9. (2025·宿迁经开区期中改编)一个正数的两个平方根分别是$2a-1$和$-a+2$，则$a=$
-1
.答案：9. -1 [解析]由题意,得$2a-1+(-a+2)=0$,
解得$a=-1$.
解得$a=-1$.
10. 如图，$AB⊥BD$于点$B$，$ED⊥BD$于点$D$，$AB=CD$，$BC=DE$，则$∠ACE=$
（第10题）
90°
。（第10题）答案：10. 90° [解析]
∵$AB⊥BD,ED⊥BD$,
∴$∠B=∠D=90°$.
在$△ABC$和$△CDE$中,$\begin{cases} AB=CD, \\ ∠B=∠D, \\ BC=DE, \end{cases}$
∴$△ABC≅△CDE$(SAS),
∴$∠ACB=∠E$.
∵$∠D=90°$,
∴$∠E+∠ECD=90°$,
∴$∠ACB+∠ECD=90°$.
∵$∠BCD=180°$,
∴ $∠ACE = 180° - (∠ACB + ∠ECD)=180°-90°=90°$.
归纳总结 本题考查对垂线、全等三角形的性质和判定、三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握,能推出$∠ACB+∠ECD=90°$是解本题的关键.
∵$AB⊥BD,ED⊥BD$,
∴$∠B=∠D=90°$.
在$△ABC$和$△CDE$中,$\begin{cases} AB=CD, \\ ∠B=∠D, \\ BC=DE, \end{cases}$
∴$△ABC≅△CDE$(SAS),
∴$∠ACB=∠E$.
∵$∠D=90°$,
∴$∠E+∠ECD=90°$,
∴$∠ACB+∠ECD=90°$.
∵$∠BCD=180°$,
∴ $∠ACE = 180° - (∠ACB + ∠ECD)=180°-90°=90°$.
归纳总结 本题考查对垂线、全等三角形的性质和判定、三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握,能推出$∠ACB+∠ECD=90°$是解本题的关键.
11.如图，$△ ABC$和$△ ADE$都是顶角为$45°$的等腰三角形，$AB＞AD$，$BC$，$DE$分别为两个等腰三角形的底边，$B$，$D$，$E$三点恰好落在一条直线上，若$∠ BAD=18°$，则$∠ EBC=$
18
$°$.答案：11. 18 [解析]
∵$∠BAC=45°,AB=AC$,
∴$∠ABC=∠C=\frac{1}{2}×(180°-45°)=67.5°$.
同理,$∠ADE=67.5°$.
∵$∠ADE=∠ABD+∠BAD,∠BAD=18°$,
∴$∠ABD=49.5°$,
∴$∠EBC=∠ABC-∠ABD=67.5°-49.5°=18°$.
∵$∠BAC=45°,AB=AC$,
∴$∠ABC=∠C=\frac{1}{2}×(180°-45°)=67.5°$.
同理,$∠ADE=67.5°$.
∵$∠ADE=∠ABD+∠BAD,∠BAD=18°$,
∴$∠ABD=49.5°$,
∴$∠EBC=∠ABC-∠ABD=67.5°-49.5°=18°$.
12.(2025·常州钟楼区月考)若$2m-4$与$3m-1$是同一个正数$a$的平方根，则$a$为
4或100
。答案：12. 4或100 [解析]
∵$2m-4$与$3m-1$是同一个正数$a$的平方根,
∴$2m-4+3m-1=0$或$2m-4=3m-1$.
→同一个正数a的平方根互为相反数
解得$m=1$或$-3$,
∴当$m=1$时,$2m-4=2×1-4=-2$,
∴$a=(-2)^2=4$;当$m=-3$时,$2m-4=2×(-3)-4=-10$,
∴$a=(-10)^2=100$.
∵$2m-4$与$3m-1$是同一个正数$a$的平方根,
∴$2m-4+3m-1=0$或$2m-4=3m-1$.
→同一个正数a的平方根互为相反数
解得$m=1$或$-3$,
∴当$m=1$时,$2m-4=2×1-4=-2$,
∴$a=(-2)^2=4$;当$m=-3$时,$2m-4=2×(-3)-4=-10$,
∴$a=(-10)^2=100$.
13. 如图,在△ABC中,AB=AC,以点C为圆心,以CB的长为半径作圆弧,交AC的延长线于点D,连接BD.若∠A=32°,则∠CDB的大小为
37°
.答案：13. 37°
14.(2026·扬州期末)如图,在$△ ABC$中,已知$D,E,F$分别为$BC,AD,CE$的中点,且$S_{△ ABC}=8\ \mathrm{cm}^2$,则阴影部分的面积为
2
$\mathrm{cm}^2$.答案：14. 2 [解析]
∵E为AD的中点,
∴$S_{△BED}=\frac{1}{2}S_{△ABD}$,
$S_{△CED}=\frac{1}{2}S_{△ACD}$.
→三角形中线的性质
∵$S_{△ABC}=8\ \mathrm{cm}^2$,
∴$S_{△BCE}=S_{△BED}+S_{△CED}=\frac{1}{2}S_{△ABD}+ \frac{1}{2}S_{△ACD}=\frac{1}{2}S_{△ABC}=4\ \mathrm{cm}^2$.
∵F为CE的中点,
∴$S_{△BEF}=\frac{1}{2}S_{△BCE}=2\ \mathrm{cm}^2$.
故阴影部分的面积为$2\ \mathrm{cm}^2$.
关键提醒 本题考查了三角形的面积,掌握三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两个部分是解题的关键.
∵E为AD的中点,
∴$S_{△BED}=\frac{1}{2}S_{△ABD}$,
$S_{△CED}=\frac{1}{2}S_{△ACD}$.
→三角形中线的性质
∵$S_{△ABC}=8\ \mathrm{cm}^2$,
∴$S_{△BCE}=S_{△BED}+S_{△CED}=\frac{1}{2}S_{△ABD}+ \frac{1}{2}S_{△ACD}=\frac{1}{2}S_{△ABC}=4\ \mathrm{cm}^2$.
∵F为CE的中点,
∴$S_{△BEF}=\frac{1}{2}S_{△BCE}=2\ \mathrm{cm}^2$.
故阴影部分的面积为$2\ \mathrm{cm}^2$.
关键提醒 本题考查了三角形的面积,掌握三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两个部分是解题的关键.
15.如图,等腰三角形ABC的底边长为16 cm,腰长为10 cm,D是BC上一动点,当DA与腰垂直时,则AD=
7.5
cm.答案：
15. 7.5 [解析]如图(1),过点A作$AE⊥BC$,垂足为E.
∵$AB=AC=10\ \mathrm{cm},AE⊥BC$,
∴$BE=CE=\frac{1}{2}BC=8\ \mathrm{cm}$,
∴$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6(\mathrm{cm})$.
分两种情况：
如图(2),当$DA⊥AC$时,
在$Rt△ADE$中,$AD^2=AE^2+DE^2$,
在$Rt△ADC$中,$AD^2=CD^2-AC^2$,
∴$AE^2+DE^2=CD^2-AC^2$,
∴$36+DE^2=(8+DE)^2-100$,解得$DE=4.5$,
∴$AD=\sqrt{AE^2+DE^2}=\sqrt{6^2+4.5^2}=7.5(\mathrm{cm})$.
如图(3),当$DA⊥AB$时,
在$Rt△ADE$中,$AD^2=AE^2+DE^2$,
在$Rt△ADB$中,$AD^2=BD^2-AB^2$,
∴$AE^2+DE^2=BD^2-AB^2$,
∴$36+DE^2=(8+DE)^2-100$,解得$DE=4.5$,
∴$AD=\sqrt{AE^2+DE^2}=\sqrt{6^2+4.5^2}=7.5(\mathrm{cm})$.
综上所述,当DA与腰垂直时,$AD=7.5\ \mathrm{cm}$.
15. 7.5 [解析]如图(1),过点A作$AE⊥BC$,垂足为E.
∵$AB=AC=10\ \mathrm{cm},AE⊥BC$,
∴$BE=CE=\frac{1}{2}BC=8\ \mathrm{cm}$,
∴$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6(\mathrm{cm})$.
分两种情况：
如图(2),当$DA⊥AC$时,
在$Rt△ADE$中,$AD^2=AE^2+DE^2$,
在$Rt△ADC$中,$AD^2=CD^2-AC^2$,
∴$AE^2+DE^2=CD^2-AC^2$,
∴$36+DE^2=(8+DE)^2-100$,解得$DE=4.5$,
∴$AD=\sqrt{AE^2+DE^2}=\sqrt{6^2+4.5^2}=7.5(\mathrm{cm})$.
如图(3),当$DA⊥AB$时,
在$Rt△ADE$中,$AD^2=AE^2+DE^2$,
在$Rt△ADB$中,$AD^2=BD^2-AB^2$,
∴$AE^2+DE^2=BD^2-AB^2$,
∴$36+DE^2=(8+DE)^2-100$,解得$DE=4.5$,
∴$AD=\sqrt{AE^2+DE^2}=\sqrt{6^2+4.5^2}=7.5(\mathrm{cm})$.
综上所述,当DA与腰垂直时,$AD=7.5\ \mathrm{cm}$.
16. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$E$是$AB$上一点,且$BE=BC$,$DE⊥ AB$于点$E$,若$AC=10$,则$AD+DE$的值为
（第16题）
10
.（第16题）答案：
16. 10 [解析]如图,连接BD,
∵$∠ACB=90°,DE⊥AB$于点E,
∴$∠BED=∠ACB=90°$.
在$Rt△BED$和$Rt△BCD$中,
$\begin{cases} BD=BD, \\ BE=BC, \end{cases}$
∴$Rt△BED≅Rt△BCD$(HL),
∴$DE=DC$,
∴$AD+DE = AD + DC = AC=10$.
16. 10 [解析]如图,连接BD,
∵$∠ACB=90°,DE⊥AB$于点E,
∴$∠BED=∠ACB=90°$.
在$Rt△BED$和$Rt△BCD$中,
$\begin{cases} BD=BD, \\ BE=BC, \end{cases}$
∴$Rt△BED≅Rt△BCD$(HL),
∴$DE=DC$,
∴$AD+DE = AD + DC = AC=10$.
17.(2025·无锡宜兴期末)如图,在$△ ABC$中,边$AB$,$AC$的垂直平分线交于点$O$,若$∠ BOC=80°$,则$∠ A=$
40°
.答案：
17. 40° [解析]如图,连接OA.
∵ $∠BOC = 80°$,
∴ $∠OBC + ∠OCB=100°$,
∴ $∠OAB + ∠OBA + ∠OAC + ∠OCA=80°$.
∵AB,AC的垂直平分线交于点O,
∴$AO=BO,AO=CO$,
∴$∠OAB=∠OBA,∠OAC=∠OCA$,
∴$∠CAB=∠OAB+∠OAC=40°$.
17. 40° [解析]如图,连接OA.
∵ $∠BOC = 80°$,
∴ $∠OBC + ∠OCB=100°$,
∴ $∠OAB + ∠OBA + ∠OAC + ∠OCA=80°$.
∵AB,AC的垂直平分线交于点O,
∴$AO=BO,AO=CO$,
∴$∠OAB=∠OBA,∠OAC=∠OCA$,
∴$∠CAB=∠OAB+∠OAC=40°$.
18.把一张长方形纸片(长方形ABCD)按如图方式折叠,使顶点B和点D重合,折痕为EF.若AB=2 cm,BC=4 cm,则重叠部分△DEF的周长为
(5+√5)
cm.答案：
18. $(5+\sqrt{5})$ [解析]如图,过点E作$EN⊥BC$于点N.
∵四边形ABCD是长方形,$AB=2\ \mathrm{cm},BC=4\ \mathrm{cm}$,
∴$AD=BC=4\ \mathrm{cm},CD=AB=EN=2\ \mathrm{cm},∠A=90°$,$DE=CN$.由折叠的性质,得$MD=AB=2\ \mathrm{cm},∠M=∠A=90°$,$EM=AE,DF=BF$.
设$AE=x\ \mathrm{cm}$,则$ME=x\ \mathrm{cm},DE=(4-x)\mathrm{cm}$.
在$Rt△MDE$中,由勾股定理,得$ME^2+MD^2=ED^2$,
即$x^2+2^2=(4-x)^2$,解得$x=\frac{3}{2}$,
∴$AE=\frac{3}{2}\ \mathrm{cm}$,
∴$DE=AD-AE=4-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}(\mathrm{cm})$.
设$DF=y\ \mathrm{cm}$,则$BF=y\ \mathrm{cm},CF=(4-y)\mathrm{cm}$,
∴$y^2=(4-y)^2+2^2$,
∴$y=\frac{5}{2}$,即$DF=\frac{5}{2}\ \mathrm{cm}$,
∴$CF=4-\frac{5}{2}=\frac{3}{2}(\mathrm{cm})$,
∴$NF=BF-BN=1\ \mathrm{cm}$,
∴$EF=\sqrt{EN^2+NF^2}=\sqrt{5}(\mathrm{cm})$,
∴$△DEF$的周长为$\sqrt{5}+\frac{5}{2}+\frac{5}{2}=5+\sqrt{5}(\mathrm{cm})$.
18. $(5+\sqrt{5})$ [解析]如图,过点E作$EN⊥BC$于点N.
∵四边形ABCD是长方形,$AB=2\ \mathrm{cm},BC=4\ \mathrm{cm}$,
∴$AD=BC=4\ \mathrm{cm},CD=AB=EN=2\ \mathrm{cm},∠A=90°$,$DE=CN$.由折叠的性质,得$MD=AB=2\ \mathrm{cm},∠M=∠A=90°$,$EM=AE,DF=BF$.
设$AE=x\ \mathrm{cm}$,则$ME=x\ \mathrm{cm},DE=(4-x)\mathrm{cm}$.
在$Rt△MDE$中,由勾股定理,得$ME^2+MD^2=ED^2$,
即$x^2+2^2=(4-x)^2$,解得$x=\frac{3}{2}$,
∴$AE=\frac{3}{2}\ \mathrm{cm}$,
∴$DE=AD-AE=4-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}(\mathrm{cm})$.
设$DF=y\ \mathrm{cm}$,则$BF=y\ \mathrm{cm},CF=(4-y)\mathrm{cm}$,
∴$y^2=(4-y)^2+2^2$,
∴$y=\frac{5}{2}$,即$DF=\frac{5}{2}\ \mathrm{cm}$,
∴$CF=4-\frac{5}{2}=\frac{3}{2}(\mathrm{cm})$,
∴$NF=BF-BN=1\ \mathrm{cm}$,
∴$EF=\sqrt{EN^2+NF^2}=\sqrt{5}(\mathrm{cm})$,
∴$△DEF$的周长为$\sqrt{5}+\frac{5}{2}+\frac{5}{2}=5+\sqrt{5}(\mathrm{cm})$.