17. 新考法 操作探究 动手操作:在长方形纸片ABCD中,AB=3,AD=5.如图所示,折叠纸片使点A落在边BC上的点A'处,折痕为PQ.当点A'在边BC上移动时,折痕的端点P,Q也随之移动.若限定点P,Q分别在边AB,AD上移动,则点A'在边BC上可移动的最大距离为
y
↑
B
2
.y
↑
B
答案：
2 [解析]当点$P$与点$B$重合时,$BA'$取得最大值,为3;当点$Q$与点$D$重合时,如图所示:
由折叠的性质,得$A'D=AD$.
$\because$四边形$ABCD$是长方形,
$\therefore AD=BC=5$,$CD=AB=3$,$∠ C=90°$,
$\therefore A'D=5$.
由勾股定理,得$A'C=\sqrt{A'D^2-CD^2}=4$,
此时$BA'$取得最小值,为1,则点$A'$在$BC$边上移动的最大距离为$3-1=2$.
2 [解析]当点$P$与点$B$重合时,$BA'$取得最大值,为3;当点$Q$与点$D$重合时,如图所示:
由折叠的性质,得$A'D=AD$.
$\because$四边形$ABCD$是长方形,
$\therefore AD=BC=5$,$CD=AB=3$,$∠ C=90°$,
$\therefore A'D=5$.
由勾股定理,得$A'C=\sqrt{A'D^2-CD^2}=4$,
此时$BA'$取得最小值,为1,则点$A'$在$BC$边上移动的最大距离为$3-1=2$.
18. 跨学科 光线的镜面反射 如图，一束光线从点O射出，照在经过A(1,0),B(0,1)的镜面上的点D，经AB反射后，反射光线又照到竖立在y轴位置的镜面，经y轴再反射的光线恰好通过点A，则点D的坐标为
（第18题）
$(\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{3})$
。（第18题）答案：
$(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$ [解析]如图,点$O$关于$AB$的对称点是$O'(1,1)$,点$A$关于$y$轴的对称点是$A'(-1,0)$.
由题意,易得$A',C,D,O'$四点共线,且点$D$是直线$AB$和直线$O'A'$的交点.
设直线$AB$的表达式为$y=kx+b$,
$\because$点$(1,0),(0,1)$在直线$AB$上,$\therefore\begin{cases}k+b=0,\\b=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=1,\end{cases}$
$\therefore$直线$AB$的表达式是$y=1-x$.
同理可得$O'A'$的表达式是$y=\frac{x}{2}+\frac{1}{2}$.
联立$\begin{cases}y=1-x,\\y=\frac{x}{2}+\frac{1}{2},\end{cases}$解得$\begin{cases}x=\frac{1}{3},\\y=\frac{2}{3}.\end{cases}$
故点$D$的坐标为$(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$.
$(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$ [解析]如图,点$O$关于$AB$的对称点是$O'(1,1)$,点$A$关于$y$轴的对称点是$A'(-1,0)$.
由题意,易得$A',C,D,O'$四点共线,且点$D$是直线$AB$和直线$O'A'$的交点.
设直线$AB$的表达式为$y=kx+b$,
$\because$点$(1,0),(0,1)$在直线$AB$上,$\therefore\begin{cases}k+b=0,\\b=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=1,\end{cases}$
$\therefore$直线$AB$的表达式是$y=1-x$.
同理可得$O'A'$的表达式是$y=\frac{x}{2}+\frac{1}{2}$.
联立$\begin{cases}y=1-x,\\y=\frac{x}{2}+\frac{1}{2},\end{cases}$解得$\begin{cases}x=\frac{1}{3},\\y=\frac{2}{3}.\end{cases}$
故点$D$的坐标为$(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$.
三、解答题(第19～21题每题6分，第22～23题每题8分，第24～25题每题10分，第26题12分，共66分)
19.计算：$(\dfrac{1}{2})^0 + (-2)^3 × \dfrac{1}{8} - \sqrt[3]{27} × \sqrt{\dfrac{1}{9}}.$
19.计算：$(\dfrac{1}{2})^0 + (-2)^3 × \dfrac{1}{8} - \sqrt[3]{27} × \sqrt{\dfrac{1}{9}}.$
答案：原式$=1-8×\frac{1}{8}-3×\frac{1}{3}=1-1-1=-1$.
20.(2025·扬州宝应期末)如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,CE⊥AB,垂足为E,F是AC的中点,连接DF,EF.
(1)求证:DF=EF;
(2)连接DE,若AC=8,DE=4.判断△DEF的形状,并说明理由.
(1)求证:DF=EF;
(2)连接DE,若AC=8,DE=4.判断△DEF的形状,并说明理由.
答案：(1)$\because AD⊥ BC,CE⊥ AB$,$\therefore∠ AEC=∠ ADC=90°$.
$\because F$是$AC$的中点,
$\therefore EF=\frac{1}{2}AC$,$DF=\frac{1}{2}AC$,$\therefore DF=EF$.
(2)$△ DEF$是等边三角形,理由如下:
由(1)可得$EF=\frac{1}{2}AC$,$DF=\frac{1}{2}AC$.
$\because AC=8$,$\therefore EF=DF=4$.
$\because DE=4$,$\therefore DE=EF=DF=4$,$\therefore△ DEF$是等边三角形.
$\because F$是$AC$的中点,
$\therefore EF=\frac{1}{2}AC$,$DF=\frac{1}{2}AC$,$\therefore DF=EF$.
(2)$△ DEF$是等边三角形,理由如下:
由(1)可得$EF=\frac{1}{2}AC$,$DF=\frac{1}{2}AC$.
$\because AC=8$,$\therefore EF=DF=4$.
$\because DE=4$,$\therefore DE=EF=DF=4$,$\therefore△ DEF$是等边三角形.