23. 如图,在平面直角坐标系中,第一次将△OAB 变换成△OA₁B₁,第二次将△OA₁B₁ 变换成△OA₂B₂,第三次将△OA₂B₂ 变换成△OA₃B₃,已知 A(1,4),A₁(2,4),A₂(4,4),A₃(8,4),B(2,0),B₁(4,0),B₂(8,0),B₃(16,0).
(1)观察每次变换前后的三角形有何变化,找出规律,按此规律再将△OA₃B₃ 变换成△OA₄B₄,求出点 A₄ 及点 B₄ 的坐标;
(2)若按(1)题找出的规律,将△OAB 进行 n 次变换,得到△OAₙBₙ,比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化,找出规律,并推测点 Aₙ 及点 Bₙ 的坐标,指出这 n 个三角形中始终不变的元素.
(1)观察每次变换前后的三角形有何变化,找出规律,按此规律再将△OA₃B₃ 变换成△OA₄B₄,求出点 A₄ 及点 B₄ 的坐标;
(2)若按(1)题找出的规律,将△OAB 进行 n 次变换,得到△OAₙBₙ,比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化,找出规律,并推测点 Aₙ 及点 Bₙ 的坐标,指出这 n 个三角形中始终不变的元素.
答案：23.(1)由题意,得给出的三角形顶点的坐标的变换规律为点A_i的横坐标是点$A_{i−1}$的横坐标的2倍,点A_i的纵坐标始终是4,即点A_i始终在直线y=4上;而点B_i的横坐标是点$B_{i−1}$的横坐标的2倍,点B_i的纵坐标始终是0,即点B_i始终在x轴上.故点A₄的坐标为(16,4),点B₄的坐标为(32,0).
(2)由(1)的规律可知A_n(2ⁿ,4),B_n(2ⁿ⁺¹,0),这n个等腰三角形始终保持不变的元素是底边上的高始终为定值4.
(2)由(1)的规律可知A_n(2ⁿ,4),B_n(2ⁿ⁺¹,0),这n个等腰三角形始终保持不变的元素是底边上的高始终为定值4.
24.(2025·镇江句容期末)梯形$AOBC$在平面直角坐标系中的位置如图所示,已知$AB=13$,点$A(0,a),B(b,0),C(b,10)$,其中$a$满足$\sqrt{5 - a}=0$.
(1)直接写出$a=$
(2)求点$C$的坐标;
(3)若在第二象限内有一点$D(m,2)$,连接$DA,DO$,已知$S_{△ ADO}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}$,求点$D$的坐标.
(1)直接写出$a=$
5
;(2)求点$C$的坐标;
(3)若在第二象限内有一点$D(m,2)$,连接$DA,DO$,已知$S_{△ ADO}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}$,求点$D$的坐标.
答案：24.(1)5
(2)
∵a=5,点A(0,a),
∴A(0,5),
∴OA=5，
∴OB=√(AB²−OA²)=√(13²−5²)=12,
∴B(12,0)，
∴b=12.
∵C(b,10),
∴点C的坐标为(12,10).
(3)
∵B(12,0),C(12,10),
∴BC=10，
∴S△ABC=1/2×12×10=60.
∵S△ADO=1/2 OA×(−m)=1/2×5×(−m)=−5/2 m，
S△ADO=1/3 S△ABC,
∴−5/2 m=1/3×60,
∴m=−8，
∴点D的坐标为(−8,2).
归纳总结 本题考查了坐标与图形变化、算术平方根、勾股定理、三角形面积等知识,解题的关键是理解题意,学会利用参数构建方程解决问题,属于中考常考题型.
(2)
∵a=5,点A(0,a),
∴A(0,5),
∴OA=5，
∴OB=√(AB²−OA²)=√(13²−5²)=12,
∴B(12,0)，
∴b=12.
∵C(b,10),
∴点C的坐标为(12,10).
(3)
∵B(12,0),C(12,10),
∴BC=10，
∴S△ABC=1/2×12×10=60.
∵S△ADO=1/2 OA×(−m)=1/2×5×(−m)=−5/2 m，
S△ADO=1/3 S△ABC,
∴−5/2 m=1/3×60,
∴m=−8，
∴点D的坐标为(−8,2).
归纳总结 本题考查了坐标与图形变化、算术平方根、勾股定理、三角形面积等知识,解题的关键是理解题意,学会利用参数构建方程解决问题,属于中考常考题型.