21.(2025·盐城盐都区期末)如图,点A,B,C,D在一条直线上,AE//BF,DE//CF,AE=BF.
(1)求证:△ADE≌△BCF;
(2)若AB=8,CD=4,求AC的长.
(1)求证:△ADE≌△BCF;
(2)若AB=8,CD=4,求AC的长.
答案：21.(1)
∵AE//BF,
∴∠BAE=∠ABF.
∵DE//CF,
∴∠ADE=∠BCF.
在△ADE和△BCF中,$\begin{cases} ∠DAE=∠CBF, \\ ∠ADE=∠BCF, \\ AE=BF, \end{cases}$
∴△ADE≌△BCF(AAS).
(2)
∵△ADE≌△BCF,
∴AD=BC,
∴AC+CD=BD+CD,
∴AC=BD.
∵AB=8,CD=4,
∴AC+BD=8−4=4,
∴AC=2.
∵AE//BF,
∴∠BAE=∠ABF.
∵DE//CF,
∴∠ADE=∠BCF.
在△ADE和△BCF中,$\begin{cases} ∠DAE=∠CBF, \\ ∠ADE=∠BCF, \\ AE=BF, \end{cases}$
∴△ADE≌△BCF(AAS).
(2)
∵△ADE≌△BCF,
∴AD=BC,
∴AC+CD=BD+CD,
∴AC=BD.
∵AB=8,CD=4,
∴AC+BD=8−4=4,
∴AC=2.
22.(2025·常州天宁区月考)如图，AD是$△ ABC$的角平分线，EF是AD的垂直平分线，分别交AB，AC的于点E，F，连接DE.
(1)求证：$DE// AC$；
(2)若$∠ BED=60°$，试判断$△ AEF$的形状，并说明理由.
(1)求证：$DE// AC$；
(2)若$∠ BED=60°$，试判断$△ AEF$的形状，并说明理由.
答案：22.(1)
∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠EAD=∠DAF.
∵EF是AD的垂直平分线,
∴AE=DE,
∴∠EDA=∠EAD,
∴∠DAF=∠EDA,
∴DE//AC.
(2)△AEF是等边三角形,理由如下：
∵EF⊥AD,
∴∠AOE=∠AOF=90°.
由(1)知,∠OAE=∠OAF,
∴∠AEO=∠AFO,
∴AE=AF,
∴△AEF是等腰三角形.
∵DE//AC,
∴∠EAF=∠BED=60°,
∴△AEF是等边三角形.
【归纳总结】本题考查线段垂直平分线的性质、平行线的判定和性质、等边三角形的判定,关键是掌握内错角相等,两直线平行；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠EAD=∠DAF.
∵EF是AD的垂直平分线,
∴AE=DE,
∴∠EDA=∠EAD,
∴∠DAF=∠EDA,
∴DE//AC.
(2)△AEF是等边三角形,理由如下：
∵EF⊥AD,
∴∠AOE=∠AOF=90°.
由(1)知,∠OAE=∠OAF,
∴∠AEO=∠AFO,
∴AE=AF,
∴△AEF是等腰三角形.
∵DE//AC,
∴∠EAF=∠BED=60°,
∴△AEF是等边三角形.
【归纳总结】本题考查线段垂直平分线的性质、平行线的判定和性质、等边三角形的判定,关键是掌握内错角相等,两直线平行；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
23. 在$△ ABC$中，$∠ ACB＞∠ ABC$，$D$，$E$分别是边$BC$和$BC$延长线上的点，连接$AD$，$AE$，$∠ CAE=∠ B$.
(1)如图(1)，若$∠ ADE=60°$，$∠ CAE=40°$，求$∠ BAD$的度数；
(2)如图(2)，已知$∠ DAE=∠ ADE$，判断$AD$是否平分$∠ BAC$，并说明理由.
(1)如图(1)，若$∠ ADE=60°$，$∠ CAE=40°$，求$∠ BAD$的度数；
(2)如图(2)，已知$∠ DAE=∠ ADE$，判断$AD$是否平分$∠ BAC$，并说明理由.
答案：23.(1)
∵∠CAE=∠B,∠CAE=40°,
∴∠B=40°.
∵∠ADE=∠B+∠BAD,
∴∠BAD=∠ADE−∠B=60°−40°=20°.
(2)AD平分∠BAC.理由如下：
∵∠DAE=∠ADE,且∠DAE=∠DAC+∠CAE,∠ADE=∠B+∠BAD.
∴∠DAC+∠CAE=∠B+∠BAD.
∵∠CAE=∠B,
∴∠DAC=∠BAD,
∴AD平分∠BAC.
∵∠CAE=∠B,∠CAE=40°,
∴∠B=40°.
∵∠ADE=∠B+∠BAD,
∴∠BAD=∠ADE−∠B=60°−40°=20°.
(2)AD平分∠BAC.理由如下：
∵∠DAE=∠ADE,且∠DAE=∠DAC+∠CAE,∠ADE=∠B+∠BAD.
∴∠DAC+∠CAE=∠B+∠BAD.
∵∠CAE=∠B,
∴∠DAC=∠BAD,
∴AD平分∠BAC.