1.（2026·湖北武汉实验中学期末）如图，两根旗杆间相距20米，某人从点B沿BA走向点A，一段时间后他到达点M，此时他仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90°，且$CM=DM$.已知旗杆BD的高为12米，该人的运动速度为2米/秒，求这个人运动到点M所用的时间.
新考法
新考法
答案：
∵∠CMD=90°，
∴∠CMA+∠DMB=90°。
又∠CAM=90°，
∴∠CMA+∠C=90°，
∴∠C=∠DMB。
在△ACM和△BMD中，
$\begin{cases} ∠A=∠B, \\ ∠C=∠DMB, \\ CM=MD, \end{cases}$
∴△ACM≌△BMD(AAS)，
∴BD=AM=12米，
∴BM=20−12=8(米)。
∵该人的运动速度为2米/秒，
∴他到达点M时，运动时间为8÷2=4(秒)。
∵∠CMD=90°，
∴∠CMA+∠DMB=90°。
又∠CAM=90°，
∴∠CMA+∠C=90°，
∴∠C=∠DMB。
在△ACM和△BMD中，
$\begin{cases} ∠A=∠B, \\ ∠C=∠DMB, \\ CM=MD, \end{cases}$
∴△ACM≌△BMD(AAS)，
∴BD=AM=12米，
∴BM=20−12=8(米)。
∵该人的运动速度为2米/秒，
∴他到达点M时，运动时间为8÷2=4(秒)。
解析：
【分析】
解题时首先观察图形特征，已知多个直角和CM=DM，首先利用直角的性质推导角的等量关系：由∠CMD=90°可得∠CMA与∠DMB互余，再结合Rt△ACM中∠C与∠CMA互余，即可推出∠C=∠DMB；接着利用AAS判定△ACM和△BMD全等，根据全等三角形对应边相等得到AM=BD，进而求出BM的长度；最后根据“时间=路程÷速度”计算运动时间即可。
【解析】
∵∠CMD=90°，
∴∠CMA+∠DMB=90°。
又∠CAM=90°，
∴∠CMA+∠C=90°，
∴∠C=∠DMB。
在△ACM和△BMD中，
$\begin{cases} ∠A=∠B, \\ ∠C=∠DMB, \\ CM=MD, \end{cases}$
∴△ACM≌△BMD(AAS)，
∴BD=AM=12米，
∴BM=20−12=8(米)。
∵该人的运动速度为2米/秒，
∴他到达点M时，运动时间为8÷2=4(秒)。
【答案】
这个人运动到点M所用的时间为4秒。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质；行程问题计算
【点评】
本题将几何全等证明与实际行程问题结合，考查学生对基础几何定理的运用能力和知识迁移能力，解题关键是通过角的互余关系推导等角，进而证明三角形全等实现边长的转化。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形特征，已知多个直角和CM=DM，首先利用直角的性质推导角的等量关系：由∠CMD=90°可得∠CMA与∠DMB互余，再结合Rt△ACM中∠C与∠CMA互余，即可推出∠C=∠DMB；接着利用AAS判定△ACM和△BMD全等，根据全等三角形对应边相等得到AM=BD，进而求出BM的长度；最后根据“时间=路程÷速度”计算运动时间即可。
【解析】
∵∠CMD=90°，
∴∠CMA+∠DMB=90°。
又∠CAM=90°，
∴∠CMA+∠C=90°，
∴∠C=∠DMB。
在△ACM和△BMD中，
$\begin{cases} ∠A=∠B, \\ ∠C=∠DMB, \\ CM=MD, \end{cases}$
∴△ACM≌△BMD(AAS)，
∴BD=AM=12米，
∴BM=20−12=8(米)。
∵该人的运动速度为2米/秒，
∴他到达点M时，运动时间为8÷2=4(秒)。
【答案】
这个人运动到点M所用的时间为4秒。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质；行程问题计算
【点评】
本题将几何全等证明与实际行程问题结合，考查学生对基础几何定理的运用能力和知识迁移能力，解题关键是通过角的互余关系推导等角，进而证明三角形全等实现边长的转化。
【难度系数】
0.7
例2 (2026·四川凉山州期末)[问题背景]
在四边形$ABCD$中，$AB=AD$，$∠ BAD=120°$，$∠ B=∠ ADC=90°$，$E$，$F$分别是$BC$，$CD$上的点，且$∠ EAF=60°$，试探究图(1)中线段$BE$，$EF$，$FD$之间的数量关系。
[初步探索]
小亮同学认为:延长$FD$到点$G$，使$DG=BE$，连接$AG$，先证明$△ ABE ≌ △ ADG$，再证明$△ AEF ≌ △ AGF$，则可得到$BE$，$EF$，$FD$之间的数量关系是.
[探索延伸]
在四边形$ABCD$中，如图(2)，$AB=AD$，$∠ B+∠ D=180°$，$E$，$F$分别是$BC$，$CD$上的点，$∠ EAF=\frac{1}{2}∠ BAD$，上述结论是否仍然成立？说明理由。
[结论运用]
如图(3)，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心($O$处)北偏西$30°$的$A$处，舰艇乙在指挥中心南偏东$70°$的$B$处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东$50°$的方向以80海里/时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达$E$，$F$处，且两舰艇之间的夹角($∠ EOF$)为$70°$，试求此时两舰艇之间的距离。
解析 [探索延伸]延长$FD$到点$G$，使$DG=BE$，连接$AG$，证明$△ ABE ≌ △ ADG$和$△ AEF ≌ △ AGF$，即可得到答案；
[结论运用]连接$EF$，延长$AE$，$BF$交于点$C$，得到$EF=AE+BF$，根据距离、速度和时间的关系计算即可。
答案 [初步探索]$EF=BE+FD$
[探索延伸]结论仍然成立.理由如下:
如图(1)，延长$FD$到点$G$，使$DG=BE$，连接$AG$.
$\because ∠ B+∠ ADC=180°,∠ ADG+∠ ADC=180°,$
$\therefore ∠ B=∠ ADG.$
在$△ ABE$和$△ ADG$中，
$\begin{cases} BE=DG, \\ ∠ B=∠ ADG, \\ AB=AD, \end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ ADG(\mathrm{SAS}),$
$\therefore AE=AG,∠ BAE=∠ DAG.$
$\because ∠ EAF=\frac{1}{2}∠ BAD,$
$\therefore ∠ GAF = ∠ DAG + ∠ DAF = ∠ BAE + ∠ DAF = ∠ BAD-∠ EAF=∠ EAF,$
$\therefore ∠ EAF=∠ GAF.$
在$△ AEF$和$△ AGF$中，
$\begin{cases} AE=AG, \\ ∠ EAF=∠ GAF, \\ AF=AF, \end{cases}$
$\therefore △ AEF ≌ △ AGF(\mathrm{SAS}),$
$\therefore EF=FG,$
$\therefore EF=FG=DG+FD=BE+FD.$
[结论运用]如图(2)，连接$EF$，延长$AE$，$BF$交于点$C$.
$\because ∠ AOB = 30°+90°+(90°-70°)=140°,$
$∠ EOF=70°,\therefore ∠ EOF=\frac{1}{2}∠ AOB.$
$\because OA=OB,∠ OAC+∠ OBC=(90°-30°)+(70°+50°)=180°,$
$\therefore \mathrm{符合}[探索延伸]中的条件，$
$\therefore \mathrm{结论}EF=AE+BF\mathrm{成立，}$
$\mathrm{即}EF=1.5×(60+80)=210(\mathrm{海里}).$
$\mathrm{故此时两舰艇之间的距离是210海里}.$
点拨 本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，注意要正确作出辅助线.
在四边形$ABCD$中，$AB=AD$，$∠ BAD=120°$，$∠ B=∠ ADC=90°$，$E$，$F$分别是$BC$，$CD$上的点，且$∠ EAF=60°$，试探究图(1)中线段$BE$，$EF$，$FD$之间的数量关系。
[初步探索]
小亮同学认为:延长$FD$到点$G$，使$DG=BE$，连接$AG$，先证明$△ ABE ≌ △ ADG$，再证明$△ AEF ≌ △ AGF$，则可得到$BE$，$EF$，$FD$之间的数量关系是.
[探索延伸]
在四边形$ABCD$中，如图(2)，$AB=AD$，$∠ B+∠ D=180°$，$E$，$F$分别是$BC$，$CD$上的点，$∠ EAF=\frac{1}{2}∠ BAD$，上述结论是否仍然成立？说明理由。
[结论运用]
如图(3)，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心($O$处)北偏西$30°$的$A$处，舰艇乙在指挥中心南偏东$70°$的$B$处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东$50°$的方向以80海里/时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达$E$，$F$处，且两舰艇之间的夹角($∠ EOF$)为$70°$，试求此时两舰艇之间的距离。
解析 [探索延伸]延长$FD$到点$G$，使$DG=BE$，连接$AG$，证明$△ ABE ≌ △ ADG$和$△ AEF ≌ △ AGF$，即可得到答案；
[结论运用]连接$EF$，延长$AE$，$BF$交于点$C$，得到$EF=AE+BF$，根据距离、速度和时间的关系计算即可。
答案 [初步探索]$EF=BE+FD$
[探索延伸]结论仍然成立.理由如下:
如图(1)，延长$FD$到点$G$，使$DG=BE$，连接$AG$.
$\because ∠ B+∠ ADC=180°,∠ ADG+∠ ADC=180°,$
$\therefore ∠ B=∠ ADG.$
在$△ ABE$和$△ ADG$中，
$\begin{cases} BE=DG, \\ ∠ B=∠ ADG, \\ AB=AD, \end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ ADG(\mathrm{SAS}),$
$\therefore AE=AG,∠ BAE=∠ DAG.$
$\because ∠ EAF=\frac{1}{2}∠ BAD,$
$\therefore ∠ GAF = ∠ DAG + ∠ DAF = ∠ BAE + ∠ DAF = ∠ BAD-∠ EAF=∠ EAF,$
$\therefore ∠ EAF=∠ GAF.$
在$△ AEF$和$△ AGF$中，
$\begin{cases} AE=AG, \\ ∠ EAF=∠ GAF, \\ AF=AF, \end{cases}$
$\therefore △ AEF ≌ △ AGF(\mathrm{SAS}),$
$\therefore EF=FG,$
$\therefore EF=FG=DG+FD=BE+FD.$
[结论运用]如图(2)，连接$EF$，延长$AE$，$BF$交于点$C$.
$\because ∠ AOB = 30°+90°+(90°-70°)=140°,$
$∠ EOF=70°,\therefore ∠ EOF=\frac{1}{2}∠ AOB.$
$\because OA=OB,∠ OAC+∠ OBC=(90°-30°)+(70°+50°)=180°,$
$\therefore \mathrm{符合}[探索延伸]中的条件，$
$\therefore \mathrm{结论}EF=AE+BF\mathrm{成立，}$
$\mathrm{即}EF=1.5×(60+80)=210(\mathrm{海里}).$
$\mathrm{故此时两舰艇之间的距离是210海里}.$
点拨 本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，注意要正确作出辅助线.
答案：解：
[初步探索]
$EF=BE+FD$
[探索延伸]
结论仍然成立，理由如下：
延长$FD$到点$G$，使$DG=BE$，连接$AG$。
$\because ∠ B + ∠ ADC = 180°$，$∠ ADG + ∠ ADC = 180°$，
$\therefore ∠ B = ∠ ADG$。
在$△ ABE$和$△ ADG$中，
$\begin{cases}BE = DG \\∠ B = ∠ ADG \\AB = AD\end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ ADG (\mathrm{SAS})$，
$\therefore AE = AG$，$∠ BAE = ∠ DAG$。
$\because ∠ EAF = \frac{1}{2}∠ BAD$，
$\therefore ∠ GAF = ∠ DAG + ∠ DAF = ∠ BAE + ∠ DAF = ∠ BAD - ∠ EAF = ∠ EAF$，
$\therefore ∠ EAF = ∠ GAF$。
在$△ AEF$和$△ AGF$中，
$\begin{cases}AE = AG \\∠ EAF = ∠ GAF \\AF = AF\end{cases}$
$\therefore △ AEF ≌ △ AGF (\mathrm{SAS})$，
$\therefore EF = FG$，
$\therefore EF = FG = DG + FD = BE + FD$。
[结论运用]
连接$EF$，延长$AE$，$BF$交于点$C$。
$\because ∠ AOB = 30° + 90° + (90° - 70°) = 140°$，$∠ EOF = 70°$，
$\therefore ∠ EOF = \frac{1}{2}∠ AOB$。
又$\because OA = OB$，
$∠ OAC + ∠ OBC = (90° - 30°) + (70° + 50°) = 180°$，
符合探索延伸中的条件，因此结论$EF = AE + BF$成立。
由题意得$AE = 60 × 1.5 = 90$海里，$BF = 80 × 1.5 = 120$海里，
$\therefore EF = AE + BF = 90 + 120 = 210$（海里）。
答：此时两舰艇之间的距离是210海里。
[初步探索]
$EF=BE+FD$
[探索延伸]
结论仍然成立，理由如下：
延长$FD$到点$G$，使$DG=BE$，连接$AG$。
$\because ∠ B + ∠ ADC = 180°$，$∠ ADG + ∠ ADC = 180°$，
$\therefore ∠ B = ∠ ADG$。
在$△ ABE$和$△ ADG$中，
$\begin{cases}BE = DG \\∠ B = ∠ ADG \\AB = AD\end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ ADG (\mathrm{SAS})$，
$\therefore AE = AG$，$∠ BAE = ∠ DAG$。
$\because ∠ EAF = \frac{1}{2}∠ BAD$，
$\therefore ∠ GAF = ∠ DAG + ∠ DAF = ∠ BAE + ∠ DAF = ∠ BAD - ∠ EAF = ∠ EAF$，
$\therefore ∠ EAF = ∠ GAF$。
在$△ AEF$和$△ AGF$中，
$\begin{cases}AE = AG \\∠ EAF = ∠ GAF \\AF = AF\end{cases}$
$\therefore △ AEF ≌ △ AGF (\mathrm{SAS})$，
$\therefore EF = FG$，
$\therefore EF = FG = DG + FD = BE + FD$。
[结论运用]
连接$EF$，延长$AE$，$BF$交于点$C$。
$\because ∠ AOB = 30° + 90° + (90° - 70°) = 140°$，$∠ EOF = 70°$，
$\therefore ∠ EOF = \frac{1}{2}∠ AOB$。
又$\because OA = OB$，
$∠ OAC + ∠ OBC = (90° - 30°) + (70° + 50°) = 180°$，
符合探索延伸中的条件，因此结论$EF = AE + BF$成立。
由题意得$AE = 60 × 1.5 = 90$海里，$BF = 80 × 1.5 = 120$海里，
$\therefore EF = AE + BF = 90 + 120 = 210$（海里）。
答：此时两舰艇之间的距离是210海里。
解析：
【分析】
本题属于半角模型的探究与应用类问题，解题思路如下：1. 初步探索：证明线段和差关系优先考虑截长补短法，结合已知$AB=AD$，采用补短法延长$FD$至$G$使$DG=BE$，先构造$△ ABE ≌ △ ADG$将$BE$转化为$DG$，再证明$△ AEF ≌ △ AGF$将$EF$转化为$FG$，即可得到三条线段的数量关系；2. 探索延伸：将特殊直角条件推广为$∠ B+∠ D=180°$的一般条件，沿用相同的辅助线构造方法，先证边角相等得到第一组全等，再利用$∠ EAF=\frac{1}{2}∠ BAD$推导角相等得到第二组全等，验证结论；3. 结论运用：先根据方位角计算相关角度，验证实际问题符合探索延伸的模型条件，直接套用结论即可计算$EF$长度。
【解析】
[初步探索]
通过构造辅助线两次证明全等，可得线段关系为$EF=BE+FD$。
[探索延伸]
结论仍然成立，理由如下：
延长$FD$到点$G$，使$DG=BE$，连接$AG$。
$\because ∠B + ∠ADC = 180°$，$∠ADG + ∠ADC = 180°$，
$\therefore ∠B = ∠ADG$。
在$△ABE$和$△ADG$中，
$\begin{cases}BE = DG \\∠B = ∠ADG \\AB = AD\end{cases}$
$\therefore △ABE ≌ △ADG (\mathrm{SAS})$，
$\therefore AE = AG$，$∠BAE = ∠DAG$。
$\because ∠EAF = \frac{1}{2}∠BAD$，
$\therefore ∠GAF = ∠DAG + ∠DAF = ∠BAE + ∠DAF = ∠BAD - ∠EAF = ∠EAF$，
$\therefore ∠EAF = ∠GAF$。
在$△AEF$和$△AGF$中，
$\begin{cases}AE = AG \\∠EAF = ∠GAF \\AF = AF\end{cases}$
$\therefore △AEF ≌ △AGF (\mathrm{SAS})$，
$\therefore EF = FG$，
$\therefore EF = FG = DG + FD = BE + FD$。
[结论运用]
连接$EF$，延长$AE$，$BF$交于点$C$。
$\because ∠AOB = 30° + 90° + (90° - 70°) = 140°$，$∠EOF = 70°$，
$\therefore ∠EOF = \frac{1}{2}∠AOB$。
又$\because OA = OB$，
$∠OAC + ∠OBC = (90° - 30°) + (70° + 50°) = 180°$，
符合探索延伸中的条件，因此结论$EF = AE + BF$成立。
由题意得$AE = 60 × 1.5 = 90$海里，$BF = 80 × 1.5 = 120$海里，
$\therefore EF = AE + BF = 90 + 120 = 210$（海里）。
【答案】
[初步探索]$\boldsymbol{EF=BE+FD}$；[探索延伸]结论仍然成立；[结论运用]$\boldsymbol{210}$海里
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 截长补短辅助线构造
3. 方位角实际应用
【点评】
本题以半角模型为核心，遵循从特殊到一般、从理论探究到实际应用的逻辑设置问题，既考查了全等三角形相关定理的运用，也考查了模型迁移能力和实际问题转化能力，构造全等三角形的辅助线作法是解题的突破口。
【难度系数】
0.6
本题属于半角模型的探究与应用类问题，解题思路如下：1. 初步探索：证明线段和差关系优先考虑截长补短法，结合已知$AB=AD$，采用补短法延长$FD$至$G$使$DG=BE$，先构造$△ ABE ≌ △ ADG$将$BE$转化为$DG$，再证明$△ AEF ≌ △ AGF$将$EF$转化为$FG$，即可得到三条线段的数量关系；2. 探索延伸：将特殊直角条件推广为$∠ B+∠ D=180°$的一般条件，沿用相同的辅助线构造方法，先证边角相等得到第一组全等，再利用$∠ EAF=\frac{1}{2}∠ BAD$推导角相等得到第二组全等，验证结论；3. 结论运用：先根据方位角计算相关角度，验证实际问题符合探索延伸的模型条件，直接套用结论即可计算$EF$长度。
【解析】
[初步探索]
通过构造辅助线两次证明全等，可得线段关系为$EF=BE+FD$。
[探索延伸]
结论仍然成立，理由如下：
延长$FD$到点$G$，使$DG=BE$，连接$AG$。
$\because ∠B + ∠ADC = 180°$，$∠ADG + ∠ADC = 180°$，
$\therefore ∠B = ∠ADG$。
在$△ABE$和$△ADG$中，
$\begin{cases}BE = DG \\∠B = ∠ADG \\AB = AD\end{cases}$
$\therefore △ABE ≌ △ADG (\mathrm{SAS})$，
$\therefore AE = AG$，$∠BAE = ∠DAG$。
$\because ∠EAF = \frac{1}{2}∠BAD$，
$\therefore ∠GAF = ∠DAG + ∠DAF = ∠BAE + ∠DAF = ∠BAD - ∠EAF = ∠EAF$，
$\therefore ∠EAF = ∠GAF$。
在$△AEF$和$△AGF$中，
$\begin{cases}AE = AG \\∠EAF = ∠GAF \\AF = AF\end{cases}$
$\therefore △AEF ≌ △AGF (\mathrm{SAS})$，
$\therefore EF = FG$，
$\therefore EF = FG = DG + FD = BE + FD$。
[结论运用]
连接$EF$，延长$AE$，$BF$交于点$C$。
$\because ∠AOB = 30° + 90° + (90° - 70°) = 140°$，$∠EOF = 70°$，
$\therefore ∠EOF = \frac{1}{2}∠AOB$。
又$\because OA = OB$，
$∠OAC + ∠OBC = (90° - 30°) + (70° + 50°) = 180°$，
符合探索延伸中的条件，因此结论$EF = AE + BF$成立。
由题意得$AE = 60 × 1.5 = 90$海里，$BF = 80 × 1.5 = 120$海里，
$\therefore EF = AE + BF = 90 + 120 = 210$（海里）。
【答案】
[初步探索]$\boldsymbol{EF=BE+FD}$；[探索延伸]结论仍然成立；[结论运用]$\boldsymbol{210}$海里
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 截长补短辅助线构造
3. 方位角实际应用
【点评】
本题以半角模型为核心，遵循从特殊到一般、从理论探究到实际应用的逻辑设置问题，既考查了全等三角形相关定理的运用，也考查了模型迁移能力和实际问题转化能力，构造全等三角形的辅助线作法是解题的突破口。
【难度系数】
0.6