17.如图,在△ABC中,∠B=$\frac{1}{2}$∠C=45°,BC=4,射线BC上有一点P,M,N分别为点P关于直线AB,AC的对称点,连接BM,若BM=3BN,则BP的长为
6或12
.答案：
17.6或12 [解析]如图(1)中,当点N在线段BC上时.
∵M,N分别为点P关于直线AB,AC的对称点,
∴BM=BP,CN=CP.
∵BM=3BN,
∴PB=3BN,
∴BN=CN=PC=2,
∴PB=6.
如图(2)中,当点N在CB的延长线上时,同理可得PB=3BN.
设PC=CN=x,则BN=x−4,PB=4+x,
∴4+x=3(x−4),
∴x=8,
∴PB=4+8=12.
综上所述,BP的长为6或12.
17.6或12 [解析]如图(1)中,当点N在线段BC上时.
∵M,N分别为点P关于直线AB,AC的对称点,
∴BM=BP,CN=CP.
∵BM=3BN,
∴PB=3BN,
∴BN=CN=PC=2,
∴PB=6.
如图(2)中,当点N在CB的延长线上时,同理可得PB=3BN.
设PC=CN=x,则BN=x−4,PB=4+x,
∴4+x=3(x−4),
∴x=8,
∴PB=4+8=12.
综上所述,BP的长为6或12.
18.(2025·广东湛江雷州期末)如图，$AB=14$，$AC=6$，$AC⊥AB$，$BD⊥AB$，垂足分别为$A$，$B$.点$P$从点$A$出发，以每秒2个单位长度的速度沿$AB$向点$B$运动；点$Q$从点$B$出发，以每秒$a$个单位长度的速度沿射线$BD$方向运动.点$P$，$Q$同时出发，当以$P$，$B$，$Q$为顶点的三角形与$△ CAP$全等时，$a$的值为
2或$\frac{12}{7}$
.答案：18.2或$\frac{12}{7}$ [解析]当△CAP≌△PBQ时,则AC=BP,AP=BQ.
∵AC=6,AB=14,
∴PB=6,AP=AB−BP=14−6=8,
∴BQ=8,
∴a=2；
当△CAP≌△QBP时,则AC=BQ,AP=BP.
∵AC=6,AB=14,
∴BQ=6,AP=BP=7,
∴6÷a=7÷2,解得a=$\frac{12}{7}$.
综上所述,a的值为2或$\frac{12}{7}$.
∵AC=6,AB=14,
∴PB=6,AP=AB−BP=14−6=8,
∴BQ=8,
∴a=2；
当△CAP≌△QBP时,则AC=BQ,AP=BP.
∵AC=6,AB=14,
∴BQ=6,AP=BP=7,
∴6÷a=7÷2,解得a=$\frac{12}{7}$.
综上所述,a的值为2或$\frac{12}{7}$.
三、解答题(第19~23题每题6分，其余每题8分，共54分)
19.某中学计划为新生配备如图(1)所示的折叠凳，图(2)是折叠凳撑开后的侧面示意图(木条等材料宽度忽略不计)，其中凳腿AB和CD的长度相等，O是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为35 cm.由以上信息你能求出CB的长度吗？并说明理由.
19.某中学计划为新生配备如图(1)所示的折叠凳，图(2)是折叠凳撑开后的侧面示意图(木条等材料宽度忽略不计)，其中凳腿AB和CD的长度相等，O是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为35 cm.由以上信息你能求出CB的长度吗？并说明理由.
答案：19. CB的长度为35 cm.理由如下：
∵O是AB,CD的中点,
∴OA=OB,OC=OD.
在△AOD和△BOC中,$\begin{cases} OA=OB, \\ ∠AOD=∠BOC, \\ OD=OC, \end{cases}$
∴△AOD≌△BOC(SAS),
∴CB=AD.
∵AD=35 cm,
∴CB=35 cm.
故CB的长度为35 cm.
∵O是AB,CD的中点,
∴OA=OB,OC=OD.
在△AOD和△BOC中,$\begin{cases} OA=OB, \\ ∠AOD=∠BOC, \\ OD=OC, \end{cases}$
∴△AOD≌△BOC(SAS),
∴CB=AD.
∵AD=35 cm,
∴CB=35 cm.
故CB的长度为35 cm.
20. (2025·山东德州期中)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,D是边AB上一点,过点D作$DE⊥ BC$,垂足为E,交CA的延长线于点F.
(1)求证:$AD=AF$;
(2)若$∠ B=2∠ F$,$BE=2$,$CF=16$,求BC的长.
(1)求证:$AD=AF$;
(2)若$∠ B=2∠ F$,$BE=2$,$CF=16$,求BC的长.
答案：20.(1)
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵DE⊥BC,
∴∠FEC=∠DEB=90°,
∴∠C+∠F=90°,∠B+∠BDE=90°,
∴∠BDE=∠F.
∵∠BDE=∠ADF,
∴∠ADF=∠F,
∴AF=AD.
(2)
∵∠B=2∠F,∠B=∠C,
∴∠C=2∠F.
∵∠C+∠F=90°,
∴∠F=30°.
∵∠FEC=90°,CF=16,
∴CE=$\frac{1}{2}$CF=8.
∵BE=2,
∴BC=BE+CE=8+2=10.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵DE⊥BC,
∴∠FEC=∠DEB=90°,
∴∠C+∠F=90°,∠B+∠BDE=90°,
∴∠BDE=∠F.
∵∠BDE=∠ADF,
∴∠ADF=∠F,
∴AF=AD.
(2)
∵∠B=2∠F,∠B=∠C,
∴∠C=2∠F.
∵∠C+∠F=90°,
∴∠F=30°.
∵∠FEC=90°,CF=16,
∴CE=$\frac{1}{2}$CF=8.
∵BE=2,
∴BC=BE+CE=8+2=10.