24.(2026·河北石家庄十七月考)如图,在$△ ABC$中,BE,CF分别是AC,AB两边上的高,在BE上截取$BD=AC$,在CF的延长线上截取$CG=AB$,连接AD,AG.
(1)求证:$AD=AG$.
(2)AD与AG的位置关系如何?请说明理由.
(1)求证:$AD=AG$.
(2)AD与AG的位置关系如何?请说明理由.
答案：24.(1)$\because BE⊥ AC$,$CF⊥ AB$,$\therefore ∠ HFB=∠ HEC=90°$.
又$∠ BHF=∠ CHE$,$\therefore ∠ ABD=∠ GCA$.
在$△ ABD$和$△ GCA$中,$\begin{cases} AB=GC, \\ ∠ ABD=∠ GCA, \\ BD=CA, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ GCA(\mathrm{SAS})$,$\therefore AD=GA$.
(2)位置关系是 $AD⊥ AG$. 理由如下:
$\because △ ABD≌△ GCA$,$\therefore ∠ ADB=∠ GAC$.
又$∠ ADB=∠ AED+∠ DAE$,$∠ GAC=∠ GAD+∠ DAE$,
$BE⊥ AC$,$\therefore ∠ AED=∠ GAD=90°$,$\therefore AD⊥ AG$.
又$∠ BHF=∠ CHE$,$\therefore ∠ ABD=∠ GCA$.
在$△ ABD$和$△ GCA$中,$\begin{cases} AB=GC, \\ ∠ ABD=∠ GCA, \\ BD=CA, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ GCA(\mathrm{SAS})$,$\therefore AD=GA$.
(2)位置关系是 $AD⊥ AG$. 理由如下:
$\because △ ABD≌△ GCA$,$\therefore ∠ ADB=∠ GAC$.
又$∠ ADB=∠ AED+∠ DAE$,$∠ GAC=∠ GAD+∠ DAE$,
$BE⊥ AC$,$\therefore ∠ AED=∠ GAD=90°$,$\therefore AD⊥ AG$.
25. 如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=50°，点D在线段BC上运动（不含端点），连接AD，作∠ADE=50°，DE交线段AC于点E。
(1)当线段DC的长为何值时，△ABD≌△DCE？
(2)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由。
(1)当线段DC的长为何值时，△ABD≌△DCE？
(2)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由。
答案：25.(1)当线段 $DC$ 的长为 2 时,$△ ABD≌△ DCE$,理由如下:
$\because ∠ ADC=∠ B+∠ BAD=∠ ADE+∠ EDC$,$∠ ADE=∠ B$,
$\therefore ∠ EDC=∠ BAD$.
$\because CD=2$,$AB=2$,$\therefore CD=AB$. $\because AB=AC$,$\therefore ∠ B=∠ C$.
在$△ ABD$和$△ DCE$中,$\begin{cases} ∠ B=∠ C, \\ AB=DC, \\ ∠ BAD=∠ CDE, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ DCE(\mathrm{ASA})$.
(2)可以. 理由如下:
当 $AD=AE$ 时,$∠ ADE=∠ AED=50°$,
此时点 $E$ 与 $C$ 重合,点 $D$ 与 $B$ 重合,不符合题意,故舍去;
当 $DA=DE$ 时,$∠ DAE=∠ DEA=(180°-50°)÷2=65°$,
$\therefore ∠ BDA=∠ DAC+∠ C=65°+50°=115°$;
当 $EA=ED$ 时,$∠ EAD=∠ EDA=50°$,$∠ BDA=∠ DAC+∠ C=50°+50°=100°$.
综上所述,$∠ BDA$ 的度数为 $115°$ 或 $100°$.
$\because ∠ ADC=∠ B+∠ BAD=∠ ADE+∠ EDC$,$∠ ADE=∠ B$,
$\therefore ∠ EDC=∠ BAD$.
$\because CD=2$,$AB=2$,$\therefore CD=AB$. $\because AB=AC$,$\therefore ∠ B=∠ C$.
在$△ ABD$和$△ DCE$中,$\begin{cases} ∠ B=∠ C, \\ AB=DC, \\ ∠ BAD=∠ CDE, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ DCE(\mathrm{ASA})$.
(2)可以. 理由如下:
当 $AD=AE$ 时,$∠ ADE=∠ AED=50°$,
此时点 $E$ 与 $C$ 重合,点 $D$ 与 $B$ 重合,不符合题意,故舍去;
当 $DA=DE$ 时,$∠ DAE=∠ DEA=(180°-50°)÷2=65°$,
$\therefore ∠ BDA=∠ DAC+∠ C=65°+50°=115°$;
当 $EA=ED$ 时,$∠ EAD=∠ EDA=50°$,$∠ BDA=∠ DAC+∠ C=50°+50°=100°$.
综上所述,$∠ BDA$ 的度数为 $115°$ 或 $100°$.