2. 如图,在四边形ABCD中,AD=BC=4,AB=CD,BD=6,点E从点D出发,以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动,点F从点C出发,以每秒3个单位的速度沿C→B→C做匀速移动,点G从点B出发沿BD向点D匀速移动,三个点同时出发,当有一个点到达终点时,其余两点也随之停止运动.
(1)证明:AD//BC;
(2)在移动过程中,小明发现当点G的运动速度取某个值时,有△DEG与△BFG全等的情况出现,请你探究当点G的运动速度取哪些值时,会出现△DEG与△BFG全等的情况.
备用图
(1)证明:AD//BC;
(2)在移动过程中,小明发现当点G的运动速度取某个值时,有△DEG与△BFG全等的情况出现,请你探究当点G的运动速度取哪些值时,会出现△DEG与△BFG全等的情况.
备用图
答案：(1)在△ABD和△CDB中，$\begin{cases} AD=CB, \\ AB=CD, \\ BD=DB, \end{cases}$
∴△ABD≌△CDB(SSS)，
∴∠ADB=∠CBD，
∴AD//BC。
(2)设运动时间为t，点G的运动速度为v。
①当$0＜t≤\frac{4}{3}$时，
若△DEG≌△BFG，则$\begin{cases} DE=BF, \\ DG=BG, \end{cases}$
∴$\begin{cases} t=4−3t, \\ 6−BG=BG, \end{cases}$
∴$\begin{cases} t=1, \\ BG=3, \end{cases}$
∴v=3；
若△DEG≌△BGF，则$\begin{cases} DE=BG, \\ DG=BF, \end{cases}$
∴$\begin{cases} t=BG, \\ 6−BG=4−3t, \end{cases}$
∴$\begin{cases} t=−1, \\ BG=−1, \end{cases}$(舍去)
②当$\frac{4}{3}＜t≤\frac{8}{3}$时，
若△DEG≌△BFG，则$\begin{cases} DE=BF, \\ DG=BG, \end{cases}$
∴$\begin{cases} t=3t−4, \\ 6−BG=BG, \end{cases}$
∴$\begin{cases} t=2, \\ BG=3, \end{cases}$
∴$v=\frac{3}{2}$；
若△DEG≌△BGF，则$\begin{cases} DE=BG, \\ DG=BF, \end{cases}$
∴$\begin{cases} t=BG, \\ 6−BG=3t−4, \end{cases}$
∴$\begin{cases} t=\frac{5}{2}, \\ BG=\frac{5}{2}, \end{cases}$
∴v=1。
综上所述，当点G的速度为每秒3个单位或每秒1.5个单位或每秒1个单位时，会出现△DEG与△BFG全等的情况。
∴△ABD≌△CDB(SSS)，
∴∠ADB=∠CBD，
∴AD//BC。
(2)设运动时间为t，点G的运动速度为v。
①当$0＜t≤\frac{4}{3}$时，
若△DEG≌△BFG，则$\begin{cases} DE=BF, \\ DG=BG, \end{cases}$
∴$\begin{cases} t=4−3t, \\ 6−BG=BG, \end{cases}$
∴$\begin{cases} t=1, \\ BG=3, \end{cases}$
∴v=3；
若△DEG≌△BGF，则$\begin{cases} DE=BG, \\ DG=BF, \end{cases}$
∴$\begin{cases} t=BG, \\ 6−BG=4−3t, \end{cases}$
∴$\begin{cases} t=−1, \\ BG=−1, \end{cases}$(舍去)
②当$\frac{4}{3}＜t≤\frac{8}{3}$时，
若△DEG≌△BFG，则$\begin{cases} DE=BF, \\ DG=BG, \end{cases}$
∴$\begin{cases} t=3t−4, \\ 6−BG=BG, \end{cases}$
∴$\begin{cases} t=2, \\ BG=3, \end{cases}$
∴$v=\frac{3}{2}$；
若△DEG≌△BGF，则$\begin{cases} DE=BG, \\ DG=BF, \end{cases}$
∴$\begin{cases} t=BG, \\ 6−BG=3t−4, \end{cases}$
∴$\begin{cases} t=\frac{5}{2}, \\ BG=\frac{5}{2}, \end{cases}$
∴v=1。
综上所述，当点G的速度为每秒3个单位或每秒1.5个单位或每秒1个单位时，会出现△DEG与△BFG全等的情况。
解析：
【分析】
(1) 要证明AD//BC，可通过证明内错角∠ADB=∠CBD实现，题目已知AD=BC、AB=CD，加上公共边BD=DB，可利用SSS证明△ABD≌△CDB，进而得到角相等推出平行。
(2) 本题为动点全等问题，首先确定点F的运动阶段：点F从C到B的时间为$4÷3=\frac{4}{3}$秒，往返总时间为$\frac{8}{3}$秒，因此分$0＜t≤\frac{4}{3}$（F向B运动）、$\frac{4}{3}＜t≤\frac{8}{3}$（F向C返回）两个时间段讨论。由于∠ADB=∠CBD，△DEG与△BFG全等时存在两组不同的对应边关系，分别列方程求解运动时间t和BG的长度，再根据速度公式计算G的速度，舍去不符合实际的解即可。
【解析】
(1) 证明：在△ABD和△CDB中，
$\begin{cases} AD=CB, \\ AB=CD, \\ BD=DB, \end{cases}$
∴△ABD≌△CDB(SSS)，
∴∠ADB=∠CBD，
∴AD//BC。
(2) 解：设运动时间为t秒，点G的运动速度为v单位/秒。
① 当$0＜t≤\frac{4}{3}$时，点F从C向B运动，BF=4-3t，DE=t。
若△DEG≌△BFG，则$\begin{cases} DE=BF, \\ DG=BG, \end{cases}$
代入得$\begin{cases} t=4-3t, \\ 6-BG=BG, \end{cases}$
解得$\begin{cases} t=1, \\ BG=3, \end{cases}$
∴$v=\frac{3}{1}=3$；
若△DEG≌△BGF，则$\begin{cases} DE=BG, \\ DG=BF, \end{cases}$
代入得$\begin{cases} t=BG, \\ 6-BG=4-3t, \end{cases}$
解得$\begin{cases} t=-1, \\ BG=-1, \end{cases}$不符合实际，舍去。
② 当$\frac{4}{3}＜t≤\frac{8}{3}$时，点F从B向C返回，BF=3t-4，DE=t。
若△DEG≌△BFG，则$\begin{cases} DE=BF, \\ DG=BG, \end{cases}$
代入得$\begin{cases} t=3t-4, \\ 6-BG=BG, \end{cases}$
解得$\begin{cases} t=2, \\ BG=3, \end{cases}$
∴$v=\frac{3}{2}=1.5$；
若△DEG≌△BGF，则$\begin{cases} DE=BG, \\ DG=BF, \end{cases}$
代入得$\begin{cases} t=BG, \\ 6-BG=3t-4, \end{cases}$
解得$\begin{cases} t=\frac{5}{2}, \\ BG=\frac{5}{2}, \end{cases}$
∴$v=\frac{\frac{5}{2}}{\frac{5}{2}}=1$。
【答案】
(1) AD//BC，证明成立；
(2) 点G的运动速度为每秒3个单位、每秒1.5个单位、每秒1个单位。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；平行线的判定；动点分类讨论
【点评】
本题第一问属于基础几何证明，第二问需要结合动点的运动轨迹分情况讨论，同时要注意全等三角形对应边的不确定性，解题时需要验证解的合理性，避免漏解或出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明AD//BC，可通过证明内错角∠ADB=∠CBD实现，题目已知AD=BC、AB=CD，加上公共边BD=DB，可利用SSS证明△ABD≌△CDB，进而得到角相等推出平行。
(2) 本题为动点全等问题，首先确定点F的运动阶段：点F从C到B的时间为$4÷3=\frac{4}{3}$秒，往返总时间为$\frac{8}{3}$秒，因此分$0＜t≤\frac{4}{3}$（F向B运动）、$\frac{4}{3}＜t≤\frac{8}{3}$（F向C返回）两个时间段讨论。由于∠ADB=∠CBD，△DEG与△BFG全等时存在两组不同的对应边关系，分别列方程求解运动时间t和BG的长度，再根据速度公式计算G的速度，舍去不符合实际的解即可。
【解析】
(1) 证明：在△ABD和△CDB中，
$\begin{cases} AD=CB, \\ AB=CD, \\ BD=DB, \end{cases}$
∴△ABD≌△CDB(SSS)，
∴∠ADB=∠CBD，
∴AD//BC。
(2) 解：设运动时间为t秒，点G的运动速度为v单位/秒。
① 当$0＜t≤\frac{4}{3}$时，点F从C向B运动，BF=4-3t，DE=t。
若△DEG≌△BFG，则$\begin{cases} DE=BF, \\ DG=BG, \end{cases}$
代入得$\begin{cases} t=4-3t, \\ 6-BG=BG, \end{cases}$
解得$\begin{cases} t=1, \\ BG=3, \end{cases}$
∴$v=\frac{3}{1}=3$；
若△DEG≌△BGF，则$\begin{cases} DE=BG, \\ DG=BF, \end{cases}$
代入得$\begin{cases} t=BG, \\ 6-BG=4-3t, \end{cases}$
解得$\begin{cases} t=-1, \\ BG=-1, \end{cases}$不符合实际，舍去。
② 当$\frac{4}{3}＜t≤\frac{8}{3}$时，点F从B向C返回，BF=3t-4，DE=t。
若△DEG≌△BFG，则$\begin{cases} DE=BF, \\ DG=BG, \end{cases}$
代入得$\begin{cases} t=3t-4, \\ 6-BG=BG, \end{cases}$
解得$\begin{cases} t=2, \\ BG=3, \end{cases}$
∴$v=\frac{3}{2}=1.5$；
若△DEG≌△BGF，则$\begin{cases} DE=BG, \\ DG=BF, \end{cases}$
代入得$\begin{cases} t=BG, \\ 6-BG=3t-4, \end{cases}$
解得$\begin{cases} t=\frac{5}{2}, \\ BG=\frac{5}{2}, \end{cases}$
∴$v=\frac{\frac{5}{2}}{\frac{5}{2}}=1$。
【答案】
(1) AD//BC，证明成立；
(2) 点G的运动速度为每秒3个单位、每秒1.5个单位、每秒1个单位。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；平行线的判定；动点分类讨论
【点评】
本题第一问属于基础几何证明，第二问需要结合动点的运动轨迹分情况讨论，同时要注意全等三角形对应边的不确定性，解题时需要验证解的合理性，避免漏解或出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.6