18. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ ABC=30°$，$AC=6$，$D$是线段$AB$上一个动点，以$BD$为边在$△ ABC$外作等边三角形$BDE$。若$F$是$DE$的中点，当$CF$取最小值时，$△ BDE$的周长为________。
答案：
18.18
[解析]如图,连接 $BF$,过点 $C$ 作 $CH⊥ BF$,交 $BF$ 的延长线于点 $H$.
$\because △ BDE$ 是等边三角形,$F$ 是 $DE$ 的中点,
$\therefore ∠ ABF=30°$,$\therefore$ 点 $F$ 在射线 $BF$ 上运动.
当点 $F$ 与点 $H$ 重合时,$CF$ 最小.
$\because ∠ ACB=90°$,$∠ ABC=30°$,
$\therefore ∠ A=60°$,$AB=2AC=12$.
$\because ∠ ABF=30°$,$\therefore ∠ BD'H=∠ AD'C=60°$,
$\therefore △ ACD'$ 是等边三角形,$\therefore AD'=AC=6$,
$\therefore BD'=AB-AD'=12-6=6$,
$\therefore △ BDE$ 的周长为 $6×3=18$.
18.18
[解析]如图,连接 $BF$,过点 $C$ 作 $CH⊥ BF$,交 $BF$ 的延长线于点 $H$.
$\because △ BDE$ 是等边三角形,$F$ 是 $DE$ 的中点,
$\therefore ∠ ABF=30°$,$\therefore$ 点 $F$ 在射线 $BF$ 上运动.
当点 $F$ 与点 $H$ 重合时,$CF$ 最小.
$\because ∠ ACB=90°$,$∠ ABC=30°$,
$\therefore ∠ A=60°$,$AB=2AC=12$.
$\because ∠ ABF=30°$,$\therefore ∠ BD'H=∠ AD'C=60°$,
$\therefore △ ACD'$ 是等边三角形,$\therefore AD'=AC=6$,
$\therefore BD'=AB-AD'=12-6=6$,
$\therefore △ BDE$ 的周长为 $6×3=18$.
三、解答题(第19~21题每题6分,第22~23题每题8分,第24~25题每题10分,第26题12分,共66分)
19.计算:
(1)$\sqrt{2^2} - (π - 3.14)^0 + |-6| + (\frac{1}{2})^{-2}$;
(2)$\sqrt{25} - \sqrt[3]{-8} + (-1)^{2025}$.
19.计算:
(1)$\sqrt{2^2} - (π - 3.14)^0 + |-6| + (\frac{1}{2})^{-2}$;
(2)$\sqrt{25} - \sqrt[3]{-8} + (-1)^{2025}$.
答案：19.(1)$原式=2-1+6+4=11$.
(2)$原式=5-(-2)+(-1)$
$=5+2+(-1)$
$=6$.
(2)$原式=5-(-2)+(-1)$
$=5+2+(-1)$
$=6$.
20.(2025·宿迁期末)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点都在网格点上,其中,点C坐标为(1,2).
(1)点A的坐标是
(2)将△ABC先向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到△A'B'C'.请写出△A'B'C'的三个顶点坐标;
(3)求△ABC的面积.
(1)点A的坐标是
$(2,-1)$
,点B的坐标是$(4,3)$
;(2)将△ABC先向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到△A'B'C'.请写出△A'B'C'的三个顶点坐标;
(3)求△ABC的面积.
答案：
20.(1)$(2,-1)$ $(4,3)$
(2)如图,$△ A'B'C'$为所作.
顶点坐标分别为 $A'(0,0)$,$B'(2,4)$,$C'(-1,3)$.
(3)$△ ABC$ 的面积 $=3×4-\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×3×1-\frac{1}{2}×3×1=5$.
20.(1)$(2,-1)$ $(4,3)$
(2)如图,$△ A'B'C'$为所作.
顶点坐标分别为 $A'(0,0)$,$B'(2,4)$,$C'(-1,3)$.
(3)$△ ABC$ 的面积 $=3×4-\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×3×1-\frac{1}{2}×3×1=5$.
21.(2025·苏州昆山秀峰中学月考)如图,在$△ ABC$中,BD是$∠ ABC$的平分线,且$BE=ED$.
(1)求证:$ED// BC$;
(2)当$∠ A=70°,∠ ADE=30°$时,求$∠ EDB$的度数.
(1)求证:$ED// BC$;
(2)当$∠ A=70°,∠ ADE=30°$时,求$∠ EDB$的度数.
答案：21.(1)$\because BD$ 是 $∠ ABC$ 的平分线,$\therefore ∠ DBC=∠ EBD$.
$\because BE=ED$,$\therefore ∠ EDB=∠ EBD$,
$\therefore ∠ EDB=∠ CBD$,$\therefore ED// BC$.
(2)$\because ∠ A=70°$,$∠ ADE=30°$,$\therefore ∠ AED=180°-∠ A-∠ ADE=180°-70°-30°=80°$. $\because ED// BC$,$\therefore ∠ ABC=∠ AED=80°$且$∠ DBC=∠ EDB$.
$\because BD$ 是 $∠ ABC$ 的平分线,$\therefore ∠ DBC=∠ EBD=\frac{1}{2}∠ ABC=40°$,$\therefore ∠ EDB=∠ DBC=40°$.
$\because BE=ED$,$\therefore ∠ EDB=∠ EBD$,
$\therefore ∠ EDB=∠ CBD$,$\therefore ED// BC$.
(2)$\because ∠ A=70°$,$∠ ADE=30°$,$\therefore ∠ AED=180°-∠ A-∠ ADE=180°-70°-30°=80°$. $\because ED// BC$,$\therefore ∠ ABC=∠ AED=80°$且$∠ DBC=∠ EDB$.
$\because BD$ 是 $∠ ABC$ 的平分线,$\therefore ∠ DBC=∠ EBD=\frac{1}{2}∠ ABC=40°$,$\therefore ∠ EDB=∠ DBC=40°$.