22.(2026·宿迁期末)如图,在$△ ABC$中,AD是高,CE是中线,G是CE的中点,$DG⊥ CE$,垂足为G.
(1)求证:$AB=2CD$;
(2)若$∠ AEC=69°$,求$∠ BCE$的度数.
(1)求证:$AB=2CD$;
(2)若$∠ AEC=69°$,求$∠ BCE$的度数.
答案：22. (1)
∵G是CE的中点,$DG⊥ CE$,
∴DG是CE的垂直平分线,
∴$DE=DC$.
∵AD是高,CE是中线,
∴E是AB的中点,
∴DE是$Rt△ADB$的斜边AB上的中线,
∴$DE=BE=\frac{1}{2}AB$,
∴$DC=\frac{1}{2}AB$,
∴$AB=2CD$.
(2)
∵$DE=DC$,
∴$∠DEC=∠BCE$,
∴$∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE$.
∵$DE=BE$,
∴$∠B=∠EDB$,
∴$∠B=2∠BCE$,
∴$∠AEC=3∠BCE=69°$,
∴$∠BCE=23°$.
∵G是CE的中点,$DG⊥ CE$,
∴DG是CE的垂直平分线,
∴$DE=DC$.
∵AD是高,CE是中线,
∴E是AB的中点,
∴DE是$Rt△ADB$的斜边AB上的中线,
∴$DE=BE=\frac{1}{2}AB$,
∴$DC=\frac{1}{2}AB$,
∴$AB=2CD$.
(2)
∵$DE=DC$,
∴$∠DEC=∠BCE$,
∴$∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE$.
∵$DE=BE$,
∴$∠B=∠EDB$,
∴$∠B=2∠BCE$,
∴$∠AEC=3∠BCE=69°$,
∴$∠BCE=23°$.
23. 如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点D与点B重合，点C落在点$C'$的位置.
(1)若$∠ 1=60°$，则$∠ 2=\_\_\_\_\_\_°$，$∠ 3=\_\_\_\_\_\_°$；
(2)判断$△ BEF$的形状，并说明理由；
(3)若$AB=6$，$AD=16$，求$△ BEF$的面积.
(1)若$∠ 1=60°$，则$∠ 2=\_\_\_\_\_\_°$，$∠ 3=\_\_\_\_\_\_°$；
(2)判断$△ BEF$的形状，并说明理由；
(3)若$AB=6$，$AD=16$，求$△ BEF$的面积.
答案：23. (1)60 60 [解析]
∵四边形ABCD是长方形,
∴$AD//BC$,
∴$∠2=∠1=60°$.
根据折叠的性质可得$∠BEF=∠2=60°$,
∴$∠3=180°-∠BEF-∠2=180°-60°-60°=60°$.
(2)$△BEF$是等腰三角形.理由如下：
∵四边形ABCD是长方形,
∴$AD//BC$,
∴$∠2=∠1$.
根据折叠的性质可得$∠BEF=∠2$,
∴$∠BEF=∠1$,
∴$△BEF$是等腰三角形.
(3)
∵$BE=DE$,
∴$AE=AD-DE=16-DE=16-BE$.
∵$AB^2=BE^2-AE^2$,即$6^2=BE^2-(16-BE)^2$,
∴$BE=\frac{73}{8}$,
∴$BF=BE=\frac{73}{8}$,
∴$S_{△BEF}=\frac{1}{2}BF·AB=\frac{1}{2}×\frac{73}{8}×6=\frac{219}{8}$.
∵四边形ABCD是长方形,
∴$AD//BC$,
∴$∠2=∠1=60°$.
根据折叠的性质可得$∠BEF=∠2=60°$,
∴$∠3=180°-∠BEF-∠2=180°-60°-60°=60°$.
(2)$△BEF$是等腰三角形.理由如下：
∵四边形ABCD是长方形,
∴$AD//BC$,
∴$∠2=∠1$.
根据折叠的性质可得$∠BEF=∠2$,
∴$∠BEF=∠1$,
∴$△BEF$是等腰三角形.
(3)
∵$BE=DE$,
∴$AE=AD-DE=16-DE=16-BE$.
∵$AB^2=BE^2-AE^2$,即$6^2=BE^2-(16-BE)^2$,
∴$BE=\frac{73}{8}$,
∴$BF=BE=\frac{73}{8}$,
∴$S_{△BEF}=\frac{1}{2}BF·AB=\frac{1}{2}×\frac{73}{8}×6=\frac{219}{8}$.