25. 数形结合思想(2026·浙江杭州滨江区期末)甲、乙两个机器人沿400 m环形跑道被测试行走情况，它们同时同地同向出发，行走20 min后，甲机器人停下来被调试，乙机器人继续前进，甲机器人被调试20 min就结束调试，之后也继续前进。已知甲、乙两个机器人行走过程中速度均始终保持不变，他们行走的路程总和s(m)与乙机器人行走的时间t(min)之间的函数关系如图所示.
(1)分别求出甲、乙两个机器人行走的速度.
(2)当两机器人走的路程总和为13 900 m时，求出t的值.
(3)甲机器人被调试结束后，最快再行走多少分钟与乙机器人相遇？
(1)分别求出甲、乙两个机器人行走的速度.
(2)当两机器人走的路程总和为13 900 m时，求出t的值.
(3)甲机器人被调试结束后，最快再行走多少分钟与乙机器人相遇？
答案：(1)乙机器人的速度为$\frac{5400-3400}{40-20}=100(\mathrm{m/min})$,
甲机器人的速度为$\frac{3400}{20}-100=70(\mathrm{m/min})$.
故甲机器人行走的速度为70 m/min,乙机器人行走的速度为100 m/min.
(2)$5400+(100+70)(t-40)=13900$,解得$t=90$.
故$t$的值为90.
(3)甲机器人被调试结束时,乙机器人行驶的路程为$40×100=4000(\mathrm{m})$,$4000÷400=10$(圈),
甲机器人行驶的路程为$20×70=1400(\mathrm{m})$,$1400÷400=3$(圈)$······200(\mathrm{m})$.
设甲机器人被调试结束后,最快再行走$x$分钟与乙机器人相遇,
$100x=200+70x$,解得$x=\frac{20}{3}$.
故甲机器人被调试结束后,最快再行走$\frac{20}{3}$分钟与乙机器人相遇.
甲机器人的速度为$\frac{3400}{20}-100=70(\mathrm{m/min})$.
故甲机器人行走的速度为70 m/min,乙机器人行走的速度为100 m/min.
(2)$5400+(100+70)(t-40)=13900$,解得$t=90$.
故$t$的值为90.
(3)甲机器人被调试结束时,乙机器人行驶的路程为$40×100=4000(\mathrm{m})$,$4000÷400=10$(圈),
甲机器人行驶的路程为$20×70=1400(\mathrm{m})$,$1400÷400=3$(圈)$······200(\mathrm{m})$.
设甲机器人被调试结束后,最快再行走$x$分钟与乙机器人相遇,
$100x=200+70x$,解得$x=\frac{20}{3}$.
故甲机器人被调试结束后,最快再行走$\frac{20}{3}$分钟与乙机器人相遇.
26. 新考法 三角形中的动点问题 如图,在$△ ABC$中,已知$AB=AC=10\ \mathrm{cm},BC=8\ \mathrm{cm},D$为$AB$的中点.
(1)如果点$P$在线段$BC$上以$3\ \mathrm{cm/s}$的速度由点$B$向点$C$运动,同时,点$Q$在线段$CA$上由点$C$向点$A$运动.
①若点$Q$的运动速度与点$P$的运动速度相等,经过$1\ \mathrm{s}$后,$△ BPD$与$△ CQP$是否全等?请说明理由.
②若点$Q$的运动速度与点$P$的运动速度不相等,当点$Q$的运动速度为多少时,能够使$△ BPD$与$△ CQP$全等?
(2)若点$Q$以②中的运动速度从点$C$出发,点$P$以原来的运动速度从点$B$同时出发,都逆时针沿$△ ABC$三边运动,经过多长时间点$P$与点$Q$第一次在$△ ABC$的哪条边上相遇?
(1)如果点$P$在线段$BC$上以$3\ \mathrm{cm/s}$的速度由点$B$向点$C$运动,同时,点$Q$在线段$CA$上由点$C$向点$A$运动.
①若点$Q$的运动速度与点$P$的运动速度相等,经过$1\ \mathrm{s}$后,$△ BPD$与$△ CQP$是否全等?请说明理由.
②若点$Q$的运动速度与点$P$的运动速度不相等,当点$Q$的运动速度为多少时,能够使$△ BPD$与$△ CQP$全等?
(2)若点$Q$以②中的运动速度从点$C$出发,点$P$以原来的运动速度从点$B$同时出发,都逆时针沿$△ ABC$三边运动,经过多长时间点$P$与点$Q$第一次在$△ ABC$的哪条边上相遇?
答案：(1)①全等. 理由如下:
运动1 s后,$BP=CQ=3×1=3(\mathrm{cm})$.
$\because AB=10\ \mathrm{cm}$,$D$为$AB$的中点,
$\therefore BD=5\ \mathrm{cm}$. 又$PC=BC-BP$,$BC=8\ \mathrm{cm}$,
$\therefore PC=8-3=5(\mathrm{cm})$,$\therefore PC=BD$.
$\because AB=AC$,$\therefore∠ B=∠ C$.
在$△ BPD$和$△ CQP$中,$\begin{cases}BD=CP,\\∠ B=∠ C,\\BP=CQ,\end{cases}$
$\therefore△ BPD≌△ CQP(\mathrm{SAS})$.
②若点$Q$的运动速度与点$P$的运动速度不相等,则$BP≠ CQ$.
又$△ BPD$与$△ CQP$全等,$∠ B=∠ C$,
$\therefore BP=PC=4\ \mathrm{cm}$,$CQ=BD=5\ \mathrm{cm}$.
设点$Q$的运动速度为$x\ \mathrm{cm/s}$,点$P$运动时间为$4÷3=\frac{4}{3}(\mathrm{s})$.
根据时间相等,得$\frac{4}{3}x=5$,解得$x=\frac{15}{4}$,
$\therefore$当点$Q$的运动速度为$\frac{15}{4}\ \mathrm{cm/s}$时,能够使$△ BPD$与$△ CQP$全等.
(2)设经过$t\ \mathrm{s}$后点$P$与点$Q$第一次相遇.
由题意,得$\frac{15}{4}t=3t+2×10$,解得$t=\frac{80}{3}$,
$\therefore$点$P$共运动了$\frac{80}{3}×3=80(\mathrm{cm})$.
$\because80÷(10+10+8)=2······24$,$24-8-10=6(\mathrm{cm})$,
$\therefore$点$P,Q$在$AB$边上相遇,
$\therefore$经过$\frac{80}{3}\ \mathrm{s}$,点$P$与点$Q$第一次在边$AB$上相遇.
归纳总结 本题属于三角形综合题,主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及数形结合思想的运用,解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质.解题时注意全等三角形的对应边相等.
运动1 s后,$BP=CQ=3×1=3(\mathrm{cm})$.
$\because AB=10\ \mathrm{cm}$,$D$为$AB$的中点,
$\therefore BD=5\ \mathrm{cm}$. 又$PC=BC-BP$,$BC=8\ \mathrm{cm}$,
$\therefore PC=8-3=5(\mathrm{cm})$,$\therefore PC=BD$.
$\because AB=AC$,$\therefore∠ B=∠ C$.
在$△ BPD$和$△ CQP$中,$\begin{cases}BD=CP,\\∠ B=∠ C,\\BP=CQ,\end{cases}$
$\therefore△ BPD≌△ CQP(\mathrm{SAS})$.
②若点$Q$的运动速度与点$P$的运动速度不相等,则$BP≠ CQ$.
又$△ BPD$与$△ CQP$全等,$∠ B=∠ C$,
$\therefore BP=PC=4\ \mathrm{cm}$,$CQ=BD=5\ \mathrm{cm}$.
设点$Q$的运动速度为$x\ \mathrm{cm/s}$,点$P$运动时间为$4÷3=\frac{4}{3}(\mathrm{s})$.
根据时间相等,得$\frac{4}{3}x=5$,解得$x=\frac{15}{4}$,
$\therefore$当点$Q$的运动速度为$\frac{15}{4}\ \mathrm{cm/s}$时,能够使$△ BPD$与$△ CQP$全等.
(2)设经过$t\ \mathrm{s}$后点$P$与点$Q$第一次相遇.
由题意,得$\frac{15}{4}t=3t+2×10$,解得$t=\frac{80}{3}$,
$\therefore$点$P$共运动了$\frac{80}{3}×3=80(\mathrm{cm})$.
$\because80÷(10+10+8)=2······24$,$24-8-10=6(\mathrm{cm})$,
$\therefore$点$P,Q$在$AB$边上相遇,
$\therefore$经过$\frac{80}{3}\ \mathrm{s}$,点$P$与点$Q$第一次在边$AB$上相遇.
归纳总结 本题属于三角形综合题,主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及数形结合思想的运用,解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质.解题时注意全等三角形的对应边相等.