22. (2026·河南信阳平桥区期末)如图,在$△ ABC$中,AD是$△ ABC$的高,E是BC上一点,$BD=DE$,且EF垂直平分AC,交AC于点F,连接AE.
(1)若$∠ BAE=50°$,求$∠ C$的度数;
(2)若$△ ABC$的周长为20,$AC=8$,求DC的长.
(1)若$∠ BAE=50°$,求$∠ C$的度数;
(2)若$△ ABC$的周长为20,$AC=8$,求DC的长.
答案：22.(1)$\because AD⊥ BC$,$BD=DE$,$EF$ 垂直平分 $AC$,$\therefore AB=AE=EC$,$\therefore ∠ C=∠ CAE$,$∠ B=∠ AED$.
$\because ∠ BAE=50°$,$\therefore ∠ AED=\frac{1}{2}×(180°-50°)=65°$.
$\because ∠ AED=∠ C+∠ CAE$,$\therefore ∠ C=∠ CAE=32.5°$.
(2)$\because △ ABC$ 周长 20,$AC=8$,
$\therefore AB+BC=12$,
$\therefore AB+BE+EC=12$,即 $2DE+2EC=12$,
$\therefore DE+EC=6$,$\therefore DC=DE+EC=6$.
$\because ∠ BAE=50°$,$\therefore ∠ AED=\frac{1}{2}×(180°-50°)=65°$.
$\because ∠ AED=∠ C+∠ CAE$,$\therefore ∠ C=∠ CAE=32.5°$.
(2)$\because △ ABC$ 周长 20,$AC=8$,
$\therefore AB+BC=12$,
$\therefore AB+BE+EC=12$,即 $2DE+2EC=12$,
$\therefore DE+EC=6$,$\therefore DC=DE+EC=6$.
23. 甲、乙两地相距$s$ km. 慢车从甲地出发匀速驶往乙地,出发$a$ h后快车也从甲地出发,沿同一路线匀速驶往乙地. 两车同时到达乙地后,慢车立即保持原速,沿原路返回甲地. 快车在乙地休息1 h后,提速50%,沿原路匀速返回,又与慢车同时回到甲地. 在整个行程中,慢车离甲地的距离$y_1$(单位:km)与时间$t$(单位:h)之间的函数关系如图所示.
(1)在图中画出快车离甲地的距离$y_2$(单位:km)与时间$t$之间的函数图象.
(2)$a=$
(3)已知从甲地到乙地的路程中,距离乙地30 km处有一个治安警亭. 若$s=120$,在整个行程中(不含行程终点甲地),$t$的值是多少时,两车与警亭的距离相等?
(1)在图中画出快车离甲地的距离$y_2$(单位:km)与时间$t$之间的函数图象.
(2)$a=$
0.5
.(3)已知从甲地到乙地的路程中,距离乙地30 km处有一个治安警亭. 若$s=120$,在整个行程中(不含行程终点甲地),$t$的值是多少时,两车与警亭的距离相等?
答案：
23.(1)如图,折线 $ABCD$ 即为所求.
(2)0.5
(3)当 $s=120$ 时,
$\because v_{\mathrm{慢}}=120÷2=60(\mathrm{km/h})$,$\therefore y_{OB}=60t$.
$\because$ 返回时,$v_{\mathrm{快}}=120÷(4-3)=120(\mathrm{km/h})$,
$\therefore$ 从甲地到乙地时,$v_{\mathrm{快}}=120÷\frac{3}{2}=80(\mathrm{km/h})$,
$\therefore y_{AB}=80(t-\frac{1}{2})=80t-40$,
$y_{BD}=120-60(t-2)=-60t+240$,
$y_{CD}=120-120(t-3)=-120t+480$.
当慢车从甲地到乙地时,$y_{OB}-90=90-y_{AB}$,
$\therefore 60t-90=90-(80t-40)$,解得 $t=\frac{11}{7}$;
当慢车、快车同时到达乙地时,$t=2$;
当慢车从乙地回甲地时,$90-y_{BD}=30$,
$\therefore 90-(-60t+240)=30$,解得 $t=3$.
综上所述,当 $t=\frac{11}{7}$ 或 2 或 3 时,两车与警亭的距离相等.
23.(1)如图,折线 $ABCD$ 即为所求.
(2)0.5
(3)当 $s=120$ 时,
$\because v_{\mathrm{慢}}=120÷2=60(\mathrm{km/h})$,$\therefore y_{OB}=60t$.
$\because$ 返回时,$v_{\mathrm{快}}=120÷(4-3)=120(\mathrm{km/h})$,
$\therefore$ 从甲地到乙地时,$v_{\mathrm{快}}=120÷\frac{3}{2}=80(\mathrm{km/h})$,
$\therefore y_{AB}=80(t-\frac{1}{2})=80t-40$,
$y_{BD}=120-60(t-2)=-60t+240$,
$y_{CD}=120-120(t-3)=-120t+480$.
当慢车从甲地到乙地时,$y_{OB}-90=90-y_{AB}$,
$\therefore 60t-90=90-(80t-40)$,解得 $t=\frac{11}{7}$;
当慢车、快车同时到达乙地时,$t=2$;
当慢车从乙地回甲地时,$90-y_{BD}=30$,
$\therefore 90-(-60t+240)=30$,解得 $t=3$.
综上所述,当 $t=\frac{11}{7}$ 或 2 或 3 时,两车与警亭的距离相等.