21. (2026·南京鼓楼区期末)已知直角三角形的三边长分别是$a,b,c$,其中$c$为斜边.
(1)长分别为$3a,3b,3c$的三条线段能否组成一个直角三角形,判断并说明理由;
(2)小明为了证明“长分别为$a^2,b^2,c^2$的三条线段不能组成一个直角三角形.”是真命题.给出了部分思考如下,请补全他的证明过程.
假设长分别为$a^2,b^2,c^2$的三条线段能组成直角三角形,则$(a^2)^2 + (b^2)^2 = (c^2)^2$,……
(1)长分别为$3a,3b,3c$的三条线段能否组成一个直角三角形,判断并说明理由;
(2)小明为了证明“长分别为$a^2,b^2,c^2$的三条线段不能组成一个直角三角形.”是真命题.给出了部分思考如下,请补全他的证明过程.
假设长分别为$a^2,b^2,c^2$的三条线段能组成直角三角形,则$(a^2)^2 + (b^2)^2 = (c^2)^2$,……
答案：(1)能. 理由如下:$\because a^2+b^2=c^2$,$\therefore9a^2+9b^2=9c^2$,即$(3a)^2+(3b)^2=(3c)^2$,$\therefore$长为$3a,3b,3c$的三条线段能组成直角三角形.
(2)假设长分别为$a^2,b^2,c^2$的三条线段能组成直角三角形,则$(a^2)^2+(b^2)^2=(c^2)^2$,即$a^4+b^4=c^4$.
又$a^2+b^2=c^2$,$\therefore(a^2+b^2)^2=a^4+2a^2b^2+b^4=c^4$.
$\because a＞0,b＞0$,$\therefore2a^2b^2＞0$,
$\therefore a^4+b^4＜a^4+2a^2b^2+b^4$,即$a^4+b^4＜c^4$,这与假设的$a^4+b^4=c^4$矛盾.
$\therefore$长分别为$a^2,b^2,c^2$的三条线段不能组成一个直角三角形.
关键提醒 本题考查了勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长$a,b,c$满足$a^2+b^2=c^2$,那么这个三角形就是直角三角形.
(2)假设长分别为$a^2,b^2,c^2$的三条线段能组成直角三角形,则$(a^2)^2+(b^2)^2=(c^2)^2$,即$a^4+b^4=c^4$.
又$a^2+b^2=c^2$,$\therefore(a^2+b^2)^2=a^4+2a^2b^2+b^4=c^4$.
$\because a＞0,b＞0$,$\therefore2a^2b^2＞0$,
$\therefore a^4+b^4＜a^4+2a^2b^2+b^4$,即$a^4+b^4＜c^4$,这与假设的$a^4+b^4=c^4$矛盾.
$\therefore$长分别为$a^2,b^2,c^2$的三条线段不能组成一个直角三角形.
关键提醒 本题考查了勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长$a,b,c$满足$a^2+b^2=c^2$,那么这个三角形就是直角三角形.
22. 如图,若用$A(2,1)$表示放置2个胡萝卜,1棵小白菜;点$B(4,2)$表示放置4个胡萝卜,2棵小白菜.
(1)请你写出点$D,E$所表示的意义.
(2)若一只兔子从点$A$顺着方格线向上或向右移动到达点$B$,有几条路径可供选择,其中走哪条路径吃到的胡萝卜最多?走哪条路径吃到的小白菜最多?请你通过计算的方式说明.
(1)请你写出点$D,E$所表示的意义.
(2)若一只兔子从点$A$顺着方格线向上或向右移动到达点$B$,有几条路径可供选择,其中走哪条路径吃到的胡萝卜最多?走哪条路径吃到的小白菜最多?请你通过计算的方式说明.
答案：(1)点$D$表示放置2个胡萝卜,2棵小白菜;点$E$表示放置3个胡萝卜,1棵小白菜.
(2)从点$A$到达点$B$,共有3条路径可供选择,其中路径①$A\to D\to C\to B$吃到11个胡萝卜,7棵小白菜;路径②$A\to E\to C\to B$吃到12个胡萝卜,6棵小白菜;路径③$A\to E\to F\to B$吃到13个胡萝卜,5棵小白菜,$\therefore$走路径③吃到胡萝卜最多,走路径①吃到小白菜最多.
(2)从点$A$到达点$B$,共有3条路径可供选择,其中路径①$A\to D\to C\to B$吃到11个胡萝卜,7棵小白菜;路径②$A\to E\to C\to B$吃到12个胡萝卜,6棵小白菜;路径③$A\to E\to F\to B$吃到13个胡萝卜,5棵小白菜,$\therefore$走路径③吃到胡萝卜最多,走路径①吃到小白菜最多.