14. (2025·扬州广陵区期末)在平面直角坐标系中，已知点$A(-2,3)$，$B(4,9)$，直线$y=kx-k(k≠0)$与线段$AB$有交点，则$k$的取值范围为
k≤-1或k≥3
。答案：k≤-1或k≥3 [解析]
∵y=kx-k=k(x-1)，
∴直线y=kx-k过定点(1,0)。
∵直线y=kx-k(k≠0)与线段AB有交点，
∴当直线y=kx-k过点B(4,9)时，则4k-k=9，解得k=3；当直线y=kx-k过点A(-2,3)时，则-2k-k=3，解得k=-1，
∴k的取值范围为k≤-1或k≥3。
∵y=kx-k=k(x-1)，
∴直线y=kx-k过定点(1,0)。
∵直线y=kx-k(k≠0)与线段AB有交点，
∴当直线y=kx-k过点B(4,9)时，则4k-k=9，解得k=3；当直线y=kx-k过点A(-2,3)时，则-2k-k=3，解得k=-1，
∴k的取值范围为k≤-1或k≥3。
15. (2026·浙江衢州衢江区期末)一个边长为5 cm的正方形，如果它的边长增加x cm，正方形的面积随之增加y cm²，那么y与x的函数关系式是
y=x²+10x
。答案：y=x²+10x [解析]原边长为5 cm的正方形面积为5×5=25(cm²)，边长增加x cm后边长变为(x+5)cm，则面积为(x+5)² cm²，
∵正方形的面积随之增加y cm²，
∴y与x的函数关系式是y=(x+5)²-25=x²+10x。
∵正方形的面积随之增加y cm²，
∴y与x的函数关系式是y=(x+5)²-25=x²+10x。
16. (2026·南京鼓楼区期末)已知$M(-1,a),N(2,b)$为一次函数$y=-x+m$($m$为常数)图象上的两个点,则$a$
＞
$b$(填“＞”“＜”或“=”).答案：＞ [解析]
∵k=-1＜0，
∴y随x的增大而减小。
∵M(-1,a)和N(2,b)是一次函数y=-x+m(m为常数)图象上的两点，且-1＜2，
∴a＞b。
∵k=-1＜0，
∴y随x的增大而减小。
∵M(-1,a)和N(2,b)是一次函数y=-x+m(m为常数)图象上的两点，且-1＜2，
∴a＞b。
17.(2026·淮安淮阴区期末)如图,一次函数$y=2x-1$和$y=kx+b$的图象交于点$P$,则关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}y=2x-1, \\ y=kx+b\end{cases}$的解是 ______ .
答案：$\begin{cases}x=2,\\y=3\end{cases}$ [解析]由题图可知，关于x，y的二元一次方程组$\begin{cases}y=2x-1,\\y=kx+b\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=2,\\y=3\end{cases}$。
18. 如图，点Q在直线$y=-x$上运动，点A的坐标为$(1,0)$. 当线段AQ最短时，点Q的坐标为
$(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$
.答案：
$(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$
[解析]如图，过点A作直线y=-x的垂线，垂足为B，当线段AQ最短时，点Q在点B的位置，过点B作BC⊥x轴于点C。
∵点B在直线y=-x上，
∴可设B(m,-m)(m＞0)，
∴OC=BC=m，
∴∠BOC=45°。又∠OBA=90°，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴CB=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$，即m=$\frac{1}{2}$，
∴B$(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$，
∴当线段AQ最短时，点Q的坐标是$(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$。
$(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$
[解析]如图，过点A作直线y=-x的垂线，垂足为B，当线段AQ最短时，点Q在点B的位置，过点B作BC⊥x轴于点C。∵点B在直线y=-x上，
∴可设B(m,-m)(m＞0)，
∴OC=BC=m，
∴∠BOC=45°。又∠OBA=90°，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴CB=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$，即m=$\frac{1}{2}$，
∴B$(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$，
∴当线段AQ最短时，点Q的坐标是$(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$。
三、解答题(第19～23题每题6分，其余每题8分，共54分)
19.(2025·泰州姜堰区期末)已知$y$与$x-2$成正比例，且当$x=1$时，$y=-2$.
(1)求$y$与$x$之间的函数表达式；
(2)若$(2m-3,4)$是该函数图象上的一点，求$m$的值.
19.(2025·泰州姜堰区期末)已知$y$与$x-2$成正比例，且当$x=1$时，$y=-2$.
(1)求$y$与$x$之间的函数表达式；
(2)若$(2m-3,4)$是该函数图象上的一点，求$m$的值.
答案：(1)设y=k(x-2)。
∵当x=1时，y=-2，
∴k=2，
∴y与x之间的函数表达式为y=2x-4。
(2)
∵点(2m-3,4)在该函数图象上，
∴2(2m-3)-4=4，解得$m=\frac{7}{2}$。
∵当x=1时，y=-2，
∴k=2，
∴y与x之间的函数表达式为y=2x-4。
(2)
∵点(2m-3,4)在该函数图象上，
∴2(2m-3)-4=4，解得$m=\frac{7}{2}$。
20. 新考法 新定义问题 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形，叫作此一次函数的坐标三角形。例如，图中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，则△OAB为此函数的坐标三角形。
(1)求函数$y=-\dfrac{3}{4}x+3$的坐标三角形的三条边长；
(2)若函数$y=-\dfrac{3}{4}x+b$（b为常数）的坐标三角形的周长为16，求此三角形的面积。
(1)求函数$y=-\dfrac{3}{4}x+3$的坐标三角形的三条边长；
(2)若函数$y=-\dfrac{3}{4}x+b$（b为常数）的坐标三角形的周长为16，求此三角形的面积。
答案：(1)
∵直线$y=-\frac{3}{4}x+3$与x轴的交点坐标为(4,0)，与y轴的交点坐标为(0,3)，
∴由勾股定理，得斜边的长为$\sqrt{3^2+4^2}=5$。故函数$y=-\frac{3}{4}x+3$的坐标三角形的三条边长分别为3，4，5。
(2)
∵直线$y=-\frac{3}{4}x+b$与x轴的交点坐标为$(\frac{4}{3}b,0)$，与y轴的交点坐标为(0,b)，
∴由勾股定理，得斜边的长为$\sqrt{(\frac{4b}{3})^2+b^2}=\frac{5}{3}|b|$。
当b＞0时，$b+\frac{4}{3}b+\frac{5}{3}b=16$，解得b=4，此时坐标三角形的面积为$\frac{1}{2}×\frac{16}{3}×4=\frac{32}{3}$；
当b＜0时，$-b-\frac{4}{3}b-\frac{5}{3}b=16$，解得b=-4，此时坐标三角形的面积为$\frac{1}{2}×\frac{16}{3}×4=\frac{32}{3}$。
综上所述，当函数$y=-\frac{3}{4}x+b$的坐标三角形的周长为16时，此三角形的面积为$\frac{32}{3}$。
∵直线$y=-\frac{3}{4}x+3$与x轴的交点坐标为(4,0)，与y轴的交点坐标为(0,3)，
∴由勾股定理，得斜边的长为$\sqrt{3^2+4^2}=5$。故函数$y=-\frac{3}{4}x+3$的坐标三角形的三条边长分别为3，4，5。
(2)
∵直线$y=-\frac{3}{4}x+b$与x轴的交点坐标为$(\frac{4}{3}b,0)$，与y轴的交点坐标为(0,b)，
∴由勾股定理，得斜边的长为$\sqrt{(\frac{4b}{3})^2+b^2}=\frac{5}{3}|b|$。
当b＞0时，$b+\frac{4}{3}b+\frac{5}{3}b=16$，解得b=4，此时坐标三角形的面积为$\frac{1}{2}×\frac{16}{3}×4=\frac{32}{3}$；
当b＜0时，$-b-\frac{4}{3}b-\frac{5}{3}b=16$，解得b=-4，此时坐标三角形的面积为$\frac{1}{2}×\frac{16}{3}×4=\frac{32}{3}$。
综上所述，当函数$y=-\frac{3}{4}x+b$的坐标三角形的周长为16时，此三角形的面积为$\frac{32}{3}$。