例4 (2025·南阳一模)如图,点A的坐标是(-4,6),将线段OA绕点O顺时针旋转90°,点A的对应点的坐标是(
A.(4,6)
B.(6,4)
C.(-6,-4)
D.(-4,-6)
名师启发 根据题意画出旋转后的图形,再结合全等三角形的判定与性质即可解决问题.
B
).A.(4,6)
B.(6,4)
C.(-6,-4)
D.(-4,-6)
名师启发 根据题意画出旋转后的图形,再结合全等三角形的判定与性质即可解决问题.
答案：
B
[解析]令点 A 的对应点为点 B. 如图
所示,分别过点 A 和点 B 作 x 轴的垂线,垂足分别为 M 和 N.
由旋转可知,$OA=OB,∠AOB=90°$,
∴$∠AOM+∠BON=∠A+∠AOM=90°$,
∴$∠A=∠BON$.
在$△AOM$和$△OBN$中,
$\begin{cases}∠AMO=∠ONB,\\∠A=∠BON,\\OA=BO,\end{cases}$
∴$△AOM≌△OBN(AAS)$,
∴$BN=MO,ON=AM$.
∵点 A 的坐标为(−4,6),
∴$BN=MO=4,ON=AM=6$,
∴点 B 的坐标为(6,4). 故选 B.
B
[解析]令点 A 的对应点为点 B. 如图
所示,分别过点 A 和点 B 作 x 轴的垂线,垂足分别为 M 和 N.由旋转可知,$OA=OB,∠AOB=90°$,
∴$∠AOM+∠BON=∠A+∠AOM=90°$,
∴$∠A=∠BON$.
在$△AOM$和$△OBN$中,
$\begin{cases}∠AMO=∠ONB,\\∠A=∠BON,\\OA=BO,\end{cases}$
∴$△AOM≌△OBN(AAS)$,
∴$BN=MO,ON=AM$.
∵点 A 的坐标为(−4,6),
∴$BN=MO=4,ON=AM=6$,
∴点 B 的坐标为(6,4). 故选 B.
解析：
【分析】
遇到平面直角坐标系内点绕原点旋转90°求对应点坐标的问题，首先结合旋转的性质：旋转前后对应线段长度相等、旋转角为90°，通过向x轴作垂线构造直角三角形，利用同角的余角相等得到一组相等的角，结合直角相等、对应边相等证明两个直角三角形全等，再根据已知点的坐标得到对应边的长度，最后结合对应点所在象限确定坐标的符号，即可得到所求点的坐标。
【解析】
设点A的对应点为点B，分别过点A、B作AM⊥x轴于点M，BN⊥x轴于点N。
由旋转的性质可得：$OA=OB$，$∠AOB=90°$，
∴$∠AOM + ∠BON = 90°$，
又
∵$∠AOM + ∠OAM = 90°$，
∴$∠OAM = ∠BON$。
在$△ AOM$和$△ OBN$中：
$\begin{cases}∠AMO=∠ONB=90°\\∠OAM=∠BON\\OA=OB\end{cases}$
∴$△ AOM≌△ OBN(\mathrm{AAS})$，
∴$BN=OM$，$ON=AM$。
∵点A的坐标为$(-4,6)$，
∴$OM=4$，$AM=6$，
∴$BN=4$，$ON=6$，
又
∵点B在第一象限，
∴点B的坐标为$(6,4)$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；点的坐标特征
【点评】
本题是平面直角坐标系中旋转类坐标求解的典型题型，解题核心是通过构造直角三角形，利用全等三角形的性质将已知点的坐标转化为所求点的对应线段长度，同时要注意旋转方向对所求点所在象限及坐标符号的影响。
【难度系数】
0.7
遇到平面直角坐标系内点绕原点旋转90°求对应点坐标的问题，首先结合旋转的性质：旋转前后对应线段长度相等、旋转角为90°，通过向x轴作垂线构造直角三角形，利用同角的余角相等得到一组相等的角，结合直角相等、对应边相等证明两个直角三角形全等，再根据已知点的坐标得到对应边的长度，最后结合对应点所在象限确定坐标的符号，即可得到所求点的坐标。
【解析】
设点A的对应点为点B，分别过点A、B作AM⊥x轴于点M，BN⊥x轴于点N。
由旋转的性质可得：$OA=OB$，$∠AOB=90°$，
∴$∠AOM + ∠BON = 90°$，
又
∵$∠AOM + ∠OAM = 90°$，
∴$∠OAM = ∠BON$。
在$△ AOM$和$△ OBN$中：
$\begin{cases}∠AMO=∠ONB=90°\\∠OAM=∠BON\\OA=OB\end{cases}$
∴$△ AOM≌△ OBN(\mathrm{AAS})$，
∴$BN=OM$，$ON=AM$。
∵点A的坐标为$(-4,6)$，
∴$OM=4$，$AM=6$，
∴$BN=4$，$ON=6$，
又
∵点B在第一象限，
∴点B的坐标为$(6,4)$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；点的坐标特征
【点评】
本题是平面直角坐标系中旋转类坐标求解的典型题型，解题核心是通过构造直角三角形，利用全等三角形的性质将已知点的坐标转化为所求点的对应线段长度，同时要注意旋转方向对所求点所在象限及坐标符号的影响。
【难度系数】
0.7
例5 (2026·扬州邗江区期末)已知点A(-3,2),点B(m,n)关于x轴对称,则m+n等于(
A.1
B.5
C.-1
D.-5
名师启发 根据点A(-3,2),点B(m,n)关于x轴对称,确定B(-3,-2)计算即可.
D
).A.1
B.5
C.-1
D.-5
名师启发 根据点A(-3,2),点B(m,n)关于x轴对称,确定B(-3,-2)计算即可.
答案：D
[解析]
∵点 A(−3,2),点 B(m,n)关于 x 轴对称,
∴B(−3,−2),
∴$m=−3,n=−2$,
∴$m+n=−3−2=−5$.
故选 D.
[解析]
∵点 A(−3,2),点 B(m,n)关于 x 轴对称,
∴B(−3,−2),
∴$m=−3,n=−2$,
∴$m+n=−3−2=−5$.
故选 D.
解析：
【分析】
解题时首先回忆关于x轴对称的点的坐标性质：关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数。首先根据点A的坐标，结合该性质求出点B的坐标，得到m、n的取值，最后代入计算m+n的值即可得到答案。
【解析】
∵点A(-3,2)与点B(m,n)关于x轴对称，
∴两点横坐标相等，纵坐标互为相反数，即m=-3，n=-2，
∴m+n=-3+(-2)=-5。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征；有理数的加法运算
【点评】
本题考查平面直角坐标系中点的对称规律应用，属于基础题型，解题的关键是准确记忆不同对称轴对应的点的坐标变化规律，避免混淆x轴、y轴对称的坐标特征即可正确求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆关于x轴对称的点的坐标性质：关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数。首先根据点A的坐标，结合该性质求出点B的坐标，得到m、n的取值，最后代入计算m+n的值即可得到答案。
【解析】
∵点A(-3,2)与点B(m,n)关于x轴对称，
∴两点横坐标相等，纵坐标互为相反数，即m=-3，n=-2，
∴m+n=-3+(-2)=-5。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征；有理数的加法运算
【点评】
本题考查平面直角坐标系中点的对称规律应用，属于基础题型，解题的关键是准确记忆不同对称轴对应的点的坐标变化规律，避免混淆x轴、y轴对称的坐标特征即可正确求解。
【难度系数】
0.8
例6 如图，在平面直角坐标系中，△AOB是直角三角形，∠OAB＝90°，OA＝8，AB＝6，则点A关于y轴的对称点的坐标为
名师启发 首先直接利用勾股定理得出BO的长，再利用直角三角形面积得出斜边上的高，进而得出点A的坐标，即可得出点A关于y轴的对称点的坐标。
$(-\dfrac{32}{5},\dfrac{24}{5})$
。名师启发 首先直接利用勾股定理得出BO的长，再利用直角三角形面积得出斜边上的高，进而得出点A的坐标，即可得出点A关于y轴的对称点的坐标。
答案：
$(-\dfrac{32}{5},\dfrac{24}{5})$
[解析]如图
,过点 A 作 $AC⊥OB$ 于点 C.
∵$△AOB$ 是直角三角形, $∠OAB=90°,OA=8,AB=6$,
∴$BO^2=8^2+6^2=100$,
∴$BO=10$,
∴$AC·BO=AO·AB$,
∴$AC=\dfrac{AO·AB}{BO}=\dfrac{6×8}{10}=\dfrac{24}{5}$,
∴$CO^2=OA^2−AC^2=8^2−(\dfrac{24}{5})^2=(\dfrac{32}{5})^2$,
∴$CO=\dfrac{32}{5}$,
∴点 A 坐标为$(\dfrac{32}{5},\dfrac{24}{5})$,
∴点 A 关于 y 轴的对称点的坐标为$(-\dfrac{32}{5},\dfrac{24}{5})$.
$(-\dfrac{32}{5},\dfrac{24}{5})$
[解析]如图
,过点 A 作 $AC⊥OB$ 于点 C.∵$△AOB$ 是直角三角形, $∠OAB=90°,OA=8,AB=6$,
∴$BO^2=8^2+6^2=100$,
∴$BO=10$,
∴$AC·BO=AO·AB$,
∴$AC=\dfrac{AO·AB}{BO}=\dfrac{6×8}{10}=\dfrac{24}{5}$,
∴$CO^2=OA^2−AC^2=8^2−(\dfrac{24}{5})^2=(\dfrac{32}{5})^2$,
∴$CO=\dfrac{32}{5}$,
∴点 A 坐标为$(\dfrac{32}{5},\dfrac{24}{5})$,
∴点 A 关于 y 轴的对称点的坐标为$(-\dfrac{32}{5},\dfrac{24}{5})$.
解析：
【分析】
要得到点A关于y轴的对称点坐标，需先求出点A的坐标：①首先△AOB是直角三角形，已知两条直角边长度，可先用勾股定理求出斜边OB的长度；②过A作OB的垂线AC，AC的长度是点A的纵坐标，OC的长度是点A的横坐标，可利用直角三角形的两种面积计算方式（直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半），用等面积法求出AC的长度；③再在Rt△OAC中用勾股定理求出OC的长度，得到点A的坐标；④最后根据关于y轴对称的点“横坐标互为相反数，纵坐标不变”的特征，即可求出对称点坐标。
【解析】
如图，过点A作$AC⊥OB$于点C。
∵△AOB是直角三角形，$∠OAB=90°$，$OA=8$，$AB=6$，
∴由勾股定理得：$BO^2=OA^2+AB^2=8^2+6^2=100$，
∴$BO=10$。
∵直角三角形面积可表示为$\frac{1}{2}AO·AB$，也可表示为$\frac{1}{2}AC·BO$，
∴$AC·BO=AO·AB$，
∴$AC=\frac{AO·AB}{BO}=\frac{6×8}{10}=\frac{24}{5}$。
在Rt△OAC中，由勾股定理得：$CO^2=OA^2-AC^2=8^2-(\frac{24}{5})^2=(\frac{32}{5})^2$，
∴$CO=\frac{32}{5}$，
∴点A的坐标为$(\frac{32}{5},\frac{24}{5})$。
∵关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变，
∴点A关于y轴的对称点的坐标为$(-\frac{32}{5},\frac{24}{5})$。
【答案】
$(-\dfrac{32}{5},\dfrac{24}{5})$
【知识点】
勾股定理，等面积法求高，关于y轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题综合考查了直角三角形的性质与平面直角坐标系的相关知识点，解题的关键是灵活运用等面积法求出点A的纵坐标，再结合勾股定理得到点A的横坐标，最后利用对称点的性质得到结果，等面积法的使用能够有效简化计算过程。
【难度系数】
0.65
要得到点A关于y轴的对称点坐标，需先求出点A的坐标：①首先△AOB是直角三角形，已知两条直角边长度，可先用勾股定理求出斜边OB的长度；②过A作OB的垂线AC，AC的长度是点A的纵坐标，OC的长度是点A的横坐标，可利用直角三角形的两种面积计算方式（直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半），用等面积法求出AC的长度；③再在Rt△OAC中用勾股定理求出OC的长度，得到点A的坐标；④最后根据关于y轴对称的点“横坐标互为相反数，纵坐标不变”的特征，即可求出对称点坐标。
【解析】
如图
，过点A作$AC⊥OB$于点C。∵△AOB是直角三角形，$∠OAB=90°$，$OA=8$，$AB=6$，
∴由勾股定理得：$BO^2=OA^2+AB^2=8^2+6^2=100$，
∴$BO=10$。
∵直角三角形面积可表示为$\frac{1}{2}AO·AB$，也可表示为$\frac{1}{2}AC·BO$，
∴$AC·BO=AO·AB$，
∴$AC=\frac{AO·AB}{BO}=\frac{6×8}{10}=\frac{24}{5}$。
在Rt△OAC中，由勾股定理得：$CO^2=OA^2-AC^2=8^2-(\frac{24}{5})^2=(\frac{32}{5})^2$，
∴$CO=\frac{32}{5}$，
∴点A的坐标为$(\frac{32}{5},\frac{24}{5})$。
∵关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变，
∴点A关于y轴的对称点的坐标为$(-\frac{32}{5},\frac{24}{5})$。
【答案】
$(-\dfrac{32}{5},\dfrac{24}{5})$
【知识点】
勾股定理，等面积法求高，关于y轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题综合考查了直角三角形的性质与平面直角坐标系的相关知识点，解题的关键是灵活运用等面积法求出点A的纵坐标，再结合勾股定理得到点A的横坐标，最后利用对称点的性质得到结果，等面积法的使用能够有效简化计算过程。
【难度系数】
0.65
例7 如图，平面直角坐标系中四边形ABCD的面积是(
A.4
B.5.5
C.4.5
D.5
名师启发 过点A作x轴的垂线，垂足为E，将不规则四边形分割为两个直角三角形和一个直角梯形，求其面积即可。
C
).A.4
B.5.5
C.4.5
D.5
名师启发 过点A作x轴的垂线，垂足为E，将不规则四边形分割为两个直角三角形和一个直角梯形，求其面积即可。
答案：C
[解析]过点 A 作 $AE⊥BC$,垂足为 E,则
$S_{四边形ABCD}=S_{△OCD}+S_{梯形ODAE}+S_{△ABE}=\dfrac{1}{2}×1×1+\dfrac{1}{2}×(1+2)×2+\dfrac{1}{2}×1×2=4.5$. 故选 C.
[解析]过点 A 作 $AE⊥BC$,垂足为 E,则
$S_{四边形ABCD}=S_{△OCD}+S_{梯形ODAE}+S_{△ABE}=\dfrac{1}{2}×1×1+\dfrac{1}{2}×(1+2)×2+\dfrac{1}{2}×1×2=4.5$. 故选 C.
解析：
【分析】
四边形ABCD是不规则图形，无法直接用公式计算面积，因此考虑用割补法将其转化为规则图形的面积和求解。根据提示过点A作x轴的垂线AE，垂足为E，可将四边形分割为△OCD、梯形ODAE、△ABE三个规则图形，接下来只需确定各规则图形的相关边长，代入对应面积公式计算，最后求和即可得到四边形的面积。
【解析】
过点A作AE⊥x轴，垂足为E，由图可得各相关点坐标：C(-1,0)，D(0,1)，A(2,2)，B(3,0)，E(2,0)。
分别计算三个规则图形的面积：
1. 直角三角形OCD的面积：$S_{△ OCD}=\frac{1}{2} × OC × OD=\frac{1}{2} × 1 × 1=0.5$；
2. 直角梯形ODAE的面积：$S_{梯形ODAE}=\frac{1}{2} × (OD+AE) × OE=\frac{1}{2} × (1+2) × 2=3$；
3. 直角三角形ABE的面积：$S_{△ ABE}=\frac{1}{2} × BE × AE=\frac{1}{2} × (3-2) × 2=1$。
因此四边形ABCD的面积为：$S_{四边形ABCD}=0.5+3+1=4.5$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
割补法求面积，坐标与几何，图形面积计算
【点评】
本题是坐标与几何结合的基础题型，解题关键是合理添加辅助线，将不规则图形转化为熟悉的规则图形，再结合坐标求出各线段长度，代入面积公式计算即可。
【难度系数】
0.7
四边形ABCD是不规则图形，无法直接用公式计算面积，因此考虑用割补法将其转化为规则图形的面积和求解。根据提示过点A作x轴的垂线AE，垂足为E，可将四边形分割为△OCD、梯形ODAE、△ABE三个规则图形，接下来只需确定各规则图形的相关边长，代入对应面积公式计算，最后求和即可得到四边形的面积。
【解析】
过点A作AE⊥x轴，垂足为E，由图可得各相关点坐标：C(-1,0)，D(0,1)，A(2,2)，B(3,0)，E(2,0)。
分别计算三个规则图形的面积：
1. 直角三角形OCD的面积：$S_{△ OCD}=\frac{1}{2} × OC × OD=\frac{1}{2} × 1 × 1=0.5$；
2. 直角梯形ODAE的面积：$S_{梯形ODAE}=\frac{1}{2} × (OD+AE) × OE=\frac{1}{2} × (1+2) × 2=3$；
3. 直角三角形ABE的面积：$S_{△ ABE}=\frac{1}{2} × BE × AE=\frac{1}{2} × (3-2) × 2=1$。
因此四边形ABCD的面积为：$S_{四边形ABCD}=0.5+3+1=4.5$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
割补法求面积，坐标与几何，图形面积计算
【点评】
本题是坐标与几何结合的基础题型，解题关键是合理添加辅助线，将不规则图形转化为熟悉的规则图形，再结合坐标求出各线段长度，代入面积公式计算即可。
【难度系数】
0.7
例8（2025·苏州期末）如图，在平面直角坐标系中，点A(0,4)，点C(4,1)，连接AC，D是x轴上一点，若△ACD是以AC为底边的等腰三角形，则点D的坐标为
名师启发 设$D(m,0)$，根据两点间距离公式，结合等腰三角形定义，得出$m^2 +16=(4 - m)^2 +1$，求出$m$的值，即可得出答案。
$(\dfrac{1}{8},0)$
。名师启发 设$D(m,0)$，根据两点间距离公式，结合等腰三角形定义，得出$m^2 +16=(4 - m)^2 +1$，求出$m$的值，即可得出答案。
答案：$(\dfrac{1}{8},0)$
[解析]设 $D(m,0)$.
∵点 A(0,4),点 C(4,1),
∴$AD^2=m^2+4^2=m^2+16,CD^2=(4−m)^2+1$.
由题意可知 $AD=CD$,
∴$AD^2=CD^2$,
∴$m^2+16=(4−m)^2+1$,
∴$m=\dfrac{1}{8}$.
故点 D 的坐标为$(\dfrac{1}{8},0)$.
[解析]设 $D(m,0)$.
∵点 A(0,4),点 C(4,1),
∴$AD^2=m^2+4^2=m^2+16,CD^2=(4−m)^2+1$.
由题意可知 $AD=CD$,
∴$AD^2=CD^2$,
∴$m^2+16=(4−m)^2+1$,
∴$m=\dfrac{1}{8}$.
故点 D 的坐标为$(\dfrac{1}{8},0)$.
解析：
【分析】
首先根据“△ACD是以AC为底边的等腰三角形”这一条件，结合等腰三角形的定义，可知两腰AD和CD长度相等；由于点D在x轴上，其纵坐标固定为0，因此可设D的坐标为$(m,0)$；再利用两点间距离公式分别表示出$AD^2$和$CD^2$，根据相等的两条线段平方也相等列方程，求解得到m的值即可确定D点坐标。
【解析】
设点D的坐标为$(m,0)$。
已知点$A(0,4)$，点$C(4,1)$，根据两点间距离公式可得：
$AD^2=(m-0)^2+(0-4)^2=m^2+16$，
$CD^2=(m-4)^2+(0-1)^2=(4-m)^2+1$。
因为△ACD是以AC为底边的等腰三角形，所以$AD=CD$，因此$AD^2=CD^2$，即：
$m^2 + 16=(4-m)^2 + 1$
展开等式右侧得：$m^2 +16=16-8m+m^2+1$
化简后解得：$m=\dfrac{1}{8}$
因此点D的坐标为$(\dfrac{1}{8},0)$。
【答案】
$( \dfrac{1}{8},0 )$
【知识点】
1. 等腰三角形性质
2. 两点间距离公式
3. 坐标与图形性质
【点评】
本题是几何性质与代数计算结合的典型题型，解题核心是准确根据等腰三角形底边的限定确定相等的边，再通过设未知坐标列方程求解，很好地体现了数形结合思想的应用，解题时要注意不要混淆等腰三角形的底边和腰。
【难度系数】
0.7
首先根据“△ACD是以AC为底边的等腰三角形”这一条件，结合等腰三角形的定义，可知两腰AD和CD长度相等；由于点D在x轴上，其纵坐标固定为0，因此可设D的坐标为$(m,0)$；再利用两点间距离公式分别表示出$AD^2$和$CD^2$，根据相等的两条线段平方也相等列方程，求解得到m的值即可确定D点坐标。
【解析】
设点D的坐标为$(m,0)$。
已知点$A(0,4)$，点$C(4,1)$，根据两点间距离公式可得：
$AD^2=(m-0)^2+(0-4)^2=m^2+16$，
$CD^2=(m-4)^2+(0-1)^2=(4-m)^2+1$。
因为△ACD是以AC为底边的等腰三角形，所以$AD=CD$，因此$AD^2=CD^2$，即：
$m^2 + 16=(4-m)^2 + 1$
展开等式右侧得：$m^2 +16=16-8m+m^2+1$
化简后解得：$m=\dfrac{1}{8}$
因此点D的坐标为$(\dfrac{1}{8},0)$。
【答案】
$( \dfrac{1}{8},0 )$
【知识点】
1. 等腰三角形性质
2. 两点间距离公式
3. 坐标与图形性质
【点评】
本题是几何性质与代数计算结合的典型题型，解题核心是准确根据等腰三角形底边的限定确定相等的边，再通过设未知坐标列方程求解，很好地体现了数形结合思想的应用，解题时要注意不要混淆等腰三角形的底边和腰。
【难度系数】
0.7