ADB=∠DBC,
∴∠ABD=∠ADB,
∴△ABD是等腰三角形.
∵CD平分∠ACF,AD//BC,
∴∠ACD=∠DCN,∠ADC=∠DCN,
∴∠ACD=∠ADC,
∴△ACD是等腰三角形.
故④正确.故选D.
9. 如图，点$B$，$C$，$D$在同一直线上，若$△ ABC ≌ △ CDE$，$AB=7$，$BD=11$，则$DE=$
4
。答案：9.4
10. (2025·泰州靖江期末)已知一个三角形的三条边的长分别是5,7,10,另一个三角形的三条边的长分别是$5,2x+1,3x+1$.若这两个三角形全等,则$x$的值是
3
.答案：10.3
11.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD$是$△ ABC$的角平分线,$CE$是$△ ABC$的中线,连接$DE$,若$AB=6$,则$DE=\_\_\_\_\_\_$.
答案：11.3
12.(2026·盐城东台期末)如图,一技术人员用刻度尺(单位:cm)测量某三角形部件的尺寸.已知∠ACB=90°,D为边AB的中点,点A,B对应的刻度为1,7,则CD=
3
cm.答案：12.3
13. 如图，I为$△ ABC$的三个内角平分线的交点，$AB=4$，$AC=3$，$BC=2$，将$∠ ACB$平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为
4
。答案：
13.4 [解析]如图,连接AI,BI.
∵I为△ABC的内角平分线的交点,
∴AI平分∠CAB,
∴∠CAI=∠BAI.
由平移可得AC//DI,
∴∠CAI=∠AID,
∴∠BAI=∠AID,
∴AD=DI.
同理可得BE=EI,
∴△DIE的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4,即图中阴影部分的周长为4.
13.4 [解析]如图,连接AI,BI.
∵I为△ABC的内角平分线的交点,
∴AI平分∠CAB,
∴∠CAI=∠BAI.
由平移可得AC//DI,
∴∠CAI=∠AID,
∴∠BAI=∠AID,
∴AD=DI.
同理可得BE=EI,
∴△DIE的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4,即图中阴影部分的周长为4.
14.(2025·宿迁经开区期末)如图,在△ABC中,AD,CE分别是边BC和AB上的高,AD与CE相交于点H,若AE=CE=10,CH=4,则BE=
6
.答案：14.6 [解析]
∵AD和CE分别是边BC和AB上的高,
∴AD⊥BC,CE⊥AB,
∴∠AEH=∠CEB=90°,∠EAH+∠B=90°,∠ECB+∠B=90°,
∴∠EAH=∠ECB.
在△EAH和△ECB中,$\begin{cases} ∠EAH=∠ECB, \\ EA=EC, \\ ∠AEH=∠CEB, \end{cases}$
∴△EAH≌△ECB(ASA),
∴BE=EH.
∵AE=CE=10,CH=4,
∴BE=EH=CE−CH=10−4=6.
∵AD和CE分别是边BC和AB上的高,
∴AD⊥BC,CE⊥AB,
∴∠AEH=∠CEB=90°,∠EAH+∠B=90°,∠ECB+∠B=90°,
∴∠EAH=∠ECB.
在△EAH和△ECB中,$\begin{cases} ∠EAH=∠ECB, \\ EA=EC, \\ ∠AEH=∠CEB, \end{cases}$
∴△EAH≌△ECB(ASA),
∴BE=EH.
∵AE=CE=10,CH=4,
∴BE=EH=CE−CH=10−4=6.
15.(2026·吉林四平期末)如图,已知$PA⊥ON$于点$A$,$PB⊥OM$于点$B$,且$PA=PB$,$∠MON=50°$,$∠OPC=30°$,则$∠PCA=$
55°
.答案：15.55° [解析]
∵PA⊥ON于点A,PB⊥OM于点B,
∴∠PAO=∠PBO=90°.
∵PA=PB,OP=OP,
∴Rt△OAP≌Rt△OBP(HL),
∴∠AOP=∠BOP=$\frac{1}{2}$∠AOB=25°,
∴∠PCA=∠AOP+∠OPC=55°.
∵PA⊥ON于点A,PB⊥OM于点B,
∴∠PAO=∠PBO=90°.
∵PA=PB,OP=OP,
∴Rt△OAP≌Rt△OBP(HL),
∴∠AOP=∠BOP=$\frac{1}{2}$∠AOB=25°,
∴∠PCA=∠AOP+∠OPC=55°.
16. 分类讨论思想,定义:等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰三角形ABC中,∠A=70°,则它的特征值k=
$\frac{14}{11}$或$\frac{4}{7}$
.答案：16.$\frac{14}{11}$或$\frac{4}{7}$ [解析]当∠A为顶角时,∠B=∠C=$\frac{1}{2}$(180°−∠A)=55°,
∴它的特征值k=$\frac{70°}{55°}$=$\frac{14}{11}$；
当∠A为底角时,顶角=180°−2∠A=40°,
∴它的特征值k=$\frac{40°}{70°}$=$\frac{4}{7}$.
∴它的特征值k=$\frac{70°}{55°}$=$\frac{14}{11}$；
当∠A为底角时,顶角=180°−2∠A=40°,
∴它的特征值k=$\frac{40°}{70°}$=$\frac{4}{7}$.