二、填空题(每题3分,共30分)
9. 已知在平面直角坐标系中,点M的坐标是$(a,b)$,点M与点N关于y轴对称,则点N关于x轴对称的点的坐标是
9. 已知在平面直角坐标系中,点M的坐标是$(a,b)$,点M与点N关于y轴对称,则点N关于x轴对称的点的坐标是
(-a,-b)
.答案：9.(−a,−b) [解析]
∵点M的坐标是(a,b)且点M与点N关于y轴对称,
∴N(−a,b)，
∴点N关于x轴对称的点的坐标是(−a,−b).
∵点M的坐标是(a,b)且点M与点N关于y轴对称,
∴N(−a,b)，
∴点N关于x轴对称的点的坐标是(−a,−b).
10.(2024·宿迁中考)点$P(a^2 + 1, -3)$在第
四
象限。答案：10. 四 [解析]
∵a²+1≥1,−3＜0，
∴点P(a²+1,−3)在第四象限.
知识拓展 本题考查了各象限内点的坐标的符号特点和平方的非负性,记住各象限内点的坐标的符号特点是解题的关键,四个象限的符号特点分别是第一象限(+,+);第二象限(−,+);第三象限(−,−);第四象限(+,−).
∵a²+1≥1,−3＜0，
∴点P(a²+1,−3)在第四象限.
知识拓展 本题考查了各象限内点的坐标的符号特点和平方的非负性,记住各象限内点的坐标的符号特点是解题的关键,四个象限的符号特点分别是第一象限(+,+);第二象限(−,+);第三象限(−,−);第四象限(+,−).
11.(2025·徐州期末)如图,已知∠AOB=30°,∠AOD=150°,OC⊥OA,点A记作(3,0°),点B记作(2,30°),点C记作(5,90°),照此规律,点D可记作
(4,150°)
.答案：11.(4,150°)
12.(2026·泰州高港区期末)在平面直角坐标系中,已知点$A(a,2)$关于$x$轴的对称点$B$的坐标为$(-3,b)$,则$a+b$的值为
-5
.答案：12. −5 [解析]由题意,得a=−3,b=−2,
∴a+b=−3+(−2)=−5.
∴a+b=−3+(−2)=−5.
13.(2026·徐州期末)点P的坐标是(2−a,3a+6),点P在第四象限且点P到两坐标轴的距离相等,则点P的坐标是
(6,-6)
.答案：13.(6,−6) [解析]
∵点P的坐标是(2−a,3a+6),点P在第四象限且点P到两坐标轴的距离相等，
∴2−a+3a+6=0,解得a=−4.故点P的坐标是(6,−6).
∵点P的坐标是(2−a,3a+6),点P在第四象限且点P到两坐标轴的距离相等，
∴2−a+3a+6=0,解得a=−4.故点P的坐标是(6,−6).
14.(2026·浙江金华金东区期末)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的两个顶点B,C在x轴上,且关于y轴对称,AB=2AC,OE⊥AB,OF⊥AC,E,F分别为垂足,则OE与OF的长度之比为
1:2
.答案：
14. 1:2 [解析]如图.
∵点B和点C关于y轴对称,
∴BO=CO，
∴S△AOB=S△AOC.
∵S△AOB=1/2 AB·OE,S△AOC=1/2 AC·OF,
∴AB·OE=AC·OF,
∴OE/OF=AC/AB.
∵AB=2AC,
∴OE/OF=1:2.
14. 1:2 [解析]如图.
∵点B和点C关于y轴对称,
∴BO=CO，
∴S△AOB=S△AOC.
∵S△AOB=1/2 AB·OE,S△AOC=1/2 AC·OF,
∴AB·OE=AC·OF,
∴OE/OF=AC/AB.
∵AB=2AC,
∴OE/OF=1:2.
15. 一线三等角模型（2026·徐州期末）如图，已知点A(-3,4)，将线段OA绕点A逆时针旋转90°至AA'，则点A'的坐标是
(1,7)
。答案：
15.(1,7) [解析]如图,过点A作y轴的平行线EF,交x轴于点N,再过点A'作EF的垂线,垂足为M.
由旋转可知,AO=AA',∠A'AO=90°,
∴∠A'AM+∠OAN=90°.
又A'M⊥EF,AN⊥x轴，
∴∠A'MA=∠ANO=90°,
∴∠OAN+∠AON=90°,
∴∠A'AM=∠AON.
在△A'MA和△ANO中，
{∠A'MA=∠ANO,∠A'AM=∠AON,AA'=OA,
∴△A'MA≌△ANO(AAS),
∴A'M=AN,MA=NO.
∵点A的坐标为(−3,4),
∴A'M=AN=4,MA=NO=3,
∴4−3=1,4+3=7,
∴点A'的坐标为(1,7).
15.(1,7) [解析]如图,过点A作y轴的平行线EF,交x轴于点N,再过点A'作EF的垂线,垂足为M.
由旋转可知,AO=AA',∠A'AO=90°,
∴∠A'AM+∠OAN=90°.
又A'M⊥EF,AN⊥x轴，
∴∠A'MA=∠ANO=90°,
∴∠OAN+∠AON=90°,
∴∠A'AM=∠AON.
在△A'MA和△ANO中，
{∠A'MA=∠ANO,∠A'AM=∠AON,AA'=OA,
∴△A'MA≌△ANO(AAS),
∴A'M=AN,MA=NO.
∵点A的坐标为(−3,4),
∴A'M=AN=4,MA=NO=3,
∴4−3=1,4+3=7,
∴点A'的坐标为(1,7).
16. 分类讨论思想,如图,在平面直角坐标系中,长方形OABC的顶点A,C的坐标分别为(10,0),(0,4),D是OA的中点,点P在BC上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标为
(2,4)或(3,4)或(8,4)
.答案：
16.(2,4)或(3,4)或(8,4) [解析]由题意,得△ODP是腰长为5的等腰三角形时,分三种情况讨论：
①如图(1),PD=OD=5,点P在点D的左侧.过点P作PE⊥x轴于点E,则PE=4.在Rt△PDE中,由勾股定理,得DE=√(PD²−PE²)=3,
∴OE=OD−DE=5−3=2,
∴此时点P的坐标为(2,4);
②如图(2),OP=OD=5.过点P作PE⊥x轴于点E,则PE=4.在Rt△POE中,由勾股定理,得OE=√(OP²−PE²)=3,
∴此时点P的坐标为(3,4);
③如图(3),PD=OD=5,点P在点D的右侧.过点P作PE⊥x轴于点E,则PE=4.在Rt△PDE中,由勾股定理,得DE=√(PD²−PE²)=3,
∴OE=OD+DE=5+3=8,
∴此时点P的坐标为(8,4).
综上所述,点P的坐标为(2,4)或(3,4)或(8,4).
易错警示 本题考查了分类讨论思想在几何图形中的应用,符合题意的等腰三角形有三种情形,注意不要遗漏.
16.(2,4)或(3,4)或(8,4) [解析]由题意,得△ODP是腰长为5的等腰三角形时,分三种情况讨论：
①如图(1),PD=OD=5,点P在点D的左侧.过点P作PE⊥x轴于点E,则PE=4.在Rt△PDE中,由勾股定理,得DE=√(PD²−PE²)=3,
∴OE=OD−DE=5−3=2,
∴此时点P的坐标为(2,4);
②如图(2),OP=OD=5.过点P作PE⊥x轴于点E,则PE=4.在Rt△POE中,由勾股定理,得OE=√(OP²−PE²)=3,
∴此时点P的坐标为(3,4);
③如图(3),PD=OD=5,点P在点D的右侧.过点P作PE⊥x轴于点E,则PE=4.在Rt△PDE中,由勾股定理,得DE=√(PD²−PE²)=3,
∴OE=OD+DE=5+3=8,
∴此时点P的坐标为(8,4).
综上所述,点P的坐标为(2,4)或(3,4)或(8,4).
易错警示 本题考查了分类讨论思想在几何图形中的应用,符合题意的等腰三角形有三种情形,注意不要遗漏.
17. 新考法 归纳一般结论 如图,在平面直角坐标系中,有若干个整数点,其顺序按图中“→”方向排列,如$(1,0),(2,0),(2,1),(3,2),(3,1),(3,0),···$,根据这个规律探索可得,第100个点的坐标为________.
答案：17.(14,8) [解析]题中点的坐标规律为横坐标为1的点有1个,其纵坐标为0;横坐标为2的点有2个,其纵坐标分别为0,1;横坐标为3的点有3个,其纵坐标分别为0,1,2,…;横坐标为n的点有n个,其纵坐标分别为0,1,2,…,n−1.
而1+2+…+13=91＜100,1+2+…+14=105＞100,
故第100个点的横坐标是14,纵坐标为(100−91)−1=8,即(14,8).
而1+2+…+13=91＜100,1+2+…+14=105＞100,
故第100个点的横坐标是14,纵坐标为(100−91)−1=8,即(14,8).
18. 某校数学课外小组在坐标纸上为某湿地公园的一块空地设计植树方案如下：第$ k $棵树种植在点$ P_k(x_k, y_k) $处，其中$ x_1=1, y_1=1 $，且当$ k ≥ 2 $时，$\begin{cases} x_k = x_{k-1} + [ \dfrac{k-1}{5} ] - [ \dfrac{k-2}{5} ], \\ y_k = y_{k-1} + 1 -5( [ \dfrac{k-1}{5} ] - [ \dfrac{k-2}{5} ] ), \end{cases}$ $[a]$表示非负实数$ a $的整数部分，例如$[2.3]=2, [ \dfrac{4}{3} ]=1, [0.5]=0$。按此方案，第2025棵树种植点的坐标应为________。
答案：18.(405,5) [解析]由题意,得当1≤k≤5时,P₁(1,1),P₂(1,2),P₃(1,3),P₄(1,4),P₅(1,5),当6≤k≤10时,P₆(2,1),P₇(2,2),P₈(2,3),P₉(2,4),P₁₀(2,5),…,通过以上数据可得,点P的纵坐标每5个一组循环.
∵2025÷5=405，
∴当k=2025时,点P₂₀₂₅的纵坐标是5,横坐标是405，
∴点P₂₀₂₅的坐标为(405,5).
∵2025÷5=405，
∴当k=2025时,点P₂₀₂₅的纵坐标是5,横坐标是405，
∴点P₂₀₂₅的坐标为(405,5).