24.如图，AD为△ABC的角平分线.
(1)如图(1)，若CE⊥AD于点F，交AB于点E，AB=7，AC=5，则BE=
(2)如图(2)，若AB=7，AC=5，△ACD的面积是10，求△ABC的面积；
(3)如图(3)，若∠C=2∠B，AB=m，AC=n，请直接写出BD的长(用含m,n的式子表示).
(1)如图(1)，若CE⊥AD于点F，交AB于点E，AB=7，AC=5，则BE=
2
；(2)如图(2)，若AB=7，AC=5，△ACD的面积是10，求△ABC的面积；
(3)如图(3)，若∠C=2∠B，AB=m，AC=n，请直接写出BD的长(用含m,n的式子表示).
答案：
24.(1)2 [解析]
∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠BAD=∠CAD.
∵CE⊥AD,
∴∠CFA=∠EFA.
在△AEF和△ACF中,$\begin{cases} ∠EAF=∠CAF, \\ AF=AF, \\ ∠AFE=∠AFC, \end{cases}$
∴△AEF≌△ACF(ASA),
∴AE=AC.
∵AB=7,AC=5,
∴BE=AB−AE=AB−AC=7−5=2.
(2)如图(1),过点D作DE⊥AC于点E,DF⊥AB于点F.
∵AD为△ABC的角平分线,
∴DF=DE.
∵AC=5,△ACD的面积是10,
∴DE=4,
∴DF=4,
∴$S_{△ABD}=\frac{1}{2}AB·DF=\frac{1}{2}×7×4=14$,
∴$S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△ACD}=14+10=24$.
(3)如图(2),在AB上取AN=AC.
∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠NAD=∠CAD.
在△ADN和△ADC中,$\begin{cases} AN=AC, \\ ∠NAD=∠CAD, \\ AD=AD, \end{cases}$
∴△ADN≌△ADC(SAS),
∴∠AND=∠C,DN=CD.
∵∠C=2∠B,
∴∠AND=2∠B.
又∠AND=∠B+∠BDN,
∴∠B=∠BDN,
∴BN=DN=AB−AN=AB−AC.
∵AB=m,AC=n,
∴CD=DN=BN=m−n.
∵$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$,
∴$\frac{BD}{m−n}=\frac{m}{n}$,
∴$BD=\frac{m}{n}(m−n)$.
24.(1)2 [解析]
∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠BAD=∠CAD.
∵CE⊥AD,
∴∠CFA=∠EFA.
在△AEF和△ACF中,$\begin{cases} ∠EAF=∠CAF, \\ AF=AF, \\ ∠AFE=∠AFC, \end{cases}$
∴△AEF≌△ACF(ASA),
∴AE=AC.
∵AB=7,AC=5,
∴BE=AB−AE=AB−AC=7−5=2.
(2)如图(1),过点D作DE⊥AC于点E,DF⊥AB于点F.
∵AD为△ABC的角平分线,
∴DF=DE.
∵AC=5,△ACD的面积是10,
∴DE=4,
∴DF=4,
∴$S_{△ABD}=\frac{1}{2}AB·DF=\frac{1}{2}×7×4=14$,
∴$S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△ACD}=14+10=24$.
(3)如图(2),在AB上取AN=AC.
∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠NAD=∠CAD.
在△ADN和△ADC中,$\begin{cases} AN=AC, \\ ∠NAD=∠CAD, \\ AD=AD, \end{cases}$
∴△ADN≌△ADC(SAS),
∴∠AND=∠C,DN=CD.
∵∠C=2∠B,
∴∠AND=2∠B.
又∠AND=∠B+∠BDN,
∴∠B=∠BDN,
∴BN=DN=AB−AN=AB−AC.
∵AB=m,AC=n,
∴CD=DN=BN=m−n.
∵$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$,
∴$\frac{BD}{m−n}=\frac{m}{n}$,
∴$BD=\frac{m}{n}(m−n)$.
25. 倍长中线模型(2025·徐州期末)为探究三角形中线的应用，小丽做了如下操作:如图(1),在△ABC中,延长边BC上的中线AD至点M,使DM=AD,连接BM.
[探究发现]如图(1),△ADC≌△MDB的理由是
A. SSS B. SAS C. AAS D. HL
[初步应用]如图(2),在△ABC中,AB=12,AC=8,中线AD的取值范围是
A. $6＜AD＜8$ B. $6≤AD≤8$ C. $2＜AD＜10$ D. $2≤AD≤10$
[方法感悟]解题时,遇到“中点”“中线”等条件,可以尝试“倍长”中线构造全等三角形,把条件和结论整合到同一个三角形中；
[问题解决]如图(3),已知AD是△ABC的中线,BE与AC,AD分别交于点E,F,AE=EF,求证:AC=BF.
[探究发现]如图(1),△ADC≌△MDB的理由是
B
；A. SSS B. SAS C. AAS D. HL
[初步应用]如图(2),在△ABC中,AB=12,AC=8,中线AD的取值范围是
C
；A. $6＜AD＜8$ B. $6≤AD≤8$ C. $2＜AD＜10$ D. $2≤AD≤10$
[方法感悟]解题时,遇到“中点”“中线”等条件,可以尝试“倍长”中线构造全等三角形,把条件和结论整合到同一个三角形中；
[问题解决]如图(3),已知AD是△ABC的中线,BE与AC,AD分别交于点E,F,AE=EF,求证:AC=BF.
答案：
25.[探究发现]B [解析]
∵AD是△ABC的中线,
∴BD=CD.
在△ADC和△MDB中,$\begin{cases} AD=MD, \\ ∠ADC=∠MDB, \\ CD=BD, \end{cases}$
∴△ADC≌△MDB(SAS).
[初步应用]C [解析]如图(1),延长边BC上的中线AD至点M,使DM=AD,连接BM.
∵AD是△ABC的中线,
∴BD=CD.
在△ADC和△MDB中,$\begin{cases} AD=MD, \\ ∠ADC=∠MDB, \\ CD=BD, \end{cases}$
∴△ADC≌△MDB(SAS),
∴BM=AC=8.
又AB−BM＜AM＜AB+BM,
∴4＜AM＜20,
∴2＜AD＜10.
[问题解决]如图(2),延长AD至点M,使MD=FD,连接MC.
∵AD是△ABC的中线,
∴BD=CD.
在△BDF和△CDM中,$\begin{cases} BD=CD, \\ ∠BDF=∠CDM, \\ DF=DM, \end{cases}$
∴△BDF≌△CDM(SAS),
∴MC=BF,∠M=∠BFM.
∵EA=EF,
∴∠EAF=∠EFA.
∵∠AFE=∠BFM,
∴∠M=∠MAC,
∴MC=AC,
∴BF=AC.
25.[探究发现]B [解析]
∵AD是△ABC的中线,
∴BD=CD.
在△ADC和△MDB中,$\begin{cases} AD=MD, \\ ∠ADC=∠MDB, \\ CD=BD, \end{cases}$
∴△ADC≌△MDB(SAS).
[初步应用]C [解析]如图(1),延长边BC上的中线AD至点M,使DM=AD,连接BM.
∵AD是△ABC的中线,
∴BD=CD.
在△ADC和△MDB中,$\begin{cases} AD=MD, \\ ∠ADC=∠MDB, \\ CD=BD, \end{cases}$
∴△ADC≌△MDB(SAS),
∴BM=AC=8.
又AB−BM＜AM＜AB+BM,
∴4＜AM＜20,
∴2＜AD＜10.
[问题解决]如图(2),延长AD至点M,使MD=FD,连接MC.
∵AD是△ABC的中线,
∴BD=CD.
在△BDF和△CDM中,$\begin{cases} BD=CD, \\ ∠BDF=∠CDM, \\ DF=DM, \end{cases}$
∴△BDF≌△CDM(SAS),
∴MC=BF,∠M=∠BFM.
∵EA=EF,
∴∠EAF=∠EFA.
∵∠AFE=∠BFM,
∴∠M=∠MAC,
∴MC=AC,
∴BF=AC.