例5 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是$40°$,求这个等腰三角形的底角的度数.
解答 应分两种情况求解.
①当等腰三角形是锐角三角形时,如图(1),可设$AB=AC$,则$∠ B=∠ ACB$.
因为$∠ ACD=40°$,所以$∠ A=50°$,
所以$∠ B=∠ ACB=\frac{1}{2}×(180°-∠ A)=\frac{1}{2}×(180°-50°)=65°$.
②当等腰三角形是钝角三角形时,如图(2),可设$AB=AC$,则$∠ B=∠ ACB$.
因为$∠ ACD=40°$,所以$∠ DAC=50°$,
所以$∠ BAC=130°$,
所以$∠ B=∠ ACB=\frac{1}{2}×(180°-∠ BAC)=\frac{1}{2}×(180°-130°)=25°$.
故这个等腰三角形的底角的度数是$65°$或$25°$.
辨析归纳
在解有关等腰三角形的问题时,应认真审题.
若等腰三角形的顶角是锐角,则腰上的高在三角形的内部;若等腰三角形的顶角是钝角,则腰上的高在三角形外部,题中没有明确三角形的情况,要分情况讨论.
解答 应分两种情况求解.
①当等腰三角形是锐角三角形时,如图(1),可设$AB=AC$,则$∠ B=∠ ACB$.
因为$∠ ACD=40°$,所以$∠ A=50°$,
所以$∠ B=∠ ACB=\frac{1}{2}×(180°-∠ A)=\frac{1}{2}×(180°-50°)=65°$.
②当等腰三角形是钝角三角形时,如图(2),可设$AB=AC$,则$∠ B=∠ ACB$.
因为$∠ ACD=40°$,所以$∠ DAC=50°$,
所以$∠ BAC=130°$,
所以$∠ B=∠ ACB=\frac{1}{2}×(180°-∠ BAC)=\frac{1}{2}×(180°-130°)=25°$.
故这个等腰三角形的底角的度数是$65°$或$25°$.
辨析归纳
在解有关等腰三角形的问题时,应认真审题.
若等腰三角形的顶角是锐角,则腰上的高在三角形的内部;若等腰三角形的顶角是钝角,则腰上的高在三角形外部,题中没有明确三角形的情况,要分情况讨论.
答案：解：分两种情况求解：
① 当等腰三角形是锐角三角形时，如图(1)，设$AB=AC$，则$∠ B=∠ ACB$。
因为腰上的高$CD⊥ AB$，$∠ ACD=40°$，
所以$∠ A=90°-40°=50°$，
所以$∠ B=∠ ACB=\frac{1}{2}×(180°-∠ A)=\frac{1}{2}×(180°-50°)=65°$。
② 当等腰三角形是钝角三角形时，如图(2)，设$AB=AC$，则$∠ B=∠ ACB$。
因为腰上的高$CD⊥ BA$的延长线于点$D$，$∠ ACD=40°$，
所以$∠ DAC=90°-40°=50°$，
所以$∠ BAC=180°-50°=130°$，
所以$∠ B=∠ ACB=\frac{1}{2}×(180°-∠ BAC)=\frac{1}{2}×(180°-130°)=25°$。
答：这个等腰三角形的底角的度数是$65°$或$25°$。
① 当等腰三角形是锐角三角形时，如图(1)，设$AB=AC$，则$∠ B=∠ ACB$。
因为腰上的高$CD⊥ AB$，$∠ ACD=40°$，
所以$∠ A=90°-40°=50°$，
所以$∠ B=∠ ACB=\frac{1}{2}×(180°-∠ A)=\frac{1}{2}×(180°-50°)=65°$。
② 当等腰三角形是钝角三角形时，如图(2)，设$AB=AC$，则$∠ B=∠ ACB$。
因为腰上的高$CD⊥ BA$的延长线于点$D$，$∠ ACD=40°$，
所以$∠ DAC=90°-40°=50°$，
所以$∠ BAC=180°-50°=130°$，
所以$∠ B=∠ ACB=\frac{1}{2}×(180°-∠ BAC)=\frac{1}{2}×(180°-130°)=25°$。
答：这个等腰三角形的底角的度数是$65°$或$25°$。
解析：
【分析】
题目未明确等腰三角形的类型，等腰三角形的顶角可分为锐角、钝角两种情况，对应腰上的高分别在三角形内部、外部，因此需分类讨论求解。解题时先结合高与另一腰的夹角求出顶角度数，再利用等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质计算底角度数。
【解析】
分两种情况求解：
① 当等腰三角形是锐角三角形时，如图(1)，设$AB=AC$，则$∠ B=∠ ACB$。
因为腰上的高$CD⊥ AB$，$∠ ACD=40°$，
所以$∠ A=90°-40°=50°$，
所以$∠ B=∠ ACB=\frac{1}{2}×(180°-∠ A)=\frac{1}{2}×(180°-50°)=65°$。
② 当等腰三角形是钝角三角形时，如图(2)，设$AB=AC$，则$∠ B=∠ ACB$。
因为腰上的高$CD⊥ BA$的延长线于点$D$，$∠ ACD=40°$，
所以$∠ DAC=90°-40°=50°$，
所以$∠ BAC=180°-50°=130°$，
所以$∠ B=∠ ACB=\frac{1}{2}×(180°-∠ BAC)=\frac{1}{2}×(180°-130°)=25°$。
【答案】
$65°$或$25°$
【知识点】
等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题核心考查等腰三角形的性质与分类讨论思想，易错点是仅考虑锐角三角形的情况，忽略钝角三角形腰上的高在外部的情况导致漏解。求解未明确类型的等腰三角形问题时，要结合条件全面分析，避免漏解。
【难度系数】
0.6
题目未明确等腰三角形的类型，等腰三角形的顶角可分为锐角、钝角两种情况，对应腰上的高分别在三角形内部、外部，因此需分类讨论求解。解题时先结合高与另一腰的夹角求出顶角度数，再利用等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质计算底角度数。
【解析】
分两种情况求解：
① 当等腰三角形是锐角三角形时，如图(1)，设$AB=AC$，则$∠ B=∠ ACB$。
因为腰上的高$CD⊥ AB$，$∠ ACD=40°$，
所以$∠ A=90°-40°=50°$，
所以$∠ B=∠ ACB=\frac{1}{2}×(180°-∠ A)=\frac{1}{2}×(180°-50°)=65°$。
② 当等腰三角形是钝角三角形时，如图(2)，设$AB=AC$，则$∠ B=∠ ACB$。
因为腰上的高$CD⊥ BA$的延长线于点$D$，$∠ ACD=40°$，
所以$∠ DAC=90°-40°=50°$，
所以$∠ BAC=180°-50°=130°$，
所以$∠ B=∠ ACB=\frac{1}{2}×(180°-∠ BAC)=\frac{1}{2}×(180°-130°)=25°$。
【答案】
$65°$或$25°$
【知识点】
等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题核心考查等腰三角形的性质与分类讨论思想，易错点是仅考虑锐角三角形的情况，忽略钝角三角形腰上的高在外部的情况导致漏解。求解未明确类型的等腰三角形问题时，要结合条件全面分析，避免漏解。
【难度系数】
0.6
5. 若等腰三角形的两条高所在直线形成的角中有一个为$45°$，则求其顶角的度数.
答案：
分情况讨论：
①如图(1)，AB=AC，∠BFE=45°。
∵CE⊥AB，BD⊥AC，
∴∠BEC=∠ADB=∠BDC=90°，
∴∠A=∠ABD=45°，即顶角为45°；
②如图(2)，AB=AC，∠BAD=45°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠BAD=∠B=45°，
∴∠B=∠C=45°，
∴∠BAC=90°，即顶角为90°；
③如图(3)，AB=AC，∠BPC=45°，
同①同理可得∠PBN=∠BAM=45°，
∴∠BAC=135°，即顶角为135°。
综上所述，顶角度数为45°或90°或135°。
分情况讨论：
①如图(1)，AB=AC，∠BFE=45°。
∵CE⊥AB，BD⊥AC，
∴∠BEC=∠ADB=∠BDC=90°，
∴∠A=∠ABD=45°，即顶角为45°；
②如图(2)，AB=AC，∠BAD=45°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠BAD=∠B=45°，
∴∠B=∠C=45°，
∴∠BAC=90°，即顶角为90°；
③如图(3)，AB=AC，∠BPC=45°，
同①同理可得∠PBN=∠BAM=45°，
∴∠BAC=135°，即顶角为135°。
综上所述，顶角度数为45°或90°或135°。
解析：
【分析】
本题已知等腰三角形两条高所在直线的夹角为45°，要求顶角的度数，需用分类讨论思想求解：首先等腰三角形可分为锐角、直角、钝角三类，高的位置可能在三角形内部、边上或外部，且“高所在直线的夹角”包含交点在三角形内、外两种情况，因此分三种情况讨论：①锐角等腰三角形两条腰上的高交于内部，形成45°锐角；②等腰直角三角形的高形成45°角；③钝角等腰三角形两条腰上的高的延长线交于外部，形成45°角。每种情况结合直角三角形两锐角互余、等腰三角形等边对等角、三角形内角和定理计算顶角即可。
【解析】
分情况讨论：
①如图(1)，AB=AC，∠BFE=45°。
∵CE⊥AB，BD⊥AC，
∴∠BEC=∠ADB=∠BDC=90°，
∴∠A=∠ABD=45°，即顶角为45°；
②如图(2)，AB=AC，∠BAD=45°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠BAD=∠B=45°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=45°，
∴∠BAC=180°-45°-45°=90°，即顶角为90°；
③如图(3)，AB=AC，∠BPC=45°，
同①同理可得∠PBN=∠BAM=45°，
∴∠BAC=180°-45°=135°，即顶角为135°。
综上所述，顶角度数为45°或90°或135°。
【答案】
45°或90°或135°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形高的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，解题时需注意等腰三角形的高位置不唯一，不要漏记高在三角形外部的情况，结合图形分析角的数量关系是解题的关键。
【难度系数】
0.6
本题已知等腰三角形两条高所在直线的夹角为45°，要求顶角的度数，需用分类讨论思想求解：首先等腰三角形可分为锐角、直角、钝角三类，高的位置可能在三角形内部、边上或外部，且“高所在直线的夹角”包含交点在三角形内、外两种情况，因此分三种情况讨论：①锐角等腰三角形两条腰上的高交于内部，形成45°锐角；②等腰直角三角形的高形成45°角；③钝角等腰三角形两条腰上的高的延长线交于外部，形成45°角。每种情况结合直角三角形两锐角互余、等腰三角形等边对等角、三角形内角和定理计算顶角即可。
【解析】
分情况讨论：
①如图(1)，AB=AC，∠BFE=45°。
∵CE⊥AB，BD⊥AC，
∴∠BEC=∠ADB=∠BDC=90°，
∴∠A=∠ABD=45°，即顶角为45°；
②如图(2)，AB=AC，∠BAD=45°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠BAD=∠B=45°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=45°，
∴∠BAC=180°-45°-45°=90°，即顶角为90°；
③如图(3)，AB=AC，∠BPC=45°，
同①同理可得∠PBN=∠BAM=45°，
∴∠BAC=180°-45°=135°，即顶角为135°。
综上所述，顶角度数为45°或90°或135°。
【答案】
45°或90°或135°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形高的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，解题时需注意等腰三角形的高位置不唯一，不要漏记高在三角形外部的情况，结合图形分析角的数量关系是解题的关键。
【难度系数】
0.6
例1 (2026·福建厦门翔安区期末)如图,书架两侧摆放了若干本相同的书籍,左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板,其直角顶点C在书架底部DE上,当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时,顶点B恰好落在左侧书籍的上方边沿.已知每本书长20 cm,厚度为2 cm,则两摞书之间的距离DE为().
A.24 cm
B.23 cm
C.22 cm
D.21 cm
解析 由题意可得$AC=BC$,$∠ ACB=90°$,$BD⊥ DE$,$AE⊥ DE$,
$\therefore ∠ BDC=∠ CEA=90°$.
$\because ∠ BCA=90°$,
$\therefore ∠ BCD+∠ ACE=90°$,$∠ BCD+∠ DBC=90°$,
$\therefore ∠ ACE=∠ DBC$.
在$△ BDC$和$△ CEA$中,
$\{\begin{array}{l}∠ BDC=∠ CEA, \\∠ DBC=∠ ECA, \\BC=CA,\end{array} $
$\therefore △ BDC≌△ CEA(\mathrm{AAS})$.
由题意可得$BD=EC=4\ \mathrm{cm}$,$DC=AE=20\ \mathrm{cm}$.
$\therefore DE=DC+CE=24\ \mathrm{cm}$.
答案 A
A.24 cm
B.23 cm
C.22 cm
D.21 cm
解析 由题意可得$AC=BC$,$∠ ACB=90°$,$BD⊥ DE$,$AE⊥ DE$,
$\therefore ∠ BDC=∠ CEA=90°$.
$\because ∠ BCA=90°$,
$\therefore ∠ BCD+∠ ACE=90°$,$∠ BCD+∠ DBC=90°$,
$\therefore ∠ ACE=∠ DBC$.
在$△ BDC$和$△ CEA$中,
$\{\begin{array}{l}∠ BDC=∠ CEA, \\∠ DBC=∠ ECA, \\BC=CA,\end{array} $
$\therefore △ BDC≌△ CEA(\mathrm{AAS})$.
由题意可得$BD=EC=4\ \mathrm{cm}$,$DC=AE=20\ \mathrm{cm}$.
$\therefore DE=DC+CE=24\ \mathrm{cm}$.
答案 A
答案：A
解析：
【分析】
解题时首先结合等腰直角三角板的已知条件，得到$AC=BC$、$∠ ACB=90°$，再根据书籍竖直摆放的特点，得出$BD⊥ DE$、$AE⊥ DE$，即两个直角相等。接下来利用直角三角形两锐角互余的性质，推导得到一组相等的锐角，进而证明$△ BDC$和$△ CEA$全等，再根据全等三角形对应边相等的性质，求出$DC$和$CE$的长度，最后将两段线段相加即可得到$DE$的长度。
【解析】
由题意可得：$AC=BC$，$∠ ACB=90°$，$BD⊥ DE$，$AE⊥ DE$，
$\therefore ∠ BDC=∠ CEA=90°$。
$\because ∠ BCA=90°$，
$\therefore ∠ BCD+∠ ACE=90°$，
又$\because \mathrm{Rt}△ BDC$中$∠ BCD+∠ DBC=90°$，
$\therefore ∠ ACE=∠ DBC$。
在$△ BDC$和$△ CEA$中：
$\begin{cases}∠ BDC=∠ CEA \\∠ DBC=∠ ECA \\BC=CA\end{cases}$
$\therefore △ BDC≌△ CEA(\mathrm{AAS})$。
结合书籍尺寸可得：$BD=2×2=4\ \mathrm{cm}$，$AE=20\ \mathrm{cm}$，
根据全等三角形对应边相等，得$EC=BD=4\ \mathrm{cm}$，$DC=AE=20\ \mathrm{cm}$，
$\therefore DE=DC+CE=20+4=24\ \mathrm{cm}$。
【答案】
A
【知识点】
等腰直角三角形性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题结合生活中书架摆书的实际情境，考查全等三角形判定与性质的应用，解题关键是利用同角的余角相等推导得到相等的内角，证明三角形全等后将未知线段转化为已知线段求解，是几何知识解决实际问题的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合等腰直角三角板的已知条件，得到$AC=BC$、$∠ ACB=90°$，再根据书籍竖直摆放的特点，得出$BD⊥ DE$、$AE⊥ DE$，即两个直角相等。接下来利用直角三角形两锐角互余的性质，推导得到一组相等的锐角，进而证明$△ BDC$和$△ CEA$全等，再根据全等三角形对应边相等的性质，求出$DC$和$CE$的长度，最后将两段线段相加即可得到$DE$的长度。
【解析】
由题意可得：$AC=BC$，$∠ ACB=90°$，$BD⊥ DE$，$AE⊥ DE$，
$\therefore ∠ BDC=∠ CEA=90°$。
$\because ∠ BCA=90°$，
$\therefore ∠ BCD+∠ ACE=90°$，
又$\because \mathrm{Rt}△ BDC$中$∠ BCD+∠ DBC=90°$，
$\therefore ∠ ACE=∠ DBC$。
在$△ BDC$和$△ CEA$中：
$\begin{cases}∠ BDC=∠ CEA \\∠ DBC=∠ ECA \\BC=CA\end{cases}$
$\therefore △ BDC≌△ CEA(\mathrm{AAS})$。
结合书籍尺寸可得：$BD=2×2=4\ \mathrm{cm}$，$AE=20\ \mathrm{cm}$，
根据全等三角形对应边相等，得$EC=BD=4\ \mathrm{cm}$，$DC=AE=20\ \mathrm{cm}$，
$\therefore DE=DC+CE=20+4=24\ \mathrm{cm}$。
【答案】
A
【知识点】
等腰直角三角形性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题结合生活中书架摆书的实际情境，考查全等三角形判定与性质的应用，解题关键是利用同角的余角相等推导得到相等的内角，证明三角形全等后将未知线段转化为已知线段求解，是几何知识解决实际问题的典型题型。
【难度系数】
0.7