例9 (2026·甘肃陇南期末改编)如图,在平面直角坐标系中,△ABC各顶点的坐标分别为A(4,0),B(-1,4),C(-3,1).
(1)在图中作△A'B'C'使△A'B'C'和△ABC关于x轴对称;
(2)写出点A',B',C'的坐标.
名师启发 (1)根据关于x轴对称的点的坐标特征得到点A'的坐标为(4,0),点B'的坐标为(-1,-4),点C'的坐标为(-3,-1),然后描点、连线;
(2)由(1)可得到三个对应点的坐标.
归纳总结
本题考查了坐标与图形——对称.关于x轴对称:横坐标相等,纵坐标互为相反数;关于y轴对称:纵坐标相等,横坐标互为相反数.
(1)在图中作△A'B'C'使△A'B'C'和△ABC关于x轴对称;
(2)写出点A',B',C'的坐标.
名师启发 (1)根据关于x轴对称的点的坐标特征得到点A'的坐标为(4,0),点B'的坐标为(-1,-4),点C'的坐标为(-3,-1),然后描点、连线;
(2)由(1)可得到三个对应点的坐标.
归纳总结
本题考查了坐标与图形——对称.关于x轴对称:横坐标相等,纵坐标互为相反数;关于y轴对称:纵坐标相等,横坐标互为相反数.
答案：
(1)如图
,△A'B'C'即为所求.
(2)点 A'的坐标为(4,0),点 B'的坐标为(−1,−4),点 C'的坐标为(−3,−1).
(1)如图
,△A'B'C'即为所求.(2)点 A'的坐标为(4,0),点 B'的坐标为(−1,−4),点 C'的坐标为(−3,−1).
解析：
【分析】
要作出与△ABC关于x轴对称的△A'B'C'，首先回忆关于x轴对称的点的坐标性质：横坐标保持不变，纵坐标互为相反数。第一步先根据原三角形三个顶点的坐标，计算出对应对称点的坐标；第二步在平面直角坐标系中描出这三个对称点，再顺次连接即可得到所求三角形。第二问直接将第一问算出的对称点坐标写出即可。
【解析】
(1) 关于x轴对称的点的坐标特征为：横坐标相等，纵坐标互为相反数。
已知△ABC三个顶点坐标分别为A(4,0)、B(-1,4)、C(-3,1)，据此计算对称点坐标：
A点横坐标4不变，纵坐标0的相反数仍为0，得A'(4,0)；
B点横坐标-1不变，纵坐标4的相反数为-4，得B'(-1,-4)；
C点横坐标-3不变，纵坐标1的相反数为-1，得C'(-3,-1)。
在坐标系中依次描出A'、B'、C'三个点，再顺次连接A'B'、B'C'、C'A'，所得三角形即为所求。
(2) 由上述坐标计算过程，可直接写出三个对应点的坐标。
【答案】
(1)如图,△A'B'C'即为所求.
(2)点 A'的坐标为(4,0),点 B'的坐标为(−1,−4),点 C'的坐标为(−3,−1).
【知识点】
x轴对称的坐标特征，坐标与图形变换，描点作图
【点评】
本题属于基础题型，核心考查轴对称变换下的坐标变化规律与作图能力，解题关键是牢记关于x轴对称的点“横同纵反”的坐标特征，掌握规律即可快速解决此类问题。
【难度系数】
0.85
要作出与△ABC关于x轴对称的△A'B'C'，首先回忆关于x轴对称的点的坐标性质：横坐标保持不变，纵坐标互为相反数。第一步先根据原三角形三个顶点的坐标，计算出对应对称点的坐标；第二步在平面直角坐标系中描出这三个对称点，再顺次连接即可得到所求三角形。第二问直接将第一问算出的对称点坐标写出即可。
【解析】
(1) 关于x轴对称的点的坐标特征为：横坐标相等，纵坐标互为相反数。
已知△ABC三个顶点坐标分别为A(4,0)、B(-1,4)、C(-3,1)，据此计算对称点坐标：
A点横坐标4不变，纵坐标0的相反数仍为0，得A'(4,0)；
B点横坐标-1不变，纵坐标4的相反数为-4，得B'(-1,-4)；
C点横坐标-3不变，纵坐标1的相反数为-1，得C'(-3,-1)。
在坐标系中依次描出A'、B'、C'三个点，再顺次连接A'B'、B'C'、C'A'，所得三角形即为所求。
(2) 由上述坐标计算过程，可直接写出三个对应点的坐标。
【答案】
(1)如图
,△A'B'C'即为所求.(2)点 A'的坐标为(4,0),点 B'的坐标为(−1,−4),点 C'的坐标为(−3,−1).
【知识点】
x轴对称的坐标特征，坐标与图形变换，描点作图
【点评】
本题属于基础题型，核心考查轴对称变换下的坐标变化规律与作图能力，解题关键是牢记关于x轴对称的点“横同纵反”的坐标特征，掌握规律即可快速解决此类问题。
【难度系数】
0.85
例10 在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右、向上、向右、向下的方向依次不断移动，每次移动1 m. 其行走路线如图所示，第1次移动到$A_1$，第2次移动到$A_2$，…，第n次移动到$A_n$，则$△ OA_2A_{2025}$的面积为(
A.$505\ \mathrm{m}^2$
B.$506\ \mathrm{m}^2$
C.$\frac{1013}{2}\ \mathrm{m}^2$
D.$507\ \mathrm{m}^2$
名师启发 由题意，可得规律$OA_{4n}=2n\ \mathrm{m}$，从而可得$OA_{2024}=2×506=1012(\mathrm{m})$，进而$A_{2025}$到y轴的垂直距离为$1012+1=1013(\mathrm{m})$，最后根据三角形的面积公式即可得到$△ OA_2A_{2025}$的面积.
C
).A.$505\ \mathrm{m}^2$
B.$506\ \mathrm{m}^2$
C.$\frac{1013}{2}\ \mathrm{m}^2$
D.$507\ \mathrm{m}^2$
名师启发 由题意，可得规律$OA_{4n}=2n\ \mathrm{m}$，从而可得$OA_{2024}=2×506=1012(\mathrm{m})$，进而$A_{2025}$到y轴的垂直距离为$1012+1=1013(\mathrm{m})$，最后根据三角形的面积公式即可得到$△ OA_2A_{2025}$的面积.
答案：C
[解析]由题意,得 $OA_{4n}=2n\ \mathrm{m}$.
∵$2\ 025÷4=506······1$,
∴机器人经过 506 个完整的循环后,机器人又向右移动 1 次,
∴$A_{2025}$ 到 y 轴的距离为 $1\ 012+1=1\ 013(\mathrm{m})$,
∴$△OA_2A_{2025}$ 的面积为 $\dfrac{1}{2}×1×1\ 013=\dfrac{1\ 013}{2}(\mathrm{m}^2)$.
故选 C.
[解析]由题意,得 $OA_{4n}=2n\ \mathrm{m}$.
∵$2\ 025÷4=506······1$,
∴机器人经过 506 个完整的循环后,机器人又向右移动 1 次,
∴$A_{2025}$ 到 y 轴的距离为 $1\ 012+1=1\ 013(\mathrm{m})$,
∴$△OA_2A_{2025}$ 的面积为 $\dfrac{1}{2}×1×1\ 013=\dfrac{1\ 013}{2}(\mathrm{m}^2)$.
故选 C.
解析：
【分析】
首先观察机器人的移动路径，发现其每4次移动为一个循环周期，每个周期内依次完成向右、向上、向右、向下各移动1m的操作，每经过一个周期，横坐标增加2，纵坐标回到x轴。我们先根据周期规律求出点$A_{2025}$的横坐标，再明确$△ OA_2A_{2025}$的底和高，最后代入三角形面积公式就能算出结果。
【解析】
解：由移动规律可得，每4次移动为一个循环，每完成一个循环，机器人在x轴方向前进2m，即$OA_{4n}=2n\ \mathrm{m}$。
计算$2025÷4=506······1$，说明第2024次移动时刚好完成506个完整循环，此时$A_{2024}$的横坐标为$2×506=1012$，纵坐标为0；
第2025次移动为下一个循环的第一步，向右移动1m，故$A_{2025}$的横坐标为$1012+1=1013$，纵坐标为0；
已知$A_2$的坐标为$(1,1)$，$△ OA_2A_{2025}$的底为$OA_{2025}$的长度1013m，高为$A_2$到x轴的距离1m，
根据三角形面积公式：$S=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}×1013×1=\frac{1013}{2}\ \mathrm{m}^2$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
平面直角坐标系规律探究、周期规律、三角形面积计算
【点评】
本题是规律探究与几何计算结合的典型题型，核心是通过观察移动路径总结出周期规律，准确推导目标点的坐标，再结合图形特征选取合适的底和高计算面积，解题时需注意余数对应的移动方向，避免坐标计算出错。
【难度系数】
0.6
首先观察机器人的移动路径，发现其每4次移动为一个循环周期，每个周期内依次完成向右、向上、向右、向下各移动1m的操作，每经过一个周期，横坐标增加2，纵坐标回到x轴。我们先根据周期规律求出点$A_{2025}$的横坐标，再明确$△ OA_2A_{2025}$的底和高，最后代入三角形面积公式就能算出结果。
【解析】
解：由移动规律可得，每4次移动为一个循环，每完成一个循环，机器人在x轴方向前进2m，即$OA_{4n}=2n\ \mathrm{m}$。
计算$2025÷4=506······1$，说明第2024次移动时刚好完成506个完整循环，此时$A_{2024}$的横坐标为$2×506=1012$，纵坐标为0；
第2025次移动为下一个循环的第一步，向右移动1m，故$A_{2025}$的横坐标为$1012+1=1013$，纵坐标为0；
已知$A_2$的坐标为$(1,1)$，$△ OA_2A_{2025}$的底为$OA_{2025}$的长度1013m，高为$A_2$到x轴的距离1m，
根据三角形面积公式：$S=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}×1013×1=\frac{1013}{2}\ \mathrm{m}^2$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
平面直角坐标系规律探究、周期规律、三角形面积计算
【点评】
本题是规律探究与几何计算结合的典型题型，核心是通过观察移动路径总结出周期规律，准确推导目标点的坐标，再结合图形特征选取合适的底和高计算面积，解题时需注意余数对应的移动方向，避免坐标计算出错。
【难度系数】
0.6
例11 (2025·河北石家庄平山期末)如图,在平面直角坐标系中,有若干个整数点(横、纵坐标均为整数的点称为整数点),其顺序按图中“→”方向排列,如(0,1),(-1,2),(0,2),(1,2),(2,3),(1,3),(0,3),…,根据这个规律探索可得第2025个点的坐标是(
A.(43,44)
B.(-43,44)
C.(44,45)
D.(-44,45)
名师启发 按点的纵坐标分类:纵坐标是1的点有1个,纵坐标是2的点有3个,纵坐标是3的点有5个,纵坐标是4的点有7个,…,一般地,纵坐标为n的点有(2n−1)个;考虑点排列方向:纵坐标是1,3,5,7,…,点是从右往左的方向排列,纵坐标是2,4,6,…,点是从左往右的方向排列;而$45^2=2025$,当纵坐标是45时,这样的点共有89个,且点是从右往左方向排列,∴最左边的点的坐标为(-44,45),即可求出第2025个点的坐标.
D
).A.(43,44)
B.(-43,44)
C.(44,45)
D.(-44,45)
名师启发 按点的纵坐标分类:纵坐标是1的点有1个,纵坐标是2的点有3个,纵坐标是3的点有5个,纵坐标是4的点有7个,…,一般地,纵坐标为n的点有(2n−1)个;考虑点排列方向:纵坐标是1,3,5,7,…,点是从右往左的方向排列,纵坐标是2,4,6,…,点是从左往右的方向排列;而$45^2=2025$,当纵坐标是45时,这样的点共有89个,且点是从右往左方向排列,∴最左边的点的坐标为(-44,45),即可求出第2025个点的坐标.
答案：D
解析：
【分析】
解决本题可按三步思考：第一步先按纵坐标相同对整数点分组，观察每组的点数规律和总点数的计算规律；第二步观察每组点的排列方向和纵坐标奇偶性的关系；第三步计算前若干组的总点数，定位第2025个点所在的组，再结合该组的排列方向确定其横、纵坐标。
【解析】
1. 找每组点数及总点数规律：
观察发现，纵坐标为n的点共有$(2n-1)$个，前n组（纵坐标为1到n）的总点数为：
$1+3+5+\dots+(2n-1)=n^2$
2. 找排列方向规律：
纵坐标为奇数时，点按从右往左的顺序排列；纵坐标为偶数时，点按从左往右的顺序排列。
3. 定位第2025个点的纵坐标：
因为$45^2=2025$，所以第2025个点是纵坐标为45的组的最后一个点。
4. 求横坐标：
45是奇数，该组点从右往左排列，该组最右侧点的横坐标为$45-1=44$，最后一个（最左侧）点的横坐标为$-(45-1)=-44$，因此该点坐标为$(-44,45)$。
【答案】
D
【知识点】
1. 平面直角坐标系点坐标
2. 数字规律探究
3. 奇数列求和
【点评】
本题属于规律探究类题型，核心是通过分组观察归纳出点数、排列方向的变化规律，结合奇数列求和的结论快速锁定目标点的位置，侧重考查学生的观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.6
解决本题可按三步思考：第一步先按纵坐标相同对整数点分组，观察每组的点数规律和总点数的计算规律；第二步观察每组点的排列方向和纵坐标奇偶性的关系；第三步计算前若干组的总点数，定位第2025个点所在的组，再结合该组的排列方向确定其横、纵坐标。
【解析】
1. 找每组点数及总点数规律：
观察发现，纵坐标为n的点共有$(2n-1)$个，前n组（纵坐标为1到n）的总点数为：
$1+3+5+\dots+(2n-1)=n^2$
2. 找排列方向规律：
纵坐标为奇数时，点按从右往左的顺序排列；纵坐标为偶数时，点按从左往右的顺序排列。
3. 定位第2025个点的纵坐标：
因为$45^2=2025$，所以第2025个点是纵坐标为45的组的最后一个点。
4. 求横坐标：
45是奇数，该组点从右往左排列，该组最右侧点的横坐标为$45-1=44$，最后一个（最左侧）点的横坐标为$-(45-1)=-44$，因此该点坐标为$(-44,45)$。
【答案】
D
【知识点】
1. 平面直角坐标系点坐标
2. 数字规律探究
3. 奇数列求和
【点评】
本题属于规律探究类题型，核心是通过分组观察归纳出点数、排列方向的变化规律，结合奇数列求和的结论快速锁定目标点的位置，侧重考查学生的观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.6