例3 已知函数$y=(m-2)x^{|m-1|}+4$是关于x的一次函数.
(1)求m的值；
(2)在图中画出该函数的图象；
(3)y的值随x的值的增大而
名师启发 (1)根据一次函数的定义,可得答案；
(2)找出与x轴、y轴的交点坐标,连线即可；(3)根据一次函数的性质解答即可.
关键提醒
本题主要考查了一次函数的定义.一次函数的一般形式为$y=kx+b$,且k,b为常数,$k≠0$,自变量的次数为1.
(1)求m的值；
(2)在图中画出该函数的图象；
(3)y的值随x的值的增大而
减小
.(填“增大”或“减小”)名师启发 (1)根据一次函数的定义,可得答案；
(2)找出与x轴、y轴的交点坐标,连线即可；(3)根据一次函数的性质解答即可.
关键提醒
本题主要考查了一次函数的定义.一次函数的一般形式为$y=kx+b$,且k,b为常数,$k≠0$,自变量的次数为1.
答案：
(1) 由$y=(m-2)x^{|m-1|}+4$是关于x的一次函数，得$\begin{cases} m-2≠0, \\ |m-1|=1, \end{cases}$ 解得$m=0$.
(2) 由(1)可知，函数的表达式为$y=-2x+4$，当$x=0$时，$y=4$；当$x=2$时，$y=0$.过$(0,4)$和$(2,0)$画一条直线即可，该函数图象如图所示：
(3) 减小
解析：$\because k=-2$，$\therefore y$的值随$x$的值的增大而减小.
(1) 由$y=(m-2)x^{|m-1|}+4$是关于x的一次函数，得$\begin{cases} m-2≠0, \\ |m-1|=1, \end{cases}$ 解得$m=0$.
(2) 由(1)可知，函数的表达式为$y=-2x+4$，当$x=0$时，$y=4$；当$x=2$时，$y=0$.过$(0,4)$和$(2,0)$画一条直线即可，该函数图象如图所示：
(3) 减小
解析：$\because k=-2$，$\therefore y$的值随$x$的值的增大而减小.
解析：
【分析】
(1) 求m的值需要结合一次函数的定义：一次函数的自变量次数为1，且自变量的系数不能为0，据此列方程和不等式联立求解即可；
(2) 先将求出的m代入原式得到函数解析式，再通过分别令x=0、y=0求出函数图象与y轴、x轴的交点，两点确定一条直线，描点连线即可画出函数图象；
(3) 根据一次函数的增减性规律：k＞0时y随x增大而增大，k＜0时y随x增大而减小，判断解析式中k的符号即可得出结论。
【解析】
(1)
∵$y=(m-2)x^{|m-1|}+4$是关于x的一次函数
∴需满足$\begin{cases} |m-1|=1 \\ m-2≠0 \end{cases}$
解$|m-1|=1$得：$m=2$或$m=0$，结合$m-2≠0$即$m≠2$，可得$m=0$。
(2) 将$m=0$代入原函数，得函数解析式为$y=-2x+4$。
求函数与坐标轴交点：
当$x=0$时，$y=4$，即与y轴交点为$(0,4)$；
当$y=0$时，$-2x+4=0$，解得$x=2$，即与x轴交点为$(2,0)$。
在坐标系中描出$(0,4)$和$(2,0)$两点，过两点画直线，即为该函数的图象。
(3) 一次函数$y=-2x+4$中，$k=-2＜0$，因此y的值随x的值的增大而减小。
【答案】
(1) $m=0$
(2) 过$(0,4)$和$(2,0)$画直线即可，该函数图象如图所示：
(3) 减小
【知识点】
一次函数的定义，一次函数的图象，一次函数的性质
【点评】
本题属于一次函数基础题型，解题的关键是牢记一次函数的相关概念和性质，注意求解参数时不要遗漏一次项系数不为0的隐含条件，熟练掌握两点法绘制一次函数图象的方法即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
(1) 求m的值需要结合一次函数的定义：一次函数的自变量次数为1，且自变量的系数不能为0，据此列方程和不等式联立求解即可；
(2) 先将求出的m代入原式得到函数解析式，再通过分别令x=0、y=0求出函数图象与y轴、x轴的交点，两点确定一条直线，描点连线即可画出函数图象；
(3) 根据一次函数的增减性规律：k＞0时y随x增大而增大，k＜0时y随x增大而减小，判断解析式中k的符号即可得出结论。
【解析】
(1)
∵$y=(m-2)x^{|m-1|}+4$是关于x的一次函数
∴需满足$\begin{cases} |m-1|=1 \\ m-2≠0 \end{cases}$
解$|m-1|=1$得：$m=2$或$m=0$，结合$m-2≠0$即$m≠2$，可得$m=0$。
(2) 将$m=0$代入原函数，得函数解析式为$y=-2x+4$。
求函数与坐标轴交点：
当$x=0$时，$y=4$，即与y轴交点为$(0,4)$；
当$y=0$时，$-2x+4=0$，解得$x=2$，即与x轴交点为$(2,0)$。
在坐标系中描出$(0,4)$和$(2,0)$两点，过两点画直线，即为该函数的图象。
(3) 一次函数$y=-2x+4$中，$k=-2＜0$，因此y的值随x的值的增大而减小。
【答案】
(1) $m=0$
(2) 过$(0,4)$和$(2,0)$画直线即可，该函数图象如图所示：
(3) 减小
【知识点】
一次函数的定义，一次函数的图象，一次函数的性质
【点评】
本题属于一次函数基础题型，解题的关键是牢记一次函数的相关概念和性质，注意求解参数时不要遗漏一次项系数不为0的隐含条件，熟练掌握两点法绘制一次函数图象的方法即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
例4 图(1)是变量$y$与变量$x$的函数关系的图象，图(2)是变量$z$与变量$y$的函数关系的图象，则$z$与$x$的函数关系的图象可能是(
名师启发 由图(1)可设$y=kx+b$($k,b$为常数，且$k＜0,b＞0$)，由图(2)可设$z=my$($m$为常数，$m＞0$)，将$y=kx+b$代入$z=my$，得$z=mkx+mb$，再根据一次函数图象与系数之间的关系即可判断.
C
).名师启发 由图(1)可设$y=kx+b$($k,b$为常数，且$k＜0,b＞0$)，由图(2)可设$z=my$($m$为常数，$m＞0$)，将$y=kx+b$代入$z=my$，得$z=mkx+mb$，再根据一次函数图象与系数之间的关系即可判断.
答案：由题图(1)可设$y=kx+b$($k,b$为常数，且$k＜0,b＞0$)，由题图(2)可设$z=my$($m$为常数，$m＞0$)，将$y=kx+b$代入$z=my$，得$z=m(kx+b)=mkx+mb$，$\therefore z$与$x$的函数关系为一次函数关系.
$\because k＜0,b＞0,m＞0$，$\therefore mk＜0,mb＞0$，$\therefore z$与$x$的函数图象过一、二、四象限.故选C.
$\because k＜0,b＞0,m＞0$，$\therefore mk＜0,mb＞0$，$\therefore z$与$x$的函数图象过一、二、四象限.故选C.
解析：
【分析】
本题需通过两个已知的函数关系推导z与x的函数图象，解题思路可分为三步：第一步，观察两个给定图象均为直线，确定都是一次函数，结合图象的增减性、与坐标轴的交点，分别确定两个函数解析式中系数的正负；第二步，将y关于x的解析式代入z关于y的解析式，整理得到z关于x的函数解析式；第三步，根据一次函数系数和图象象限的对应关系，判断新函数图象经过的象限，即可选出正确答案。
【解析】
由题图(1)可设$y=kx+b$（$k,b$为常数，且$k＜0,b＞0$），由题图(2)可设$z=my$（$m$为常数，$m＞0$），将$y=kx+b$代入$z=my$，得$z=m(kx+b)=mkx+mb$，$\therefore z$与$x$的函数关系为一次函数关系。
$\because k＜0,b＞0,m＞0$，$\therefore mk＜0,mb＞0$，$\therefore z$与$x$的函数图象过一、二、四象限。故选C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图象与性质，函数解析式代换，正比例函数性质
【点评】
本题属于一次函数的常见综合题型，核心是结合图象判断函数系数的符号，再通过代换推导新函数的系数特征，进而确定图象位置，很好地考查了数形结合的思想。
【难度系数】
0.6
本题需通过两个已知的函数关系推导z与x的函数图象，解题思路可分为三步：第一步，观察两个给定图象均为直线，确定都是一次函数，结合图象的增减性、与坐标轴的交点，分别确定两个函数解析式中系数的正负；第二步，将y关于x的解析式代入z关于y的解析式，整理得到z关于x的函数解析式；第三步，根据一次函数系数和图象象限的对应关系，判断新函数图象经过的象限，即可选出正确答案。
【解析】
由题图(1)可设$y=kx+b$（$k,b$为常数，且$k＜0,b＞0$），由题图(2)可设$z=my$（$m$为常数，$m＞0$），将$y=kx+b$代入$z=my$，得$z=m(kx+b)=mkx+mb$，$\therefore z$与$x$的函数关系为一次函数关系。
$\because k＜0,b＞0,m＞0$，$\therefore mk＜0,mb＞0$，$\therefore z$与$x$的函数图象过一、二、四象限。故选C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图象与性质，函数解析式代换，正比例函数性质
【点评】
本题属于一次函数的常见综合题型，核心是结合图象判断函数系数的符号，再通过代换推导新函数的系数特征，进而确定图象位置，很好地考查了数形结合的思想。
【难度系数】
0.6
例5 如图,一次函数$y_1=ax+b$($a,b$是常数)的图象与$y$轴、$x$轴分别交于点$A(0,3)$,点$B$,正比例函数$y_2=\frac{1}{3}x$的图象与一次函数$y_1$的图象交于点$P(m,1)$,则下列结论正确的有(
①方程$ax+b=\frac{1}{3}x$的解为$x=3$;②不等式$ax+b＜0$的解集为$x＞\frac{9}{2}$;③$△ OPB$的面积为$\frac{9}{4}$.
A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
名师启发 将点$P$的坐标代入正比例函数$y_2=\frac{1}{3}x$求得$m$的值;然后将点$A,P$的坐标代入一次函数$y_1$的表达式,求得$a,b$的值,即可得到一次函数$y_1$的表达式;利用一次函数图象上点的坐标和一次函数与一元一次不等式的关系进行分析判断.
A
).①方程$ax+b=\frac{1}{3}x$的解为$x=3$;②不等式$ax+b＜0$的解集为$x＞\frac{9}{2}$;③$△ OPB$的面积为$\frac{9}{4}$.
A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
名师启发 将点$P$的坐标代入正比例函数$y_2=\frac{1}{3}x$求得$m$的值;然后将点$A,P$的坐标代入一次函数$y_1$的表达式,求得$a,b$的值,即可得到一次函数$y_1$的表达式;利用一次函数图象上点的坐标和一次函数与一元一次不等式的关系进行分析判断.
答案：将点$P(m,1)$代入$y_2=\frac{1}{3}x$，得$\frac{1}{3}m=1$，解得$m=3$，所以$P(3,1)$.
把$A(0,3),P(3,1)$分别代入$y_1=ax+b$($a,b$是常数)，得$\begin{cases} b=3, \\ 3a+b=1, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a=-\frac{2}{3}, \\ b=3, \end{cases}$
所以$y_1$的表达式为$y_1=-\frac{2}{3}x+3$.
①由题意可知，$ax+b=\frac{1}{3}x$的解为$x=3$，故结论正确；②对于$y_1=-\frac{2}{3}x+3$，令$y_1=0$，则$x=\frac{9}{2}$，$\therefore$点$B$的坐标为$(\frac{9}{2},0)$，故不等式$ax+b＜0$的解集为$x＞\frac{9}{2}$，故结论正确；③$S_{△ OPB}=\frac{1}{2}×\frac{9}{2}×1=\frac{9}{4}$，故结论正确.
综上所述，正确的结论有3个.故选A.
把$A(0,3),P(3,1)$分别代入$y_1=ax+b$($a,b$是常数)，得$\begin{cases} b=3, \\ 3a+b=1, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a=-\frac{2}{3}, \\ b=3, \end{cases}$
所以$y_1$的表达式为$y_1=-\frac{2}{3}x+3$.
①由题意可知，$ax+b=\frac{1}{3}x$的解为$x=3$，故结论正确；②对于$y_1=-\frac{2}{3}x+3$，令$y_1=0$，则$x=\frac{9}{2}$，$\therefore$点$B$的坐标为$(\frac{9}{2},0)$，故不等式$ax+b＜0$的解集为$x＞\frac{9}{2}$，故结论正确；③$S_{△ OPB}=\frac{1}{2}×\frac{9}{2}×1=\frac{9}{4}$，故结论正确.
综上所述，正确的结论有3个.故选A.
解析：
【分析】
解题时先利用交点P同时在正比例函数图象上的特征，代入解析式求出P点的横坐标m，得到P点完整坐标；再将A、P两点坐标代入一次函数$y_1$的表达式，用待定系数法求出a、b的值，确定一次函数的解析式；之后分别验证三个结论：①两个函数解析式相等组成的方程的解，就是两函数交点的横坐标；②不等式$ax+b＜0$的解集对应一次函数$y_1$图象在x轴下方时x的取值范围，只需先求出$y_1$与x轴交点B的坐标即可判断；③计算$△ OPB$的面积时，以OB为底，P点的纵坐标为高，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
1. 求点P的坐标
将$P(m,1)$代入$y_2=\frac{1}{3}x$，得$\frac{1}{3}m=1$，解得$m=3$，即$P(3,1)$。
2. 求一次函数$y_1$的解析式
把$A(0,3)$、$P(3,1)$分别代入$y_1=ax+b$，得方程组：
$\begin{cases} b=3 \\ 3a+b=1 \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=-\frac{2}{3} \\ b=3 \end{cases}$，因此$y_1=-\frac{2}{3}x+3$。
3. 逐一验证结论
① 方程$ax+b=\frac{1}{3}x$的解为两个函数图象交点的横坐标，交点P的横坐标为3，因此方程的解为$x=3$，结论①正确；
② 令$y_1=-\frac{2}{3}x+3=0$，解得$x=\frac{9}{2}$，即点B坐标为$(\frac{9}{2},0)$。因$y_1$的斜率为负，函数值随x增大而减小，因此当$x＞\frac{9}{2}$时，$ax+b＜0$，结论②正确；
③ $△ OPB$的底OB长为$\frac{9}{2}$，高为P点纵坐标1，因此面积$S_{△ OPB}=\frac{1}{2}×\frac{9}{2}×1=\frac{9}{4}$，结论③正确。
综上，3个结论均正确。
【答案】
A
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数与方程不等式的关系，坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数综合应用题，要求学生熟练掌握函数解析式的求解方法，理解函数与方程、不等式的对应关系，能运用数形结合思想分析图象特征解决问题，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
解题时先利用交点P同时在正比例函数图象上的特征，代入解析式求出P点的横坐标m，得到P点完整坐标；再将A、P两点坐标代入一次函数$y_1$的表达式，用待定系数法求出a、b的值，确定一次函数的解析式；之后分别验证三个结论：①两个函数解析式相等组成的方程的解，就是两函数交点的横坐标；②不等式$ax+b＜0$的解集对应一次函数$y_1$图象在x轴下方时x的取值范围，只需先求出$y_1$与x轴交点B的坐标即可判断；③计算$△ OPB$的面积时，以OB为底，P点的纵坐标为高，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
1. 求点P的坐标
将$P(m,1)$代入$y_2=\frac{1}{3}x$，得$\frac{1}{3}m=1$，解得$m=3$，即$P(3,1)$。
2. 求一次函数$y_1$的解析式
把$A(0,3)$、$P(3,1)$分别代入$y_1=ax+b$，得方程组：
$\begin{cases} b=3 \\ 3a+b=1 \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=-\frac{2}{3} \\ b=3 \end{cases}$，因此$y_1=-\frac{2}{3}x+3$。
3. 逐一验证结论
① 方程$ax+b=\frac{1}{3}x$的解为两个函数图象交点的横坐标，交点P的横坐标为3，因此方程的解为$x=3$，结论①正确；
② 令$y_1=-\frac{2}{3}x+3=0$，解得$x=\frac{9}{2}$，即点B坐标为$(\frac{9}{2},0)$。因$y_1$的斜率为负，函数值随x增大而减小，因此当$x＞\frac{9}{2}$时，$ax+b＜0$，结论②正确；
③ $△ OPB$的底OB长为$\frac{9}{2}$，高为P点纵坐标1，因此面积$S_{△ OPB}=\frac{1}{2}×\frac{9}{2}×1=\frac{9}{4}$，结论③正确。
综上，3个结论均正确。
【答案】
A
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数与方程不等式的关系，坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数综合应用题，要求学生熟练掌握函数解析式的求解方法，理解函数与方程、不等式的对应关系，能运用数形结合思想分析图象特征解决问题，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7