2. (2025·镇江丹阳二模)如图，∠A=∠B，点D在边AC上，AE和BD相交于点O.
(1)若∠2=36°,求∠AEB的度数；
(2)若∠1=∠2,AE=BE,求证:△AEC≌△BED.
(1)若∠2=36°,求∠AEB的度数；
(2)若∠1=∠2,AE=BE,求证:△AEC≌△BED.
答案：(1)
∵∠AOD=∠BOE，∠A=∠B，
∴∠AEB=∠2=36°。
(2)
∵∠ADE=∠1+∠C，
∴∠2+∠BDE=∠1+∠C。
∵∠2=∠1，
∴∠C=∠BDE。
在△AEC和△BED中，
$\begin{cases} ∠C=∠BDE, \\ ∠A=∠B, \\ AE=BE, \end{cases}$
∴△AEC≌△BED(AAS)。
∵∠AOD=∠BOE，∠A=∠B，
∴∠AEB=∠2=36°。
(2)
∵∠ADE=∠1+∠C，
∴∠2+∠BDE=∠1+∠C。
∵∠2=∠1，
∴∠C=∠BDE。
在△AEC和△BED中，
$\begin{cases} ∠C=∠BDE, \\ ∠A=∠B, \\ AE=BE, \end{cases}$
∴△AEC≌△BED(AAS)。
解析：
【分析】
(1) 求∠AEB的度数时，首先观察到∠AOD和∠BOE是对顶角，大小相等，结合已知∠A=∠B，根据三角形内角和为180°，两个三角形两组对应角相等时第三组角也相等，可推出∠AEB=∠2，代入已知∠2的度数即可得到结果。
(2) 证明△AEC≌△BED时，已知已有∠A=∠B、AE=BE两个条件，还差一组对应角或边相等的条件。结合已知∠1=∠2，利用角的和差关系：∠ADE既等于△EDC的外角和∠1+∠C，也等于∠2+∠BDE，推导得出∠C=∠BDE，即可用AAS判定两个三角形全等。
【解析】
(1)
∵∠AOD和∠BOE是对顶角，
∴∠AOD=∠BOE，
又
∵∠A=∠B，
∴∠AEB=∠2=36°。
(2)
∵∠ADE=∠1+∠C，
∴∠2+∠BDE=∠1+∠C，
∵∠2=∠1，
∴∠C=∠BDE。
在△AEC和△BED中，
$\begin{cases} ∠C=∠BDE, \\ ∠A=∠B, \\ AE=BE, \end{cases}$
∴△AEC≌△BED(AAS)。
【答案】
(1) $\boxed{36°}$
(2) 已证$△ AEC ≌ △ BED$
【知识点】
对顶角相等；三角形外角性质；全等三角形AAS判定
【点评】
本题是三角形模块的基础典型题，侧重考查基础性质的应用，第一小问难度较低，第二小问需要先推导全等的缺项条件，能有效检验学生对全等判定条件的掌握程度。
【难度系数】
0.8
(1) 求∠AEB的度数时，首先观察到∠AOD和∠BOE是对顶角，大小相等，结合已知∠A=∠B，根据三角形内角和为180°，两个三角形两组对应角相等时第三组角也相等，可推出∠AEB=∠2，代入已知∠2的度数即可得到结果。
(2) 证明△AEC≌△BED时，已知已有∠A=∠B、AE=BE两个条件，还差一组对应角或边相等的条件。结合已知∠1=∠2，利用角的和差关系：∠ADE既等于△EDC的外角和∠1+∠C，也等于∠2+∠BDE，推导得出∠C=∠BDE，即可用AAS判定两个三角形全等。
【解析】
(1)
∵∠AOD和∠BOE是对顶角，
∴∠AOD=∠BOE，
又
∵∠A=∠B，
∴∠AEB=∠2=36°。
(2)
∵∠ADE=∠1+∠C，
∴∠2+∠BDE=∠1+∠C，
∵∠2=∠1，
∴∠C=∠BDE。
在△AEC和△BED中，
$\begin{cases} ∠C=∠BDE, \\ ∠A=∠B, \\ AE=BE, \end{cases}$
∴△AEC≌△BED(AAS)。
【答案】
(1) $\boxed{36°}$
(2) 已证$△ AEC ≌ △ BED$
【知识点】
对顶角相等；三角形外角性质；全等三角形AAS判定
【点评】
本题是三角形模块的基础典型题，侧重考查基础性质的应用，第一小问难度较低，第二小问需要先推导全等的缺项条件，能有效检验学生对全等判定条件的掌握程度。
【难度系数】
0.8
例3 (2026·山东济南济阳区期末)已知:如图,∠A=∠D=90°,AB=CD,点E,F为线段BC上两点且BE=CF.求证:△ABF≌△DCE.
解答 ∵BE=CF,
∴BE+EF=CF+EF,
∴BF=EC.
在Rt△ABF和Rt△DCE中, $\begin{cases} AB=DC, \\ BF=CE, \end{cases}$
∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL).
辨析归纳
审题和识图是解题前的重要准备工作,正确地识图能帮助我们更准确地把握题意,找准所需条件,进而选择合适的解题方法.另外注意切勿主观臆断,随意创造条件,证明中一定要步步有理有据.
解答 ∵BE=CF,
∴BE+EF=CF+EF,
∴BF=EC.
在Rt△ABF和Rt△DCE中, $\begin{cases} AB=DC, \\ BF=CE, \end{cases}$
∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL).
辨析归纳
审题和识图是解题前的重要准备工作,正确地识图能帮助我们更准确地把握题意,找准所需条件,进而选择合适的解题方法.另外注意切勿主观臆断,随意创造条件,证明中一定要步步有理有据.
答案：证明：
∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，
∴BF=EC。
∵∠A=∠D=90°，
∴△ABF和△DCE都是直角三角形。
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
$\begin{cases}AB=CD, \\BF=CE,\end{cases}$
∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)。
∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，
∴BF=EC。
∵∠A=∠D=90°，
∴△ABF和△DCE都是直角三角形。
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
$\begin{cases}AB=CD, \\BF=CE,\end{cases}$
∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)。
解析：
【分析】
要证明△ABF≌△DCE，首先观察已知条件：∠A和∠D均为90°，说明两个三角形都是直角三角形，且已知一组直角边AB=CD，此时只需再证明斜边BF=CE，即可用HL定理判定全等。已知BE=CF，根据等式的性质，在两条相等线段上同时加上公共线段EF，就能得到BF=CE，满足HL的判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，
∴BF=EC。
∵∠A=∠D=90°，
∴△ABF和△DCE都是直角三角形。
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
$\begin{cases}AB=CD, \\BF=CE,\end{cases}$
∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)。
【答案】
证明：
∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，
∴BF=EC。
∵∠A=∠D=90°，
∴△ABF和△DCE都是直角三角形。
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
$\begin{cases}AB=CD, \\BF=CE,\end{cases}$
∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)。
【知识点】
1. 直角三角形全等判定（HL）；2. 线段和差计算；3. 等式的性质
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题型，解题核心是利用已知线段相等关系，结合公共线段推导得到全等所需的对应边相等，证明过程要注意先明确三角形为直角三角形，再选用对应判定定理，保证步骤严谨有理有据。
【难度系数】
0.85
要证明△ABF≌△DCE，首先观察已知条件：∠A和∠D均为90°，说明两个三角形都是直角三角形，且已知一组直角边AB=CD，此时只需再证明斜边BF=CE，即可用HL定理判定全等。已知BE=CF，根据等式的性质，在两条相等线段上同时加上公共线段EF，就能得到BF=CE，满足HL的判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，
∴BF=EC。
∵∠A=∠D=90°，
∴△ABF和△DCE都是直角三角形。
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
$\begin{cases}AB=CD, \\BF=CE,\end{cases}$
∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)。
【答案】
证明：
∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，
∴BF=EC。
∵∠A=∠D=90°，
∴△ABF和△DCE都是直角三角形。
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
$\begin{cases}AB=CD, \\BF=CE,\end{cases}$
∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)。
【知识点】
1. 直角三角形全等判定（HL）；2. 线段和差计算；3. 等式的性质
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题型，解题核心是利用已知线段相等关系，结合公共线段推导得到全等所需的对应边相等，证明过程要注意先明确三角形为直角三角形，再选用对应判定定理，保证步骤严谨有理有据。
【难度系数】
0.85
3. (2026·安徽亳州期末)已知:如图,点A,D,B,E在同一条直线上,若$AD=BE$,$∠A=∠EDF$,$∠E=∠ABC$,求证:$△ACB≌△DFE$.
答案：
∵点A,D,B,E在同一条直线上，AD=BE，
∴AD+BD=BE+BD，
∴AB=DE。
在△ACB和△DFE中，$\begin{cases} ∠A=∠EDF, \\ AB=DE, \\ ∠ABC=∠E, \end{cases}$
∴△ACB≌△DFE(ASA)。
∵点A,D,B,E在同一条直线上，AD=BE，
∴AD+BD=BE+BD，
∴AB=DE。
在△ACB和△DFE中，$\begin{cases} ∠A=∠EDF, \\ AB=DE, \\ ∠ABC=∠E, \end{cases}$
∴△ACB≌△DFE(ASA)。
解析：
【分析】
要证明△ACB≌△DFE，首先回忆全等三角形的判定定理，题目已经给出两组对应角相等：∠A=∠EDF，∠E=∠ABC，若用ASA判定全等，还需要证明这两组角的夹边AB=DE。已知AD=BE，观察线段位置，AD、BE分别加上公共线段BD，根据等式的性质即可推出AB=DE，满足ASA判定的条件，即可完成证明。
【解析】
∵点A,D,B,E在同一条直线上，AD=BE，
∴AD+BD=BE+BD（等式的性质），
∴AB=DE。
在△ACB和△DFE中，
$\begin{cases} ∠A=∠EDF, \\ AB=DE, \\ ∠ABC=∠E, \end{cases}$
∴△ACB≌△DFE(ASA)。
【答案】
∵点A,D,B,E在同一条直线上，AD=BE，
∴AD+BD=BE+BD，
∴AB=DE。
在△ACB和△DFE中，$\begin{cases} ∠A=∠EDF, \\ AB=DE, \\ ∠ABC=∠E, \end{cases}$
∴△ACB≌△DFE(ASA)。
【知识点】
ASA判定三角形全等，等式的性质
【点评】
本题属于全等证明的基础题，重点考查角边角（ASA）判定定理的应用，解题的关键是通过线段和差的转化得到全等所需的对应边相等，熟练掌握全等判定定理即可快速求解。
【难度系数】
0.85
要证明△ACB≌△DFE，首先回忆全等三角形的判定定理，题目已经给出两组对应角相等：∠A=∠EDF，∠E=∠ABC，若用ASA判定全等，还需要证明这两组角的夹边AB=DE。已知AD=BE，观察线段位置，AD、BE分别加上公共线段BD，根据等式的性质即可推出AB=DE，满足ASA判定的条件，即可完成证明。
【解析】
∵点A,D,B,E在同一条直线上，AD=BE，
∴AD+BD=BE+BD（等式的性质），
∴AB=DE。
在△ACB和△DFE中，
$\begin{cases} ∠A=∠EDF, \\ AB=DE, \\ ∠ABC=∠E, \end{cases}$
∴△ACB≌△DFE(ASA)。
【答案】
∵点A,D,B,E在同一条直线上，AD=BE，
∴AD+BD=BE+BD，
∴AB=DE。
在△ACB和△DFE中，$\begin{cases} ∠A=∠EDF, \\ AB=DE, \\ ∠ABC=∠E, \end{cases}$
∴△ACB≌△DFE(ASA)。
【知识点】
ASA判定三角形全等，等式的性质
【点评】
本题属于全等证明的基础题，重点考查角边角（ASA）判定定理的应用，解题的关键是通过线段和差的转化得到全等所需的对应边相等，熟练掌握全等判定定理即可快速求解。
【难度系数】
0.85
例4 (2025·宿迁泗洪期末)若等腰三角形的周长为8 cm,其中一边长为2 cm,则底边长为 cm.
解析 当2 cm是等腰三角形的底边时,其腰长是(8－2)÷2=3(cm),能够组成三角形;当2 cm是等腰三角形的腰时,其底边是8－2×2=4(cm),不能够组成三角形.故该等腰三角形的底边长为2 cm.
答案 2
解析 当2 cm是等腰三角形的底边时,其腰长是(8－2)÷2=3(cm),能够组成三角形;当2 cm是等腰三角形的腰时,其底边是8－2×2=4(cm),不能够组成三角形.故该等腰三角形的底边长为2 cm.
答案 2
答案：解：分两种情况讨论：
① 当2 cm为等腰三角形的底边长时，腰长为$\frac{8-2}{2}=3$ cm，
此时三角形三边长为2 cm、3 cm、3 cm，满足三角形任意两边之和大于第三边，可以构成三角形。
② 当2 cm为等腰三角形的腰长时，底边长为$8-2×2=4$ cm，
此时三角形三边长为2 cm、2 cm、4 cm，$2+2=4$，不满足三角形任意两边之和大于第三边，无法构成三角形，该情况舍去。
综上，该等腰三角形的底边长为$\boldsymbol{2}$ cm。
① 当2 cm为等腰三角形的底边长时，腰长为$\frac{8-2}{2}=3$ cm，
此时三角形三边长为2 cm、3 cm、3 cm，满足三角形任意两边之和大于第三边，可以构成三角形。
② 当2 cm为等腰三角形的腰长时，底边长为$8-2×2=4$ cm，
此时三角形三边长为2 cm、2 cm、4 cm，$2+2=4$，不满足三角形任意两边之和大于第三边，无法构成三角形，该情况舍去。
综上，该等腰三角形的底边长为$\boldsymbol{2}$ cm。
解析：
【分析】
已知等腰三角形的周长和其中一边长求底边长时，首先要明确已知边长未说明是腰还是底边，因此需要分两种情况讨论；每种情况计算出三边长度后，必须根据三角形三边关系验证是否能构成三角形，不符合条件的情况要舍去，最终得到正确的底边长。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当2 cm为等腰三角形的底边长时，腰长为$\frac{8-2}{2}=3$ cm，
此时三角形三边长为2 cm、3 cm、3 cm，满足三角形任意两边之和大于第三边，可以构成三角形。
② 当2 cm为等腰三角形的腰长时，底边长为$8-2×2=4$ cm，
此时三角形三边长为2 cm、2 cm、4 cm，$2+2=4$，不满足三角形任意两边之和大于第三边，无法构成三角形，该情况舍去。
综上，该等腰三角形的底边长为2 cm。
【答案】
2
【知识点】
等腰三角形性质；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形边长计算的常见题型，易错点是分类讨论后忘记验证三角形三边关系，直接得出2cm或4cm两个结果，解题时需注意分类后一定要验证三边是否能构成三角形，舍去不符合条件的情况。
【难度系数】
0.7
已知等腰三角形的周长和其中一边长求底边长时，首先要明确已知边长未说明是腰还是底边，因此需要分两种情况讨论；每种情况计算出三边长度后，必须根据三角形三边关系验证是否能构成三角形，不符合条件的情况要舍去，最终得到正确的底边长。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当2 cm为等腰三角形的底边长时，腰长为$\frac{8-2}{2}=3$ cm，
此时三角形三边长为2 cm、3 cm、3 cm，满足三角形任意两边之和大于第三边，可以构成三角形。
② 当2 cm为等腰三角形的腰长时，底边长为$8-2×2=4$ cm，
此时三角形三边长为2 cm、2 cm、4 cm，$2+2=4$，不满足三角形任意两边之和大于第三边，无法构成三角形，该情况舍去。
综上，该等腰三角形的底边长为2 cm。
【答案】
2
【知识点】
等腰三角形性质；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形边长计算的常见题型，易错点是分类讨论后忘记验证三角形三边关系，直接得出2cm或4cm两个结果，解题时需注意分类后一定要验证三边是否能构成三角形，舍去不符合条件的情况。
【难度系数】
0.7
4. 在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AC$上的中线$BD$把三角形的周长分成24和30两部分，则底边$BC$的长为
22或14
。答案：22或14 解析 由题意，得AD=CD，
∴AB=AC=2AD。
当AB+AD=24时，
即2AD+AD=24，
∴AD=8。
∵BC+CD=30，
∴BC=30−CD=30−8=22；
当AB+AD=30时，
即2AD+AD=30，
∴AD=10。
∵BC+CD=24，
∴BC=24−CD=24−10=14。
综上所述，底边BC的长为22或14。
∴AB=AC=2AD。
当AB+AD=24时，
即2AD+AD=24，
∴AD=8。
∵BC+CD=30，
∴BC=30−CD=30−8=22；
当AB+AD=30时，
即2AD+AD=30，
∴AD=10。
∵BC+CD=24，
∴BC=24−CD=24−10=14。
综上所述，底边BC的长为22或14。
解析：
【分析】
本题是等腰三角形结合中线的周长计算问题，解题思路如下：①首先根据BD是AC边上的中线，可得AD=CD，结合AB=AC可推出AB=AC=2AD；②BD把三角形周长分成24和30两部分，这两部分分别为AB+AD、BC+CD（BD是公共边，不计入两部分周长），由于不确定哪部分对应24、哪部分对应30，因此需要分两种情况讨论；③分别计算两种情况下BC的长度，最后验证所得三边是否满足三角形三边关系，保留符合要求的结果即可。
【解析】
解：
∵BD是AC边上的中线，
∴AD=CD，
又
∵AB=AC，
∴AB=AC=2AD。
分两种情况讨论：
情况1：当AB+AD=24时，
将AB=2AD代入得：2AD+AD=24，
解得AD=8，
∴CD=AD=8，
∵BC+CD=30，
∴BC=30-CD=30-8=22，
此时三角形三边长为16、16、22，满足三角形三边关系，可构成三角形；
情况2：当AB+AD=30时，
将AB=2AD代入得：2AD+AD=30，
解得AD=10，
∴CD=AD=10，
∵BC+CD=24，
∴BC=24-CD=24-10=14，
此时三角形三边长为20、20、14，满足三角形三边关系，可构成三角形。
综上所述，底边BC的长为22或14。
【答案】
22或14
【知识点】
1. 等腰三角形性质 2. 三角形中线定义 3. 三角形三边关系
【点评】
本题是三角形分类讨论的典型题型，易错点是容易漏其中一种情况，另外求出边长后必须验证是否符合三角形三边关系，避免出现无效解。
【难度系数】
0.6
本题是等腰三角形结合中线的周长计算问题，解题思路如下：①首先根据BD是AC边上的中线，可得AD=CD，结合AB=AC可推出AB=AC=2AD；②BD把三角形周长分成24和30两部分，这两部分分别为AB+AD、BC+CD（BD是公共边，不计入两部分周长），由于不确定哪部分对应24、哪部分对应30，因此需要分两种情况讨论；③分别计算两种情况下BC的长度，最后验证所得三边是否满足三角形三边关系，保留符合要求的结果即可。
【解析】
解：
∵BD是AC边上的中线，
∴AD=CD，
又
∵AB=AC，
∴AB=AC=2AD。
分两种情况讨论：
情况1：当AB+AD=24时，
将AB=2AD代入得：2AD+AD=24，
解得AD=8，
∴CD=AD=8，
∵BC+CD=30，
∴BC=30-CD=30-8=22，
此时三角形三边长为16、16、22，满足三角形三边关系，可构成三角形；
情况2：当AB+AD=30时，
将AB=2AD代入得：2AD+AD=30，
解得AD=10，
∴CD=AD=10，
∵BC+CD=24，
∴BC=24-CD=24-10=14，
此时三角形三边长为20、20、14，满足三角形三边关系，可构成三角形。
综上所述，底边BC的长为22或14。
【答案】
22或14
【知识点】
1. 等腰三角形性质 2. 三角形中线定义 3. 三角形三边关系
【点评】
本题是三角形分类讨论的典型题型，易错点是容易漏其中一种情况，另外求出边长后必须验证是否符合三角形三边关系，避免出现无效解。
【难度系数】
0.6