8.如图,在$∠ MON$中,以点$O$为圆心,任意长为半径作弧,交射线$OM$于点$A$,交射线$ON$于点$B$,再分别以点$A$,$B$为圆心,$OA$的长为半径作弧,两弧在$∠ MON$的内部交于点$C$,作射线$OC$.若$OA=5$,$AB=6$,则点$B$到$AC$的距离为(
A.$5$
B.$\dfrac{24}{5}$
C.$4$
D.$\dfrac{12}{5}$
B
).A.$5$
B.$\dfrac{24}{5}$
C.$4$
D.$\dfrac{12}{5}$
答案：
B [解析]如图,连接$AB,AC,BC$,设$OC$与$AB$交于点$D$,作$BE⊥ AC$于点$E$.
由题意,得$OC$为$∠ MON$的平分线.
$\because OA=OB$,$OC$平分$∠ AOB$,
$\therefore OC⊥ AB$.
$\because AB=6,OA=5,AC=OA$,$OC⊥ AB$,
$\therefore AC=5,∠ ADC=90°,AD=3$,
$\therefore CD=4$.
$\because S_{△ ABC}=\frac{AB· CD}{2}=\frac{AC· BE}{2}$,
$\therefore \frac{6×4}{2}=\frac{5× BE}{2}$,解得$BE=\frac{24}{5}$.
故选B.
B [解析]如图,连接$AB,AC,BC$,设$OC$与$AB$交于点$D$,作$BE⊥ AC$于点$E$.
由题意,得$OC$为$∠ MON$的平分线.
$\because OA=OB$,$OC$平分$∠ AOB$,
$\therefore OC⊥ AB$.
$\because AB=6,OA=5,AC=OA$,$OC⊥ AB$,
$\therefore AC=5,∠ ADC=90°,AD=3$,
$\therefore CD=4$.
$\because S_{△ ABC}=\frac{AB· CD}{2}=\frac{AC· BE}{2}$,
$\therefore \frac{6×4}{2}=\frac{5× BE}{2}$,解得$BE=\frac{24}{5}$.
故选B.
第Ⅱ卷(非选择题 共96分)
二、填空题(每题3分,共30分)
9. 如图是一个计算程序,若输入的数为$\sqrt{7}$,则输出的结果应为
二、填空题(每题3分,共30分)
9. 如图是一个计算程序,若输入的数为$\sqrt{7}$,则输出的结果应为
1
。答案：1 [解析]由题意,得$[(\sqrt{7})^2-5]×0.5=1$.
10.(2026·连云港新海初级中学期末)如图,数轴上点A表示的实数是
$\sqrt{5}$
.答案：$\sqrt{5}$ [解析]由勾股定理得直角三角形的斜边长为$\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$,所以点A表示的数为$\sqrt{5}$.
关键提醒 本题考查了勾股定理与无理数.理解任意实数都可以用数轴上的点表示是关键.
关键提醒 本题考查了勾股定理与无理数.理解任意实数都可以用数轴上的点表示是关键.
11. (2026·盐城东台期末)如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$于点$D$，若$AC=6$，$AB=10$，则$CD$的长为________。
答案：$\frac{24}{5}$ [解析]在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°,AC=6,AB=10$,由勾股定理,得$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=8$.$\because CD⊥ AB$,
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$,
$\therefore 6×8=10CD$,解得$CD=\frac{24}{5}$.
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$,
$\therefore 6×8=10CD$,解得$CD=\frac{24}{5}$.
12.(2026·徐州期末)在平面直角坐标系中,若第四象限内的点P到x轴、y轴的距离分别为2,1,则点P的坐标为
$(1,-2)$
.答案：$(1,-2)$ [解析]设点$P$的坐标是$(x,y)$,$\because$点$P$到$x$轴、$y$轴的距离分别为2,1,
$\therefore |y|=2,|x|=1$,$\therefore x=\pm1,y=\pm2$.
$\because$点$P$在第四象限,$\therefore x＞0,y＜0$,
$\therefore x=1,y=-2$,$\therefore$点$P$的坐标是$(1,-2)$.
归纳总结 本题考查了点的坐标,熟练掌握点到坐标轴的距离的意义是解题的关键.
$\therefore |y|=2,|x|=1$,$\therefore x=\pm1,y=\pm2$.
$\because$点$P$在第四象限,$\therefore x＞0,y＜0$,
$\therefore x=1,y=-2$,$\therefore$点$P$的坐标是$(1,-2)$.
归纳总结 本题考查了点的坐标,熟练掌握点到坐标轴的距离的意义是解题的关键.
13. 分类讨论思想(2025·宿迁宿豫区期中)若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为$42°$，则其底角的度数为
$66°$或$24°$
。答案：
$66°$或$24°$ [解析]分两种情况讨论:
①当顶角为锐角时,如图(1)所示.
$\because BD⊥ AC$,$\therefore∠ A+∠ ABD=90°$.
$\because∠ ABD=42°$,$\therefore∠ A=90°-42°=48°$.
$\because AB=AC$,
$\therefore∠ ABC=∠ C=\frac{1}{2}×(180°-48°)=66°$;
②当顶角为钝角时,如图(2)所示.
同①易得$∠ DAB=90°-42°=48°$,
$\therefore∠ BAC=180°-48°=132°$.
$\because AB=AC$,
$\therefore∠ ABC=∠ C=\frac{1}{2}×(180°-132°)=24°$.
综上所述,等腰三角形底角的度数为$66°$或$24°$.
易错警示 本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识.若题目中没有明确顶角或底角的度数,做题时要注意分情况进行讨论,这是十分重要的,也是解题的关键.
$66°$或$24°$ [解析]分两种情况讨论:
①当顶角为锐角时,如图(1)所示.
$\because BD⊥ AC$,$\therefore∠ A+∠ ABD=90°$.
$\because∠ ABD=42°$,$\therefore∠ A=90°-42°=48°$.
$\because AB=AC$,
$\therefore∠ ABC=∠ C=\frac{1}{2}×(180°-48°)=66°$;
②当顶角为钝角时,如图(2)所示.
同①易得$∠ DAB=90°-42°=48°$,
$\therefore∠ BAC=180°-48°=132°$.
$\because AB=AC$,
$\therefore∠ ABC=∠ C=\frac{1}{2}×(180°-132°)=24°$.
综上所述,等腰三角形底角的度数为$66°$或$24°$.
易错警示 本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识.若题目中没有明确顶角或底角的度数,做题时要注意分情况进行讨论,这是十分重要的,也是解题的关键.
14. 如图,在平面直角坐标系中,已知$A(0,4),B(6,0),C(0,-10)$,平移线段AB至线段CD,点Q在四边形OCDB内,满足$S_{△ QOC}:S_{△ QOB}=5:2$,$S_{△ QCD}=S_{△ QBD}$,则点Q的坐标为
$(\dfrac{12}{7},-\dfrac{8}{7})$
.答案：$(\frac{12}{7},-\frac{8}{7})$ [解析]设$Q(m,n)$.$\because A(0,4),B(6,0),C(0,-10)$,$\therefore OC=10,OB=6,AC=14$.
$\because$平移线段$AB$至线段$CD$,$\therefore D(6,-14)$,$BD=AC=14$.
$\because S_{△ QOC}:S_{△ QOB}=5:2$,$S_{△ QOC}=\frac{1}{2}CO× x_Q$,$S_{△ QOB}=\frac{1}{2}OB×|y_Q|$,
$\therefore \frac{5m}{-3n}=\frac{5}{2}$,$\therefore n=-\frac{2}{3}m$,$\therefore Q(m,-\frac{2}{3}m)$.
$\because S_{△ QBD}=\frac{1}{2}× BD×(6-x_Q)=\frac{1}{2}×14×(6-m)=42-7m$,
$S_{△ QCD}=S_{\mathrm{梯形}OCDB}-S_{△ QCD}-S_{△ QBD}-S_{△ OBQ}=\frac{1}{2}×(OC+BD)× OB-\frac{1}{2}× CO× x_Q-\frac{1}{2}× BD×(6-x_Q)-\frac{1}{2}× OB×|y_Q|=\frac{1}{2}×(10+14)×6-\frac{1}{2}×10× m-\frac{1}{2}×14×(6-m)-\frac{1}{2}×6×(-n)=72-5m-(42-7m)+3n=30+2m+3n=30$,$S_{△ QCD}=S_{△ QBD}$,
$\therefore 30=42-7m$,$\therefore m=\frac{12}{7}$,$\therefore Q(\frac{12}{7},-\frac{8}{7})$.
$\because$平移线段$AB$至线段$CD$,$\therefore D(6,-14)$,$BD=AC=14$.
$\because S_{△ QOC}:S_{△ QOB}=5:2$,$S_{△ QOC}=\frac{1}{2}CO× x_Q$,$S_{△ QOB}=\frac{1}{2}OB×|y_Q|$,
$\therefore \frac{5m}{-3n}=\frac{5}{2}$,$\therefore n=-\frac{2}{3}m$,$\therefore Q(m,-\frac{2}{3}m)$.
$\because S_{△ QBD}=\frac{1}{2}× BD×(6-x_Q)=\frac{1}{2}×14×(6-m)=42-7m$,
$S_{△ QCD}=S_{\mathrm{梯形}OCDB}-S_{△ QCD}-S_{△ QBD}-S_{△ OBQ}=\frac{1}{2}×(OC+BD)× OB-\frac{1}{2}× CO× x_Q-\frac{1}{2}× BD×(6-x_Q)-\frac{1}{2}× OB×|y_Q|=\frac{1}{2}×(10+14)×6-\frac{1}{2}×10× m-\frac{1}{2}×14×(6-m)-\frac{1}{2}×6×(-n)=72-5m-(42-7m)+3n=30+2m+3n=30$,$S_{△ QCD}=S_{△ QBD}$,
$\therefore 30=42-7m$,$\therefore m=\frac{12}{7}$,$\therefore Q(\frac{12}{7},-\frac{8}{7})$.
15. 方程思想(2024·常州中考)如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=6$,$BC=4$,$D$是边$AC$的中点,$E$是边$BC$上一点,连接$BD$,$DE$.将$△ CDE$沿$DE$翻折,点$C$落在$BD$上的点$F$处,则$CE=$
$\dfrac{3}{2}$
.答案：$\frac{3}{2}$ [解析]$\because∠ ACB=90°,AC=6,BC=4$,$D$是边$AC$的中点,$\therefore CD=\frac{1}{2}AC=3$,$\therefore BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=5$.
$\because$将$△ CDE$沿$DE$翻折,点$C$落在$BD$上的点$F$处,
$\therefore CD=DF=3,CE=EF,∠ EFD=90°$,
$\therefore BF=BD-DF=2$,$∠ BFE=90°$.
设$CE=x$,则$EF=x$,$BE=BC-CE=4-x$.
在$\mathrm{Rt}△ BFE$中,由勾股定理,得$(4-x)^2=x^2+2^2$,
解得$x=\frac{3}{2}$,$\therefore CE=\frac{3}{2}$.
$\because$将$△ CDE$沿$DE$翻折,点$C$落在$BD$上的点$F$处,
$\therefore CD=DF=3,CE=EF,∠ EFD=90°$,
$\therefore BF=BD-DF=2$,$∠ BFE=90°$.
设$CE=x$,则$EF=x$,$BE=BC-CE=4-x$.
在$\mathrm{Rt}△ BFE$中,由勾股定理,得$(4-x)^2=x^2+2^2$,
解得$x=\frac{3}{2}$,$\therefore CE=\frac{3}{2}$.
16. 新情境 用函数探究风寒效应 风寒效应是一种因刮风所引起的使体感温度较实际气温低的现象，科学家提出用风寒温度描述刮风时的体感温度，并通过大量实验找出了风寒温度和风速的关系。当气温为$5°\mathrm{C}$时，如表列出了风寒温度和风速的几组对应值，那么$T$与$v$的函数表达式可能是
$T=-0.2v+5$
。答案：$T=-0.2v+5$ [解析]由表格中数据可知,当气温一定时,风寒温度$T$和风速$v$成一次函数关系.
设风寒温度$T$和风速$v$的表达式为$T=kv+b$,
根据题意,得$\begin{cases}b=5,\\10k+b=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-0.2,\\b=5,\end{cases}$
$\therefore T=-0.2v+5$,
$\therefore T$与$v$的函数表达式可能是$T=-0.2v+5$.
设风寒温度$T$和风速$v$的表达式为$T=kv+b$,
根据题意,得$\begin{cases}b=5,\\10k+b=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-0.2,\\b=5,\end{cases}$
$\therefore T=-0.2v+5$,
$\therefore T$与$v$的函数表达式可能是$T=-0.2v+5$.