25. 新考法 新定义问题 定义:若实数$x,y,x',y'$满足$x=kx'+3,y=ky'+3(k$为常数,$k≠0)$,则在平面直角坐标系$xOy$中,称点$(x,y)$是点$(x',y')$的“$k$值关联点”.例如,点$(7,-5)$是点$(1,-2)$的“4值关联点”.
(1)判断在$A(2,3),B(2,4)$两点中,哪个是$P(1,-1)$的“$k$值关联点”;
(2)设两个不相等的非零实数$m,n$满足点$E(m^2+mn,2n^2)$是点$F(m,n)$的“$k$值关联点”,求点$F$到原点$O$的距离的最小值.
(1)判断在$A(2,3),B(2,4)$两点中,哪个是$P(1,-1)$的“$k$值关联点”;
(2)设两个不相等的非零实数$m,n$满足点$E(m^2+mn,2n^2)$是点$F(m,n)$的“$k$值关联点”,求点$F$到原点$O$的距离的最小值.
答案：25.(1)若A(2,3)是P(1,−1)的“k值关联点”,则k+3=2,解得k=−1;−k+3=3,解得k=0.
∵k的值前后矛盾，
∴A(2,3)不是P(1,−1)的“k值关联点”.
若B(2,4)是P(1,−1)的“k值关联点”,
则k+3=2,解得k=−1;−k+3=4,解得k=−1.
∵k值符合题意,
∴B(2,4)是P(1,−1)的“k值关联点”.
(2)由题意,得$\begin{cases} m^2+mn=km+3, \\ 2n^2=kn+3, \end{cases}$
整理,得$\begin{cases} m^2n+mn^2=kmn+3n, \\ 2mn^2=kmn+3m, \end{cases}$
∴m²n+mn²−3n=2mn²−3m，
∴mn(m−n)+3(m−n)=0,
∴(m−n)(mn+3)=0.
∵m≠n,
∴mn+3=0,即mn=−3.
∵点F(m,n)到原点O的距离为√(m²+n²),且(m+n)²≥0,
∴m²+n²+2mn≥0,
∴m²+n²≥−2mn，
而−2mn=−2×(−3)=6,
∴m²+n²≥6.
即点F到原点O的距离的最小值为√6.
∵k的值前后矛盾，
∴A(2,3)不是P(1,−1)的“k值关联点”.
若B(2,4)是P(1,−1)的“k值关联点”,
则k+3=2,解得k=−1;−k+3=4,解得k=−1.
∵k值符合题意,
∴B(2,4)是P(1,−1)的“k值关联点”.
(2)由题意,得$\begin{cases} m^2+mn=km+3, \\ 2n^2=kn+3, \end{cases}$
整理,得$\begin{cases} m^2n+mn^2=kmn+3n, \\ 2mn^2=kmn+3m, \end{cases}$
∴m²n+mn²−3n=2mn²−3m，
∴mn(m−n)+3(m−n)=0,
∴(m−n)(mn+3)=0.
∵m≠n,
∴mn+3=0,即mn=−3.
∵点F(m,n)到原点O的距离为√(m²+n²),且(m+n)²≥0,
∴m²+n²+2mn≥0,
∴m²+n²≥−2mn，
而−2mn=−2×(−3)=6,
∴m²+n²≥6.
即点F到原点O的距离的最小值为√6.
26. 新考法 新定义问题 在平面直角坐标系$xOy$中，对于$P,Q$两点给出如下定义：若点$P$到$x$轴、$y$轴的距离中的最大值等于点$Q$到$x,y$轴的距离中的最大值，则称$P,Q$两点为“等距点”。
(1)已知点$A$的坐标为$(-3,1)$。
①在点$E(0,3),F(-2,-3),G(2,-5)$中，为点$A$的“等距点”的是
②若点$B$的坐标为$(m,m+6)$且$A,B$两点为“等距点”，则点$B$的坐标为
(2)若$T_1(-1,-k-3),T_2(4,4k-3)$两点为“等距点”，求$k$的值。
(1)已知点$A$的坐标为$(-3,1)$。
①在点$E(0,3),F(-2,-3),G(2,-5)$中，为点$A$的“等距点”的是
E,F
；②若点$B$的坐标为$(m,m+6)$且$A,B$两点为“等距点”，则点$B$的坐标为
(-3,3)
；(2)若$T_1(-1,-k-3),T_2(4,4k-3)$两点为“等距点”，求$k$的值。
答案：26.(1)①E,F [解析]
∵点A到x轴、y轴的距离中的最大值等于3,点E到x,y轴的距离中的最大值等于3，点F到x,y轴的距离中的最大值等于3，点G到x,y轴的距离中的最大值等于5，
∴点A的“等距点”是E,F.
②(−3,3) [解析]令|m|=3,则m=3或m=−3,当m=3时,m+6=9＞3,不符合题意；
令|m+6|=3,则m=−3或m=−9,当m=−9时,不符合题意.故点B的坐标为(−3,3).
(2)当|4k−3|≤4时,则|−k−3|=4，
解得k=−7(舍去)或k=1；
当|4k−3|＞4时,则|4k−3|=|−k−3|，
解得k=2或k=0(舍去),
∴k的值为1或2.
∵点A到x轴、y轴的距离中的最大值等于3,点E到x,y轴的距离中的最大值等于3，点F到x,y轴的距离中的最大值等于3，点G到x,y轴的距离中的最大值等于5，
∴点A的“等距点”是E,F.
②(−3,3) [解析]令|m|=3,则m=3或m=−3,当m=3时,m+6=9＞3,不符合题意；
令|m+6|=3,则m=−3或m=−9,当m=−9时,不符合题意.故点B的坐标为(−3,3).
(2)当|4k−3|≤4时,则|−k−3|=4，
解得k=−7(舍去)或k=1；
当|4k−3|＞4时,则|4k−3|=|−k−3|，
解得k=2或k=0(舍去),
∴k的值为1或2.