26. 新考法 探究不同条件下线段的关系 如图(1),在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AB=AC$,$AE$是过点$A$的一条直线,且点$B$,$C$在$AE$的异侧,$BD⊥ AE$于点$D$,$CE⊥ AE$于点$E$.
(1)求证:①$△ ABD≌△ CAE$;②$BD=DE+CE$.
(2)若直线$AE$绕点$A$旋转到图(2)位置时($BD＜CE$),其余条件不变,问$BD$与$DE$,$CE$的关系如何?请予以证明.
(3)若直线$AE$绕点$A$旋转到图(3)位置时($BD＞CE$),其余条件不变,问$BD$与$DE$,$CE$的关系如何?请直接写出结果,不需证明.
(1)求证:①$△ ABD≌△ CAE$;②$BD=DE+CE$.
(2)若直线$AE$绕点$A$旋转到图(2)位置时($BD＜CE$),其余条件不变,问$BD$与$DE$,$CE$的关系如何?请予以证明.
(3)若直线$AE$绕点$A$旋转到图(3)位置时($BD＞CE$),其余条件不变,问$BD$与$DE$,$CE$的关系如何?请直接写出结果,不需证明.
答案：26.(1)①
∵∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠CAE=90°.
∵CE⊥AE,
∴∠ACE+∠CAE=90°,
∴∠ACE=∠BAD.
又BD⊥AE,CE⊥AE,
∴∠ADB=∠CEA=90°.
在△ABD和△CAE中,$\begin{cases} ∠BAD=∠ACE, \\ ∠ADB=∠CEA, \\ AB=CA, \end{cases}$
∴△ABD≌△CAE(AAS).
②
∵△ABD≌△CAE,
∴BD=AE,AD=CE.
∵AE=DE+AD,
∴BD=DE+CE.
(2)DE=BD+CE.证明如下：
∵∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠CAE=90°.
∵CE⊥AE,
∴∠ACE+∠CAE=90°,
∴∠ACE=∠BAD.
又BD⊥AE,CE⊥AE,
∴∠D=∠E=90°.
在△ABD和△CAE中,$\begin{cases} ∠BAD=∠ACE, \\ ∠D=∠E, \\ AB=CA, \end{cases}$
∴△ABD≌△CAE(AAS),
∴BD=AE,AD=CE.
∵DE=AE+AD,
∴DE=BD+CE.
(3)BD=DE−CE(或DE=BD+CE).
∵∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠CAE=90°.
∵CE⊥AE,
∴∠ACE+∠CAE=90°,
∴∠ACE=∠BAD.
又BD⊥AE,CE⊥AE,
∴∠ADB=∠CEA=90°.
在△ABD和△CAE中,$\begin{cases} ∠BAD=∠ACE, \\ ∠ADB=∠CEA, \\ AB=CA, \end{cases}$
∴△ABD≌△CAE(AAS).
②
∵△ABD≌△CAE,
∴BD=AE,AD=CE.
∵AE=DE+AD,
∴BD=DE+CE.
(2)DE=BD+CE.证明如下：
∵∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠CAE=90°.
∵CE⊥AE,
∴∠ACE+∠CAE=90°,
∴∠ACE=∠BAD.
又BD⊥AE,CE⊥AE,
∴∠D=∠E=90°.
在△ABD和△CAE中,$\begin{cases} ∠BAD=∠ACE, \\ ∠D=∠E, \\ AB=CA, \end{cases}$
∴△ABD≌△CAE(AAS),
∴BD=AE,AD=CE.
∵DE=AE+AD,
∴DE=BD+CE.
(3)BD=DE−CE(或DE=BD+CE).