例6（2025·浙江杭州滨江区期末）函数$y=2x$和$y=kx+3$（$k$是常数，且$k≠0$）的图象相交于点$P(1,2)$，则关于$x$的方程$kx+3=2x$的解为
名师启发 根据一次函数与一元一次方程的关系，可得关于$x$的方程$kx+3=2x$的解就是一次函数$y=2x$和$y=kx+3$的图象交点的横坐标。
$x=1$
。名师启发 根据一次函数与一元一次方程的关系，可得关于$x$的方程$kx+3=2x$的解就是一次函数$y=2x$和$y=kx+3$的图象交点的横坐标。
答案：$\because$函数$y=2x$和$y=kx+3$的图象相交于点$P(1,2)$，
$\therefore$方程组$\begin{cases} y=2x, \\ y=kx+3 \end{cases}$的解为$\begin{cases} x=1, \\ y=2, \end{cases}$
则方程$kx+3=2x$的解为$x=1$.
一题多解 把点$P(1,2)$的坐标代入$y=kx+3$，可得$k+3=2$，解得$k=-1$.
把$k=-1$代入方程$kx+3=2x$，可得$-x+3=2x$，解得$x=1$.
$\therefore$方程组$\begin{cases} y=2x, \\ y=kx+3 \end{cases}$的解为$\begin{cases} x=1, \\ y=2, \end{cases}$
则方程$kx+3=2x$的解为$x=1$.
一题多解 把点$P(1,2)$的坐标代入$y=kx+3$，可得$k+3=2$，解得$k=-1$.
把$k=-1$代入方程$kx+3=2x$，可得$-x+3=2x$，解得$x=1$.
解析：
【分析】
解题有两种常见思路：思路一：根据一次函数与一元一次方程的关系，方程$kx+3=2x$的本质是求x取何值时两个函数的函数值相等，此时对应的x值就是两个函数图象交点的横坐标，可直接由交点坐标得到答案；思路二：先将交点P的坐标代入$y=kx+3$求出k的值，再代入方程解一元一次方程即可得到结果。
【解析】
方法一：
∵函数$y=2x$和$y=kx+3$的图象相交于点$P(1,2)$，
∴两个函数对应的方程组$\begin{cases} y=2x \\ y=kx+3 \end{cases}$的解为$\begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}$，
方程$kx+3=2x$是由上述方程组消去y得到的关于x的一元一次方程，因此它的解为$x=1$。
方法二：
把点$P(1,2)$的坐标代入$y=kx+3$，得：
$k×1+3=2$，解得$k=-1$，
将$k=-1$代入方程$kx+3=2x$，得：
$-x+3=2x$，
移项合并同类项得$3x=3$，
解得$x=1$。
【答案】
$x=1$
【知识点】
一次函数与一元一次方程的关系；待定系数法求一次函数参数；一元一次方程的解法
【点评】
本题侧重考查一次函数与方程的对应关系，两种解题方法中，利用函数交点性质解题更简便，熟练掌握函数图象与代数方程的转化逻辑，能有效提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.9
解题有两种常见思路：思路一：根据一次函数与一元一次方程的关系，方程$kx+3=2x$的本质是求x取何值时两个函数的函数值相等，此时对应的x值就是两个函数图象交点的横坐标，可直接由交点坐标得到答案；思路二：先将交点P的坐标代入$y=kx+3$求出k的值，再代入方程解一元一次方程即可得到结果。
【解析】
方法一：
∵函数$y=2x$和$y=kx+3$的图象相交于点$P(1,2)$，
∴两个函数对应的方程组$\begin{cases} y=2x \\ y=kx+3 \end{cases}$的解为$\begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}$，
方程$kx+3=2x$是由上述方程组消去y得到的关于x的一元一次方程，因此它的解为$x=1$。
方法二：
把点$P(1,2)$的坐标代入$y=kx+3$，得：
$k×1+3=2$，解得$k=-1$，
将$k=-1$代入方程$kx+3=2x$，得：
$-x+3=2x$，
移项合并同类项得$3x=3$，
解得$x=1$。
【答案】
$x=1$
【知识点】
一次函数与一元一次方程的关系；待定系数法求一次函数参数；一元一次方程的解法
【点评】
本题侧重考查一次函数与方程的对应关系，两种解题方法中，利用函数交点性质解题更简便，熟练掌握函数图象与代数方程的转化逻辑，能有效提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.9
例7 (2026·浙江宁波期末)A，B两地相距80 km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地。甲、乙两人离开A地的距离s(单位：km)与时间t(单位：h)之间的关系如图所示，则下列结论：①乙比甲提前出发1 h；②甲行驶的速度为40 km/h；③当$t=3$时，甲、乙两人相距50 km；④在$0≤t≤3$内，当甲、乙两人相距10 km时，乙行驶了$\frac{9}{8}$ h或$\frac{15}{8}$ h。其中正确的个数为(
A.1
B.2
C.3
D.4
名师启发 根据图象获得信息，利用待定系数法求解一次函数表达式，依据路程=速度×时间的等量关系来判断即可。
关键提醒 本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题的关键。
B
).A.1
B.2
C.3
D.4
名师启发 根据图象获得信息，利用待定系数法求解一次函数表达式，依据路程=速度×时间的等量关系来判断即可。
关键提醒 本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题的关键。
答案：根据$(1,0)$可得，时间过了1 h，甲的路程为0 km，即乙比甲提前出发1 h，故①正确，符合题意；
根据图象可知，甲2个小时行驶了80 km，则甲的速度为$\frac{80}{2}=40(\mathrm{km/h})$，故②正确，符合题意；
设甲的表达式为$s_甲=kt+b$，代入$(1,0),(3,80)$，得$\begin{cases} k+b=0, \\ 3k+b=80, \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=40, \\ b=-40. \end{cases}$
则$s_甲=40t-40$.
设乙的表达式为$s_乙=pt$，代入$(1.5,20)$，得$20=1.5p$，解得$p=\frac{40}{3}$，则$s_乙=\frac{40}{3}t$.
当$t=3$时，$s_甲=80$，$s_乙=\frac{40}{3}t=40$，则$s_甲-s_乙=40$，则3 h时，甲、乙两人相距40 km，故③错误，不符合题意；
当甲出发前，乙比甲多行驶10 km时，根据题意，得$10=\frac{40}{3}t$，解得$t=\frac{3}{4}\ \mathrm{h}$；
当甲出发后，乙比甲多行驶10 km时，根据题意，得$\frac{40}{3}t=40t-40+10$，解得$t=\frac{9}{8}\ \mathrm{h}$；
当甲出发后，甲比乙多行驶10 km时，根据题意，得$\frac{40}{3}t=40t-40-10$，解得$t=\frac{15}{8}\ \mathrm{h}$.
综上，当乙行驶了$\frac{3}{4}\ \mathrm{h}$或$\frac{9}{8}\ \mathrm{h}$或$\frac{15}{8}\ \mathrm{h}$时，甲、乙两人相距10 km，故④错误，不符合题意.
故正确的个数为2.故选B.
根据图象可知，甲2个小时行驶了80 km，则甲的速度为$\frac{80}{2}=40(\mathrm{km/h})$，故②正确，符合题意；
设甲的表达式为$s_甲=kt+b$，代入$(1,0),(3,80)$，得$\begin{cases} k+b=0, \\ 3k+b=80, \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=40, \\ b=-40. \end{cases}$
则$s_甲=40t-40$.
设乙的表达式为$s_乙=pt$，代入$(1.5,20)$，得$20=1.5p$，解得$p=\frac{40}{3}$，则$s_乙=\frac{40}{3}t$.
当$t=3$时，$s_甲=80$，$s_乙=\frac{40}{3}t=40$，则$s_甲-s_乙=40$，则3 h时，甲、乙两人相距40 km，故③错误，不符合题意；
当甲出发前，乙比甲多行驶10 km时，根据题意，得$10=\frac{40}{3}t$，解得$t=\frac{3}{4}\ \mathrm{h}$；
当甲出发后，乙比甲多行驶10 km时，根据题意，得$\frac{40}{3}t=40t-40+10$，解得$t=\frac{9}{8}\ \mathrm{h}$；
当甲出发后，甲比乙多行驶10 km时，根据题意，得$\frac{40}{3}t=40t-40-10$，解得$t=\frac{15}{8}\ \mathrm{h}$.
综上，当乙行驶了$\frac{3}{4}\ \mathrm{h}$或$\frac{9}{8}\ \mathrm{h}$或$\frac{15}{8}\ \mathrm{h}$时，甲、乙两人相距10 km，故④错误，不符合题意.
故正确的个数为2.故选B.
解析：
【分析】
解题时首先从s-t图像中提取甲乙的出发时间、行驶路程与对应时间等信息，先直接判断①②两个结论；再用待定系数法分别求出甲乙两人的s与t的函数表达式，代入t=3计算两人的路程差判断③；最后分“甲未出发时乙领先10km”“甲出发后乙领先10km”“甲出发后甲领先10km”三种情况，列方程求解判断④，最后统计正确结论的个数即可。
【解析】
1. 判断结论①：由图像可知，t=0时乙开始出发，t=1时甲才开始出发，因此乙比甲提前出发1h，①正确。
2. 判断结论②：甲从t=1到t=3，共2小时行驶了80km，因此甲的速度为$\frac{80}{3-1}=40\mathrm{km/h}$，②正确。
3. 求甲乙的函数表达式：
设甲的函数表达式为$s_甲=kt+b$，将点$(1,0)$、$(3,80)$代入得：
$\begin{cases} k+b=0 \\ 3k+b=80 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k=40 \\ b=-40 \end{cases}$，即$s_甲=40t-40\ (1≤ t≤3)$。
设乙的函数表达式为$s_乙=pt$，将点$(1.5,20)$代入得：$1.5p=20$，解得$p=\frac{40}{3}$，即$s_乙=\frac{40}{3}t\ (0≤ t≤6)$。
4. 判断结论③：当t=3时，$s_甲=80\mathrm{km}$，$s_乙=\frac{40}{3}×3=40\mathrm{km}$，两人相距$80-40=40\mathrm{km}$，③错误。
5. 判断结论④：分三种情况讨论两人相距10km：
情况1：甲未出发（$0≤ t＜1$），乙行驶路程为10km：$\frac{40}{3}t=10$，解得$t=\frac{3}{4}\mathrm{h}$，此时乙行驶了$\frac{3}{4}\mathrm{h}$；
情况2：甲出发后乙领先10km：$\frac{40}{3}t-(40t-40)=10$，解得$t=\frac{9}{8}\mathrm{h}$，此时乙行驶了$\frac{9}{8}\mathrm{h}$；
情况3：甲出发后甲领先10km：$(40t-40)-\frac{40}{3}t=10$，解得$t=\frac{15}{8}\mathrm{h}$，此时乙行驶了$\frac{15}{8}\mathrm{h}$。
因此相距10km时乙行驶时间有3种可能，④错误。
综上，正确的结论为①②，共2个。
【答案】B
【知识点】一次函数的应用；待定系数法；行程问题
【点评】本题结合s-t行程图像考查一次函数的实际应用，解题核心是准确从图像中提取时间、路程等有效信息，用待定系数法求出函数表达式后，分类讨论不同阶段的路程关系，避免漏解导致判断错误。
【难度系数】0.6
解题时首先从s-t图像中提取甲乙的出发时间、行驶路程与对应时间等信息，先直接判断①②两个结论；再用待定系数法分别求出甲乙两人的s与t的函数表达式，代入t=3计算两人的路程差判断③；最后分“甲未出发时乙领先10km”“甲出发后乙领先10km”“甲出发后甲领先10km”三种情况，列方程求解判断④，最后统计正确结论的个数即可。
【解析】
1. 判断结论①：由图像可知，t=0时乙开始出发，t=1时甲才开始出发，因此乙比甲提前出发1h，①正确。
2. 判断结论②：甲从t=1到t=3，共2小时行驶了80km，因此甲的速度为$\frac{80}{3-1}=40\mathrm{km/h}$，②正确。
3. 求甲乙的函数表达式：
设甲的函数表达式为$s_甲=kt+b$，将点$(1,0)$、$(3,80)$代入得：
$\begin{cases} k+b=0 \\ 3k+b=80 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k=40 \\ b=-40 \end{cases}$，即$s_甲=40t-40\ (1≤ t≤3)$。
设乙的函数表达式为$s_乙=pt$，将点$(1.5,20)$代入得：$1.5p=20$，解得$p=\frac{40}{3}$，即$s_乙=\frac{40}{3}t\ (0≤ t≤6)$。
4. 判断结论③：当t=3时，$s_甲=80\mathrm{km}$，$s_乙=\frac{40}{3}×3=40\mathrm{km}$，两人相距$80-40=40\mathrm{km}$，③错误。
5. 判断结论④：分三种情况讨论两人相距10km：
情况1：甲未出发（$0≤ t＜1$），乙行驶路程为10km：$\frac{40}{3}t=10$，解得$t=\frac{3}{4}\mathrm{h}$，此时乙行驶了$\frac{3}{4}\mathrm{h}$；
情况2：甲出发后乙领先10km：$\frac{40}{3}t-(40t-40)=10$，解得$t=\frac{9}{8}\mathrm{h}$，此时乙行驶了$\frac{9}{8}\mathrm{h}$；
情况3：甲出发后甲领先10km：$(40t-40)-\frac{40}{3}t=10$，解得$t=\frac{15}{8}\mathrm{h}$，此时乙行驶了$\frac{15}{8}\mathrm{h}$。
因此相距10km时乙行驶时间有3种可能，④错误。
综上，正确的结论为①②，共2个。
【答案】B
【知识点】一次函数的应用；待定系数法；行程问题
【点评】本题结合s-t行程图像考查一次函数的实际应用，解题核心是准确从图像中提取时间、路程等有效信息，用待定系数法求出函数表达式后，分类讨论不同阶段的路程关系，避免漏解导致判断错误。
【难度系数】0.6
例8 共享电动车是一种新理念下的交通工具：
主要面向3～10 km的出行距离.现有A，B两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图
所示，其中A品牌收费方式对应$y_1$，B品牌的收费方式对应$y_2$.
(1)A品牌每分钟收费
(2)求B品牌的函数表达式.
(3)如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为20 km/h，小明家到工厂的距离为6 km，则小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱呢？
名师启发 (1)根据图象设A品牌的函数表达式，再根据待定系数法求解即可；(2)根据图象可知，B品牌的函数表达式分为两段求解，利用待定系数法求函数表达式即可；(3)先求出小明从家到工厂所用的时间为18 min，再通过图象可知小于18 min时，选择A品牌电动车更省钱.
归纳总结
本题考查了一次函数的图象和用待定系数法求一次函数表达式，解题的关键是观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法求出函数的表达式.
主要面向3～10 km的出行距离.现有A，B两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图
所示，其中A品牌收费方式对应$y_1$，B品牌的收费方式对应$y_2$.
(1)A品牌每分钟收费
0.2
元.(2)求B品牌的函数表达式.
(3)如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为20 km/h，小明家到工厂的距离为6 km，则小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱呢？
名师启发 (1)根据图象设A品牌的函数表达式，再根据待定系数法求解即可；(2)根据图象可知，B品牌的函数表达式分为两段求解，利用待定系数法求函数表达式即可；(3)先求出小明从家到工厂所用的时间为18 min，再通过图象可知小于18 min时，选择A品牌电动车更省钱.
归纳总结
本题考查了一次函数的图象和用待定系数法求一次函数表达式，解题的关键是观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法求出函数的表达式.
答案：(1) 0.2
解析：设$y_1=k_1x$，把点$(20,4)$代入$y_1=k_1x$，得$k_1=0.2$，$\therefore y_1=0.2x(x≥0)$，即A品牌每分钟收费0.2元.
(2) 由图象可知，当$0≤x≤10$时，$y_2=3$，当$x＞10$时，设$y_2=k_2x+b$，把点$(10,3)$和点$(20,4)$代入$y_2=k_2x+b$，得$\begin{cases} 10k_2+b=3, \\ 20k_2+b=4, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k_2=0.1, \\ b=2, \end{cases}$ $\therefore y_2=0.1x+2$.
综上所述，$y_2=\begin{cases} 3(0≤x≤10), \\ 0.1x+2(x＞10). \end{cases}$
(3) $6÷20=0.3(\mathrm{h})$，$0.3\ \mathrm{h}=18\ \mathrm{min}$.
$\because 18＜20$，$\therefore$由图象可知，当骑行时间不足20 min时，$y_1＜y_2$，即骑行A品牌的共享电动车更省钱.
故小明选择A品牌的共享电动车更省钱.
解析：设$y_1=k_1x$，把点$(20,4)$代入$y_1=k_1x$，得$k_1=0.2$，$\therefore y_1=0.2x(x≥0)$，即A品牌每分钟收费0.2元.
(2) 由图象可知，当$0≤x≤10$时，$y_2=3$，当$x＞10$时，设$y_2=k_2x+b$，把点$(10,3)$和点$(20,4)$代入$y_2=k_2x+b$，得$\begin{cases} 10k_2+b=3, \\ 20k_2+b=4, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k_2=0.1, \\ b=2, \end{cases}$ $\therefore y_2=0.1x+2$.
综上所述，$y_2=\begin{cases} 3(0≤x≤10), \\ 0.1x+2(x＞10). \end{cases}$
(3) $6÷20=0.3(\mathrm{h})$，$0.3\ \mathrm{h}=18\ \mathrm{min}$.
$\because 18＜20$，$\therefore$由图象可知，当骑行时间不足20 min时，$y_1＜y_2$，即骑行A品牌的共享电动车更省钱.
故小明选择A品牌的共享电动车更省钱.
解析：
【分析】
(1) 观察图象可知A品牌收费$y_1$是关于骑行时间$x$的正比例函数，图象过点$(20,4)$，利用待定系数法求出正比例函数的比例系数，即为A品牌每分钟的收费；
(2) B品牌收费$y_2$是分段函数，当$0≤x≤10$时收费恒为3元；当$x＞10$时，$y_2$为一次函数，图象过$(10,3)$、$(20,4)$两个点，代入两点用待定系数法即可求出该段函数表达式，最后整合为分段函数即可；
(3) 先根据“时间=路程÷速度”计算小明的骑行时间，换算为分钟单位后，比较该时间下两个品牌的收费，收费更低的更划算。
【解析】
(1) 设A品牌收费函数为$y_1=k_1x\ (k_1≠0,x≥0)$，将点$(20,4)$代入得：
$4=20k_1$，解得$k_1=0.2$，即A品牌每分钟收费0.2元。
(2) 由图象分情况讨论B品牌的收费函数：
①当$0≤x≤10$时，收费恒为3元，即$y_2=3$；
②当$x＞10$时，设$y_2=k_2x+b\ (k_2≠0)$，将点$(10,3)$、$(20,4)$代入得方程组：
$\begin{cases}10k_2 + b = 3 \\20k_2 + b = 4 \end{cases}$
两式相减得$10k_2=1$，解得$k_2=0.1$，将$k_2=0.1$代入$10k_2 + b = 3$得$b=2$，即该段表达式为$y_2=0.1x+2$。
综上，B品牌的函数表达式为$y_2=\begin{cases}3&(0≤ x≤10) \\0.1x+2&(x＞10) \end{cases}$。
(3) 计算小明的骑行时间：已知路程$s=6\mathrm{km}$，速度$v=20\mathrm{km/h}$，由$t=\frac{s}{v}$得$t=\frac{6}{20}=0.3\mathrm{h}$，换算为分钟：$0.3×60=18\mathrm{min}$。
分别计算两种品牌的收费：
A品牌：$y_1=0.2×18=3.6$元；
B品牌：$18＞10$，因此$y_2=0.1×18 + 2=3.8$元。
因为$3.6＜3.8$，所以选择A品牌更省钱。
【答案】
(1) $\boldsymbol{0.2}$
(2) $\boldsymbol{y_2=\begin{cases}3&(0≤ x≤10) \\0.1x+2&(x＞10) \end{cases}}$
(3) $\boldsymbol{选择A品牌的共享电动车更省钱}$
【知识点】
待定系数法求解析式，分段函数，一次函数的实际应用
【点评】
本题结合共享电动车收费的生活场景考查一次函数的应用，解题核心是能从函数图象中提取有效信息，熟练运用待定系数法求解函数表达式，同时需要结合实际问题进行单位换算和数值比较，很好地体现了数学知识的实用性。
【难度系数】
0.7
(1) 观察图象可知A品牌收费$y_1$是关于骑行时间$x$的正比例函数，图象过点$(20,4)$，利用待定系数法求出正比例函数的比例系数，即为A品牌每分钟的收费；
(2) B品牌收费$y_2$是分段函数，当$0≤x≤10$时收费恒为3元；当$x＞10$时，$y_2$为一次函数，图象过$(10,3)$、$(20,4)$两个点，代入两点用待定系数法即可求出该段函数表达式，最后整合为分段函数即可；
(3) 先根据“时间=路程÷速度”计算小明的骑行时间，换算为分钟单位后，比较该时间下两个品牌的收费，收费更低的更划算。
【解析】
(1) 设A品牌收费函数为$y_1=k_1x\ (k_1≠0,x≥0)$，将点$(20,4)$代入得：
$4=20k_1$，解得$k_1=0.2$，即A品牌每分钟收费0.2元。
(2) 由图象分情况讨论B品牌的收费函数：
①当$0≤x≤10$时，收费恒为3元，即$y_2=3$；
②当$x＞10$时，设$y_2=k_2x+b\ (k_2≠0)$，将点$(10,3)$、$(20,4)$代入得方程组：
$\begin{cases}10k_2 + b = 3 \\20k_2 + b = 4 \end{cases}$
两式相减得$10k_2=1$，解得$k_2=0.1$，将$k_2=0.1$代入$10k_2 + b = 3$得$b=2$，即该段表达式为$y_2=0.1x+2$。
综上，B品牌的函数表达式为$y_2=\begin{cases}3&(0≤ x≤10) \\0.1x+2&(x＞10) \end{cases}$。
(3) 计算小明的骑行时间：已知路程$s=6\mathrm{km}$，速度$v=20\mathrm{km/h}$，由$t=\frac{s}{v}$得$t=\frac{6}{20}=0.3\mathrm{h}$，换算为分钟：$0.3×60=18\mathrm{min}$。
分别计算两种品牌的收费：
A品牌：$y_1=0.2×18=3.6$元；
B品牌：$18＞10$，因此$y_2=0.1×18 + 2=3.8$元。
因为$3.6＜3.8$，所以选择A品牌更省钱。
【答案】
(1) $\boldsymbol{0.2}$
(2) $\boldsymbol{y_2=\begin{cases}3&(0≤ x≤10) \\0.1x+2&(x＞10) \end{cases}}$
(3) $\boldsymbol{选择A品牌的共享电动车更省钱}$
【知识点】
待定系数法求解析式，分段函数，一次函数的实际应用
【点评】
本题结合共享电动车收费的生活场景考查一次函数的应用，解题核心是能从函数图象中提取有效信息，熟练运用待定系数法求解函数表达式，同时需要结合实际问题进行单位换算和数值比较，很好地体现了数学知识的实用性。
【难度系数】
0.7