4. (2025·四川达州外国语学校期中改编)在平面直角坐标系中,点$A(a-2,2a+3)$到$y$轴的距离为4,求$a$的值.
答案：
∵点 $A(a−2,2a+3)$ 到 $y$ 轴的距离为 4,
∴$|a−2|=4$,解得 $a=−2$ 或 $a=6$.
∵点 $A(a−2,2a+3)$ 到 $y$ 轴的距离为 4,
∴$|a−2|=4$,解得 $a=−2$ 或 $a=6$.
解析：
【分析】
要解决这道题，首先需要明确平面直角坐标系中点到y轴距离的计算规则：点到y轴的距离等于该点横坐标的绝对值。已知点A到y轴的距离为4，可列出关于a的绝对值方程，再根据绝对值的性质分两种情况求解，即可得到a的所有取值。
【解析】
∵点$A(a-2,2a+3)$到$y$轴的距离为4，
∴点A横坐标的绝对值等于4，即$|a-2|=4$，
根据绝对值的性质可得两种情况：
① $a-2=4$，解得$a=6$；
② $a-2=-4$，解得$a=-2$。
【答案】
$a=-2$或$a=6$
【知识点】
点到坐标轴的距离；绝对值的性质；解一元一次方程
【点评】
本题属于平面直角坐标系的基础题型，重点考察点到坐标轴距离和坐标的对应关系，易错点是容易忽略绝对值的两种情况，只算出一个a的值，解题时要注意距离是非负的，坐标的正负两种情况都要考虑。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要明确平面直角坐标系中点到y轴距离的计算规则：点到y轴的距离等于该点横坐标的绝对值。已知点A到y轴的距离为4，可列出关于a的绝对值方程，再根据绝对值的性质分两种情况求解，即可得到a的所有取值。
【解析】
∵点$A(a-2,2a+3)$到$y$轴的距离为4，
∴点A横坐标的绝对值等于4，即$|a-2|=4$，
根据绝对值的性质可得两种情况：
① $a-2=4$，解得$a=6$；
② $a-2=-4$，解得$a=-2$。
【答案】
$a=-2$或$a=6$
【知识点】
点到坐标轴的距离；绝对值的性质；解一元一次方程
【点评】
本题属于平面直角坐标系的基础题型，重点考察点到坐标轴距离和坐标的对应关系，易错点是容易忽略绝对值的两种情况，只算出一个a的值，解题时要注意距离是非负的，坐标的正负两种情况都要考虑。
【难度系数】
0.7
例3 已知$△ ABC$三个顶点的坐标分别为$A(-3,0),B(1,4),C(5,0)$,试判断$△ ABC$的形状.
解答 在$△ ABC$中,
$AB^2=(1+3)^2+4^2=32$,
$BC^2=(5-1)^2+4^2=32$,
$AC=5-(-3)=8$,
$\therefore AB^2=BC^2,AC^2=64$,
$\therefore AB=BC$且$AB^2+BC^2=AC^2$,
$\therefore △ ABC$是等腰直角三角形.
解答 在$△ ABC$中,
$AB^2=(1+3)^2+4^2=32$,
$BC^2=(5-1)^2+4^2=32$,
$AC=5-(-3)=8$,
$\therefore AB^2=BC^2,AC^2=64$,
$\therefore AB=BC$且$AB^2+BC^2=AC^2$,
$\therefore △ ABC$是等腰直角三角形.
答案：解：
在$△ ABC$中，
$AB^2=(1+3)^2+(4-0)^2=32$，
$BC^2=(5-1)^2+(0-4)^2=32$，
$\because A(-3,0)$，$C(5,0)$都在x轴上，
$\therefore AC=5-(-3)=8$，$AC^2=64$，
$\therefore AB^2=BC^2$，即$AB=BC$，
又$\because AB^2+BC^2=32+32=64=AC^2$，
$\therefore ∠ B=90°$，
$\therefore △ ABC$是等腰直角三角形。
在$△ ABC$中，
$AB^2=(1+3)^2+(4-0)^2=32$，
$BC^2=(5-1)^2+(0-4)^2=32$，
$\because A(-3,0)$，$C(5,0)$都在x轴上，
$\therefore AC=5-(-3)=8$，$AC^2=64$，
$\therefore AB^2=BC^2$，即$AB=BC$，
又$\because AB^2+BC^2=32+32=64=AC^2$，
$\therefore ∠ B=90°$，
$\therefore △ ABC$是等腰直角三角形。
解析：
【分析】
要判断平面直角坐标系中三角形的形状，可通过计算三边的长度关系分析。首先利用两点间距离公式计算三边长度的平方（无需开方，简化计算），先对比边长平方是否相等，判断是否为等腰三角形；再验证较短两边的平方和是否等于最长边的平方，利用勾股定理逆定理判断是否为直角三角形，结合两个结论即可确定三角形形状。
【解析】
在$△ ABC$中，
根据两点间距离的平方公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则两点距离的平方为$(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2$，
计算得：$AB^2=(1-(-3))^2+(4-0)^2=4^2+4^2=32$，
$BC^2=(5-1)^2+(0-4)^2=4^2+(-4)^2=32$，
因为$A(-3,0)$、$C(5,0)$的纵坐标均为0，都在x轴上，所以AC的长度为横坐标差的绝对值，即$AC=|5-(-3)|=8$，因此$AC^2=8^2=64$。
由$AB^2=BC^2=32$，可得$AB=BC$，即$△ ABC$为等腰三角形；
又因为$AB^2+BC^2=32+32=64=AC^2$，根据勾股定理的逆定理可知$∠ B=90°$。
综上，$△ ABC$是等腰直角三角形。
【答案】
$△ ABC$是等腰直角三角形
【知识点】
两点间距离计算，等腰三角形判定，勾股定理逆定理
【点评】
本题是平面直角坐标系与三角形形状判定的结合题，解题核心是通过坐标准确计算各边长度，计算时优先算边长的平方可避免开方运算，简化计算过程，同时需要结合等腰、直角三角形的判定条件综合推导结论。
【难度系数】
0.8
要判断平面直角坐标系中三角形的形状，可通过计算三边的长度关系分析。首先利用两点间距离公式计算三边长度的平方（无需开方，简化计算），先对比边长平方是否相等，判断是否为等腰三角形；再验证较短两边的平方和是否等于最长边的平方，利用勾股定理逆定理判断是否为直角三角形，结合两个结论即可确定三角形形状。
【解析】
在$△ ABC$中，
根据两点间距离的平方公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则两点距离的平方为$(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2$，
计算得：$AB^2=(1-(-3))^2+(4-0)^2=4^2+4^2=32$，
$BC^2=(5-1)^2+(0-4)^2=4^2+(-4)^2=32$，
因为$A(-3,0)$、$C(5,0)$的纵坐标均为0，都在x轴上，所以AC的长度为横坐标差的绝对值，即$AC=|5-(-3)|=8$，因此$AC^2=8^2=64$。
由$AB^2=BC^2=32$，可得$AB=BC$，即$△ ABC$为等腰三角形；
又因为$AB^2+BC^2=32+32=64=AC^2$，根据勾股定理的逆定理可知$∠ B=90°$。
综上，$△ ABC$是等腰直角三角形。
【答案】
$△ ABC$是等腰直角三角形
【知识点】
两点间距离计算，等腰三角形判定，勾股定理逆定理
【点评】
本题是平面直角坐标系与三角形形状判定的结合题，解题核心是通过坐标准确计算各边长度，计算时优先算边长的平方可避免开方运算，简化计算过程，同时需要结合等腰、直角三角形的判定条件综合推导结论。
【难度系数】
0.8
5. (2026·浙江宁波镇海区期末)已知点$Q(5-m,4m-10)$在第四象限，且点$Q$到两坐标轴的距离相等，那么$m$的值为(
A.3
B.$-3$或3
C.$\dfrac{5}{3}$
D.3或$\dfrac{5}{3}$
C
).A.3
B.$-3$或3
C.$\dfrac{5}{3}$
D.3或$\dfrac{5}{3}$
答案：C
[解析]
∵点 $Q(5−m,4m−10)$ 到两坐标轴的距离相等,
∴$|5−m|=|4m−10|$,
∴$5−m=4m−10$ 或 $5−m=−(4m−10)$,
解得 $m=3$ 或 $m=\dfrac{5}{3}$.
∵点 $Q(5−m,4m−10)$ 在第四象限,
∴$\begin{cases}5−m＞0,\\4m−10＜0,\end{cases}$ 解得 $m＜2.5$.
故 $m=3$ 不符合题意,舍去.
故 $m=\dfrac{5}{3}$. 故选 C.
[解析]
∵点 $Q(5−m,4m−10)$ 到两坐标轴的距离相等,
∴$|5−m|=|4m−10|$,
∴$5−m=4m−10$ 或 $5−m=−(4m−10)$,
解得 $m=3$ 或 $m=\dfrac{5}{3}$.
∵点 $Q(5−m,4m−10)$ 在第四象限,
∴$\begin{cases}5−m＞0,\\4m−10＜0,\end{cases}$ 解得 $m＜2.5$.
故 $m=3$ 不符合题意,舍去.
故 $m=\dfrac{5}{3}$. 故选 C.
解析：
【分析】
本题需结合第四象限点的坐标特征和点到坐标轴距离的性质求解。首先，点到两坐标轴距离相等意味着横、纵坐标的绝对值相等，可据此列出绝对值方程求出m的可能值；其次，第四象限内的点横坐标为正、纵坐标为负，可根据这个性质列出不等式组，筛选出符合条件的m值即可。
【解析】
∵点$Q(5-m,4m-10)$到两坐标轴的距离相等，
∴$|5-m|=|4m-10|$，
分两种情况讨论：
①当$5-m=4m-10$时，解得$m=3$；
②当$5-m=-(4m-10)$时，解得$m=\dfrac{5}{3}$。
又
∵点$Q$在第四象限，
∴$\begin{cases}5-m＞0\\4m-10＜0\end{cases}$，
解不等式$5-m＞0$得$m＜5$，
解不等式$4m-10＜0$得$m＜2.5$，
即$m＜2.5$。
∵$3＞2.5$，不符合条件，舍去；$\dfrac{5}{3}＜2.5$，符合条件，
∴$m=\dfrac{5}{3}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 象限内点的坐标特征 2. 点到坐标轴的距离 3. 绝对值方程求解
【点评】
本题属于平面直角坐标系的基础综合题，解题时要注意结合题干所有限制条件对结果进行检验，易错点是解出m的两个值后忽略第四象限的坐标符号要求，未舍去不符合条件的解而误选。
【难度系数】
0.6
本题需结合第四象限点的坐标特征和点到坐标轴距离的性质求解。首先，点到两坐标轴距离相等意味着横、纵坐标的绝对值相等，可据此列出绝对值方程求出m的可能值；其次，第四象限内的点横坐标为正、纵坐标为负，可根据这个性质列出不等式组，筛选出符合条件的m值即可。
【解析】
∵点$Q(5-m,4m-10)$到两坐标轴的距离相等，
∴$|5-m|=|4m-10|$，
分两种情况讨论：
①当$5-m=4m-10$时，解得$m=3$；
②当$5-m=-(4m-10)$时，解得$m=\dfrac{5}{3}$。
又
∵点$Q$在第四象限，
∴$\begin{cases}5-m＞0\\4m-10＜0\end{cases}$，
解不等式$5-m＞0$得$m＜5$，
解不等式$4m-10＜0$得$m＜2.5$，
即$m＜2.5$。
∵$3＞2.5$，不符合条件，舍去；$\dfrac{5}{3}＜2.5$，符合条件，
∴$m=\dfrac{5}{3}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 象限内点的坐标特征 2. 点到坐标轴的距离 3. 绝对值方程求解
【点评】
本题属于平面直角坐标系的基础综合题，解题时要注意结合题干所有限制条件对结果进行检验，易错点是解出m的两个值后忽略第四象限的坐标符号要求，未舍去不符合条件的解而误选。
【难度系数】
0.6
6. (2025·泰州靖江期末)已知直线MN//x轴，点M的坐标为(2,3)，并且线段MN=3，则点N的坐标为(
A.(-1,3)
B.(5,3)
C.(1,3)或(5,3)
D.(-1,3)或(5,3)
D
).A.(-1,3)
B.(5,3)
C.(1,3)或(5,3)
D.(-1,3)或(5,3)
答案：D
[解析]
∵直线 $MN// x$ 轴,且点 M 的坐标为(2,3),
∴点 N 的纵坐标为 3.
∵$MN=3$,
∴存在两种情况. N 在 M 的右边或左边,
∴$2+3=5$,$2−3=−1$,
即点 N 的横坐标为 5 或 −1,
∴则点 N 的坐标为(−1,3)或(5,3).
故选 D.
[解析]
∵直线 $MN// x$ 轴,且点 M 的坐标为(2,3),
∴点 N 的纵坐标为 3.
∵$MN=3$,
∴存在两种情况. N 在 M 的右边或左边,
∴$2+3=5$,$2−3=−1$,
即点 N 的横坐标为 5 或 −1,
∴则点 N 的坐标为(−1,3)或(5,3).
故选 D.
解析：
【分析】
解题时首先根据直线MN平行于x轴的条件，回忆平行于x轴的直线上所有点纵坐标相等的性质，先确定点N的纵坐标与点M相同为3；接下来结合线段MN长度为3的条件，由于水平线段的长度等于两端点横坐标差的绝对值，因此需分两种情况讨论：点N在点M的左侧、点N在点M的右侧，分别计算点N的横坐标即可得到全部可能的坐标，避免漏解。
【解析】
∵直线MN//x轴，点M的坐标为(2,3)，
∴点N的纵坐标与点M相等，为3。
∵线段MN的长度为3，需分两种情况讨论：
①当点N在点M的左侧时，点N的横坐标为2-3=-1，此时点N坐标为(-1,3)；
②当点N在点M的右侧时，点N的横坐标为2+3=5，此时点N坐标为(5,3)。
综上，点N的坐标为(-1,3)或(5,3)，故选D。
【答案】
D
【知识点】
平行于x轴的点的坐标特征；两点间距离计算；分类讨论
【点评】
本题重点考查平面直角坐标系中平行于坐标轴的直线上点的坐标规律，易错点是忽略分位置讨论导致漏解，解题时要注意考虑所有符合条件的位置情况。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据直线MN平行于x轴的条件，回忆平行于x轴的直线上所有点纵坐标相等的性质，先确定点N的纵坐标与点M相同为3；接下来结合线段MN长度为3的条件，由于水平线段的长度等于两端点横坐标差的绝对值，因此需分两种情况讨论：点N在点M的左侧、点N在点M的右侧，分别计算点N的横坐标即可得到全部可能的坐标，避免漏解。
【解析】
∵直线MN//x轴，点M的坐标为(2,3)，
∴点N的纵坐标与点M相等，为3。
∵线段MN的长度为3，需分两种情况讨论：
①当点N在点M的左侧时，点N的横坐标为2-3=-1，此时点N坐标为(-1,3)；
②当点N在点M的右侧时，点N的横坐标为2+3=5，此时点N坐标为(5,3)。
综上，点N的坐标为(-1,3)或(5,3)，故选D。
【答案】
D
【知识点】
平行于x轴的点的坐标特征；两点间距离计算；分类讨论
【点评】
本题重点考查平面直角坐标系中平行于坐标轴的直线上点的坐标规律，易错点是忽略分位置讨论导致漏解，解题时要注意考虑所有符合条件的位置情况。
【难度系数】
0.7
7. (2025·山东淄博临淄区期末改编)已知点 P 的坐标为$(a-1,5-2a)$，且它到两个坐标轴的距离相等，求点 P 的坐标.
答案：
∵点 P 的坐标为$(a−1,5−2a)$,且它到两个坐标轴的距离相等,
∴$a−1+5−2a=0$ 或 $a−1=5−2a$,
解得 $a=2$ 或 4,当 $a=2$ 时,$P(1,1)$;
当 $a=4$ 时,$P(3,−3)$.
综上所述,点 P 的坐标为(1,1)或(3,−3).
∵点 P 的坐标为$(a−1,5−2a)$,且它到两个坐标轴的距离相等,
∴$a−1+5−2a=0$ 或 $a−1=5−2a$,
解得 $a=2$ 或 4,当 $a=2$ 时,$P(1,1)$;
当 $a=4$ 时,$P(3,−3)$.
综上所述,点 P 的坐标为(1,1)或(3,−3).
解析：
【分析】
解题时首先回忆平面直角坐标系中点到坐标轴距离的规律：点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值。题目中点P到两个坐标轴距离相等，说明它的横、纵坐标的绝对值相等。绝对值相等的两个数要么相等，要么互为相反数，因此我们可以分两种情况列方程求解a的值，再将a代入点P的坐标表达式即可得到最终结果，解题时要注意两种情况都需考虑，避免漏解。
【解析】
∵点P的坐标为$(a-1,5-2a)$，且它到两个坐标轴的距离相等，
∴点P的横坐标与纵坐标的绝对值相等，即$|a-1|=|5-2a|$，
分两种情况讨论：
①当横、纵坐标互为相反数时：$a-1+5-2a=0$，
解得$a=4$，
此时$a-1=4-1=3$，$5-2a=5-8=-3$，即$P(3,-3)$；
②当横、纵坐标相等时：$a-1=5-2a$，
解得$a=2$，
此时$a-1=2-1=1$，$5-2a=5-4=1$，即$P(1,1)$。
综上所述，点P的坐标为$(1,1)$或$(3,-3)$。
【答案】
$(1,1)$或$(3,-3)$
【知识点】
点到坐标轴的距离；绝对值方程求解；平面直角坐标系点的坐标
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础常考题，核心考查点到坐标轴距离和坐标的对应关系，解题时需注意绝对值相等包含两数相等、两数互为相反数两种情况，考察分类讨论的数学思想，避免漏解是得分关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆平面直角坐标系中点到坐标轴距离的规律：点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值。题目中点P到两个坐标轴距离相等，说明它的横、纵坐标的绝对值相等。绝对值相等的两个数要么相等，要么互为相反数，因此我们可以分两种情况列方程求解a的值，再将a代入点P的坐标表达式即可得到最终结果，解题时要注意两种情况都需考虑，避免漏解。
【解析】
∵点P的坐标为$(a-1,5-2a)$，且它到两个坐标轴的距离相等，
∴点P的横坐标与纵坐标的绝对值相等，即$|a-1|=|5-2a|$，
分两种情况讨论：
①当横、纵坐标互为相反数时：$a-1+5-2a=0$，
解得$a=4$，
此时$a-1=4-1=3$，$5-2a=5-8=-3$，即$P(3,-3)$；
②当横、纵坐标相等时：$a-1=5-2a$，
解得$a=2$，
此时$a-1=2-1=1$，$5-2a=5-4=1$，即$P(1,1)$。
综上所述，点P的坐标为$(1,1)$或$(3,-3)$。
【答案】
$(1,1)$或$(3,-3)$
【知识点】
点到坐标轴的距离；绝对值方程求解；平面直角坐标系点的坐标
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础常考题，核心考查点到坐标轴距离和坐标的对应关系，解题时需注意绝对值相等包含两数相等、两数互为相反数两种情况，考察分类讨论的数学思想，避免漏解是得分关键。
【难度系数】
0.7
例1 如图是一台雷达探测相关目标得到的部分结果，若图中目标A的位置为$(2,90°)$，用方位角和距离可描述为在点O正北方向，距离点O 2个单位长度。下面是嘉嘉和琪琪用两种方式表示目标B，则判断正确的是()。
嘉嘉:目标B的位置为$(3,210°)$；
琪琪:目标B在点O的南偏西$30°$方向，距离点O 3个单位长度。
A.只有嘉嘉正确
B.只有琪琪正确
C.两人均正确
D.两人均不正确
解析 由题意，得目标B的位置为$(5,210°)$或目标B在点O的南偏西$60°$方向，距离点O 5个单位长度。
答案 D
点拨 本题主要考查坐标确定位置、方位角等知识点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题。
嘉嘉:目标B的位置为$(3,210°)$；
琪琪:目标B在点O的南偏西$30°$方向，距离点O 3个单位长度。
A.只有嘉嘉正确
B.只有琪琪正确
C.两人均正确
D.两人均不正确
解析 由题意，得目标B的位置为$(5,210°)$或目标B在点O的南偏西$60°$方向，距离点O 5个单位长度。
答案 D
点拨 本题主要考查坐标确定位置、方位角等知识点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题。
答案：D
解析：
【分析】
解题首先要根据目标A的位置表示规则，明确有序数对的含义：第一个数表示目标到点O的距离（每圈代表1个单位长度），第二个数表示对应的角度，0°为正东方向，逆时针为角度增大的方向。先判断嘉嘉的表述是否正确：先确定B点的距离和角度，再和嘉嘉的表述对比；再判断琪琪的表述是否正确：将B点的角度换算为方位角，结合距离判断即可。
【解析】
由目标A的位置为$(2,90°)$可知：有序数对的第一个数是目标到点O的单位长度数（每圈对应1个单位长度），第二个数是对应角度，0°为正东方向，逆时针角度递增。
①判断嘉嘉的表述：观察B点，从中心O向外数，B在第5个圈上，对应距离O点5个单位长度，对应角度为$210°$，因此B的位置应为$(5,210°)$，嘉嘉写的$(3,210°)$距离错误，故嘉嘉表述错误。
②判断琪琪的表述：$210°$换算为方位角：正南方向对应$270°$，$270°-210°=60°$，即B在点O的南偏西$60°$方向，且距离O点5个单位长度，琪琪描述的方位角、距离均错误，故琪琪表述错误。
因此两人均不正确。
【答案】
D
【知识点】
坐标确定位置；方位角的表示
【点评】
本题解题的关键是先根据已知点的坐标明确位置的表示规则，再结合角度换算判断方位角的表述是否正确，易错点是数错目标所在的圈数、混淆方位角的偏转方向和角度计算。
【难度系数】
0.7
解题首先要根据目标A的位置表示规则，明确有序数对的含义：第一个数表示目标到点O的距离（每圈代表1个单位长度），第二个数表示对应的角度，0°为正东方向，逆时针为角度增大的方向。先判断嘉嘉的表述是否正确：先确定B点的距离和角度，再和嘉嘉的表述对比；再判断琪琪的表述是否正确：将B点的角度换算为方位角，结合距离判断即可。
【解析】
由目标A的位置为$(2,90°)$可知：有序数对的第一个数是目标到点O的单位长度数（每圈对应1个单位长度），第二个数是对应角度，0°为正东方向，逆时针角度递增。
①判断嘉嘉的表述：观察B点，从中心O向外数，B在第5个圈上，对应距离O点5个单位长度，对应角度为$210°$，因此B的位置应为$(5,210°)$，嘉嘉写的$(3,210°)$距离错误，故嘉嘉表述错误。
②判断琪琪的表述：$210°$换算为方位角：正南方向对应$270°$，$270°-210°=60°$，即B在点O的南偏西$60°$方向，且距离O点5个单位长度，琪琪描述的方位角、距离均错误，故琪琪表述错误。
因此两人均不正确。
【答案】
D
【知识点】
坐标确定位置；方位角的表示
【点评】
本题解题的关键是先根据已知点的坐标明确位置的表示规则，再结合角度换算判断方位角的表述是否正确，易错点是数错目标所在的圈数、混淆方位角的偏转方向和角度计算。
【难度系数】
0.7