26. 新考法 全等三角形中的动点问题 如图(1),在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$BC=9\ \mathrm{cm}$,$AC=12\ \mathrm{cm}$,$AB=15\ \mathrm{cm}$,现有一动点$P$,从点$A$出发,沿着三角形的边$AC\rightarrow CB\rightarrow BA$运动,回到点$A$停止,速度为$3\ \mathrm{cm/s}$,设运动时间为$t\ \mathrm{s}$.
(1)如图(1),当$t=$
(2)如图(2),在$△ DEF$中,$∠ E=90°$,$DE=4\ \mathrm{cm}$,$DF=5\ \mathrm{cm}$,$∠ D=∠ A$.在$△ ABC$的边上,若另外有一个动点$Q$,与点$P$同时从点$A$出发,沿着边$AB\rightarrow BC\rightarrow CA$运动,回到点$A$停止.在两点运动过程中的某一时刻,恰好$△ APQ≌△ DEF$,求点$Q$的运动速度.
(1)如图(1),当$t=$
$\frac{11}{2}$或$\frac{19}{2}$
时,$△ APC$的面积等于$△ ABC$面积的一半;(2)如图(2),在$△ DEF$中,$∠ E=90°$,$DE=4\ \mathrm{cm}$,$DF=5\ \mathrm{cm}$,$∠ D=∠ A$.在$△ ABC$的边上,若另外有一个动点$Q$,与点$P$同时从点$A$出发,沿着边$AB\rightarrow BC\rightarrow CA$运动,回到点$A$停止.在两点运动过程中的某一时刻,恰好$△ APQ≌△ DEF$,求点$Q$的运动速度.
答案：
26. (1)$\frac{11}{2}$或$\frac{19}{2}$ [解析]①如图(1),当点P在边BC上时,
若$△APC$的面积等于$△ABC$面积的一半,则$CP=\frac{1}{2}BC=\frac{9}{2}\ \mathrm{cm}$,此时,点P移动的距离为$AC+CP=12+\frac{9}{2}=\frac{33}{2}(\mathrm{cm})$,移动的时间为$\frac{33}{2}÷3=\frac{11}{2}(\mathrm{s})$;
②如图(2),当点P在边BA上时,若$△APC$的面积等于$△ABC$面积的一半,则$PB=\frac{1}{2}AB$,即P为BA的中点,
此时,点P移动的距离为$AC+CB+BP=12+9+\frac{15}{2}=\frac{57}{2}(\mathrm{cm})$,移动的时间为$\frac{57}{2}÷3=\frac{19}{2}(\mathrm{s})$.综上所述,当$t=\frac{11}{2}$或$\frac{19}{2}$时,$△APC$的面积等于$△ABC$面积的一半.
(2)$△APQ≅△DEF$,即对应顶点为A与D,P与E,Q与F.
①如图(3),当点P在边AC上,
此时$AP=4\ \mathrm{cm}$,$AQ=5\ \mathrm{cm}$,
∴点Q移动的速度为$5÷(4÷3)=\frac{15}{4}(\mathrm{cm/s})$;
②如图(4),当点P在边AB上,此时$AP=4\ \mathrm{cm}$,$AQ=5\ \mathrm{cm}$,即点P移动的距离为$9+12+15-4=32(\mathrm{cm})$,
点Q移动的距离为$9+12+15-5=31(\mathrm{cm})$,
∴点Q移动的速度为$31÷(32÷3)=\frac{93}{32}(\mathrm{cm/s})$.综上所述,两点运动过程中的某一时刻,恰好$△APQ≅△DEF$,点Q的运动速度为$\frac{15}{4}\ \mathrm{cm/s}$或$\frac{93}{32}\ \mathrm{cm/s}$.
26. (1)$\frac{11}{2}$或$\frac{19}{2}$ [解析]①如图(1),当点P在边BC上时,
若$△APC$的面积等于$△ABC$面积的一半,则$CP=\frac{1}{2}BC=\frac{9}{2}\ \mathrm{cm}$,此时,点P移动的距离为$AC+CP=12+\frac{9}{2}=\frac{33}{2}(\mathrm{cm})$,移动的时间为$\frac{33}{2}÷3=\frac{11}{2}(\mathrm{s})$;
②如图(2),当点P在边BA上时,若$△APC$的面积等于$△ABC$面积的一半,则$PB=\frac{1}{2}AB$,即P为BA的中点,
此时,点P移动的距离为$AC+CB+BP=12+9+\frac{15}{2}=\frac{57}{2}(\mathrm{cm})$,移动的时间为$\frac{57}{2}÷3=\frac{19}{2}(\mathrm{s})$.综上所述,当$t=\frac{11}{2}$或$\frac{19}{2}$时,$△APC$的面积等于$△ABC$面积的一半.
(2)$△APQ≅△DEF$,即对应顶点为A与D,P与E,Q与F.
①如图(3),当点P在边AC上,
此时$AP=4\ \mathrm{cm}$,$AQ=5\ \mathrm{cm}$,
∴点Q移动的速度为$5÷(4÷3)=\frac{15}{4}(\mathrm{cm/s})$;
②如图(4),当点P在边AB上,此时$AP=4\ \mathrm{cm}$,$AQ=5\ \mathrm{cm}$,即点P移动的距离为$9+12+15-4=32(\mathrm{cm})$,
点Q移动的距离为$9+12+15-5=31(\mathrm{cm})$,
∴点Q移动的速度为$31÷(32÷3)=\frac{93}{32}(\mathrm{cm/s})$.综上所述,两点运动过程中的某一时刻,恰好$△APQ≅△DEF$,点Q的运动速度为$\frac{15}{4}\ \mathrm{cm/s}$或$\frac{93}{32}\ \mathrm{cm/s}$.