23.（8分）新趋势 推导探究 如图，在平面直角坐标系中有$A(a,0),D(6,4)$两点，将线段$AD$平移得到线段$BC$，使点$B$的坐标为$(0,b)$，且$a,b$满足$|a-2|+\sqrt{b+6}=0$，延长$BC$交$x$轴于点$E$.
（1）点$A$的坐标为
（2）求点$C$和点$E$的坐标；
（3）设$P$是$x$轴上的一动点（不与$A,E$两点重合），且$PA＞AE$，探究$∠ APC$与$∠ PCB$之间的数量关系.
（1）点$A$的坐标为
(2,0)
，点$B$的坐标为(0,-6)
，$∠ DAE=$45
$°$；（2）求点$C$和点$E$的坐标；
（3）设$P$是$x$轴上的一动点（不与$A,E$两点重合），且$PA＞AE$，探究$∠ APC$与$∠ PCB$之间的数量关系.
答案：
23. (1) $(2,0)$ $(0,-6)$ $45$
(2) 由(1),得$A(2,0)$,$B(0,-6)$,$∠DAE=45°$,则$OB=6$.所以线段$AD$先向左平移2个单位长度,再向下平移6个单位长度得到线段$BC$.又$D(6,4)$,所以$C(4,-2)$.由平移的性质,得$AD/\!/BC$,所以$∠BEO=∠DAE=45°$.所以$∠OBE=90°-∠BEO=45°$,即$∠BEO=∠OBE$.所以$OE=OB=6$.又点$E$在$x$轴的正半轴上,所以$E(6,0)$.
(3) 由(2),得$∠BEO=45°$.因为$PA＞AE$,所以分类讨论如下:① 如图①,当点$P$在点$A$的左侧时,连接$PC$.因为$∠PCB=∠APC+∠BEO$,所以$∠PCB-∠APC=45°$;② 如图②,当点$P$在点$E$的右侧时,连接$CP$.因为$∠BEO+∠PEC=180°$,所以$∠PEC=180°-∠BEO=135°$.又$∠PCB=∠PEC+∠APC$,所以$∠PCB-∠APC=135°$.综上,$∠APC$与$∠PCB$之间的数量关系是$∠PCB-∠APC=45°$或$∠PCB-∠APC=135°$.
23. (1) $(2,0)$ $(0,-6)$ $45$
(2) 由(1),得$A(2,0)$,$B(0,-6)$,$∠DAE=45°$,则$OB=6$.所以线段$AD$先向左平移2个单位长度,再向下平移6个单位长度得到线段$BC$.又$D(6,4)$,所以$C(4,-2)$.由平移的性质,得$AD/\!/BC$,所以$∠BEO=∠DAE=45°$.所以$∠OBE=90°-∠BEO=45°$,即$∠BEO=∠OBE$.所以$OE=OB=6$.又点$E$在$x$轴的正半轴上,所以$E(6,0)$.
(3) 由(2),得$∠BEO=45°$.因为$PA＞AE$,所以分类讨论如下:① 如图①,当点$P$在点$A$的左侧时,连接$PC$.因为$∠PCB=∠APC+∠BEO$,所以$∠PCB-∠APC=45°$;② 如图②,当点$P$在点$E$的右侧时,连接$CP$.因为$∠BEO+∠PEC=180°$,所以$∠PEC=180°-∠BEO=135°$.又$∠PCB=∠PEC+∠APC$,所以$∠PCB-∠APC=135°$.综上,$∠APC$与$∠PCB$之间的数量关系是$∠PCB-∠APC=45°$或$∠PCB-∠APC=135°$.
解析：
【分析】
解题思路分三步：
1. 第(1)问：利用绝对值和算术平方根的非负性，两个非负数相加和为0时各自为0，可求出a、b的值，得到A、B坐标；再对比A、D的横纵坐标差，可判断∠DAE的度数。
2. 第(2)问：根据点A平移到点B的坐标变化，确定平移规则，将D点按该规则平移得到C点坐标；由平移性质得AD//BC，结合平行线性质和等腰直角三角形的特点，可求出E点坐标。
3. 第(3)问：根据PA＞AE的条件，确定P点的两种位置：x轴上A点左侧、E点右侧，分别结合三角形外角的性质推导两个角的数量关系，注意分类讨论不要漏情况。
【解析】
(1) 因为$\vert a-2\vert≥0$，$\sqrt{b+6}≥0$，且$\vert a-2\vert+\sqrt{b+6}=0$，所以$a-2=0$，$b+6=0$，解得$a=2$，$b=-6$，即$A(2,0)$，$B(0,-6)$。已知$D(6,4)$，AD的水平距离为$6-2=4$，垂直距离为$4-0=4$，所以$△ DAE$为等腰直角三角形，$∠ DAE=45°$。
(2) 点$A(2,0)$平移到$B(0,-6)$，平移方式为：向左平移2个单位长度，向下平移6个单位长度。将$D(6,4)$按该方式平移，得$C$点坐标为$(6-2,4-6)$，即$C(4,-2)$。由平移性质得$AD// BC$，所以$∠ BEO=∠ DAE=45°$。在$\mathrm{Rt}△ BOE$中，$∠ OBE=90°-45°=45°=∠ BEO$，所以$OE=OB=6$，又E在x轴正半轴，故$E(6,0)$。
(3) 由(2)得$∠ BEO=45°$，$PA＞AE$，分两种情况讨论：
① 当P在A点左侧时，$∠ PCB$是$△ PCE$的外角，根据三角形外角性质得$∠ PCB=∠ APC+∠ BEO$，代入得$∠ PCB-∠ APC=45°$；
② 当P在E点右侧时，$∠ PEC=180°-∠ BEO=135°$，$∠ PCB$是$△ PCE$的外角，得$∠ PCB=∠ APC+∠ PEC$，代入得$∠ PCB-∠ APC=135°$。
【答案】
(1) $(2,0)$；$(0,-6)$；$45$
(2) $C(4,-2)$，$E(6,0)$
(3) $∠ PCB - ∠ APC=45°$或$∠ PCB - ∠ APC=135°$
【知识点】
非负数的性质；平移的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题综合考查代数与几何知识的结合应用，解题的关键是熟练掌握非负性、平移坐标变化规律、平行线性质及三角形外角性质，第三问的动点分类讨论是易错点，容易漏解导致失分。
【难度系数】
0.6
解题思路分三步：
1. 第(1)问：利用绝对值和算术平方根的非负性，两个非负数相加和为0时各自为0，可求出a、b的值，得到A、B坐标；再对比A、D的横纵坐标差，可判断∠DAE的度数。
2. 第(2)问：根据点A平移到点B的坐标变化，确定平移规则，将D点按该规则平移得到C点坐标；由平移性质得AD//BC，结合平行线性质和等腰直角三角形的特点，可求出E点坐标。
3. 第(3)问：根据PA＞AE的条件，确定P点的两种位置：x轴上A点左侧、E点右侧，分别结合三角形外角的性质推导两个角的数量关系，注意分类讨论不要漏情况。
【解析】
(1) 因为$\vert a-2\vert≥0$，$\sqrt{b+6}≥0$，且$\vert a-2\vert+\sqrt{b+6}=0$，所以$a-2=0$，$b+6=0$，解得$a=2$，$b=-6$，即$A(2,0)$，$B(0,-6)$。已知$D(6,4)$，AD的水平距离为$6-2=4$，垂直距离为$4-0=4$，所以$△ DAE$为等腰直角三角形，$∠ DAE=45°$。
(2) 点$A(2,0)$平移到$B(0,-6)$，平移方式为：向左平移2个单位长度，向下平移6个单位长度。将$D(6,4)$按该方式平移，得$C$点坐标为$(6-2,4-6)$，即$C(4,-2)$。由平移性质得$AD// BC$，所以$∠ BEO=∠ DAE=45°$。在$\mathrm{Rt}△ BOE$中，$∠ OBE=90°-45°=45°=∠ BEO$，所以$OE=OB=6$，又E在x轴正半轴，故$E(6,0)$。
(3) 由(2)得$∠ BEO=45°$，$PA＞AE$，分两种情况讨论：
① 当P在A点左侧时，$∠ PCB$是$△ PCE$的外角，根据三角形外角性质得$∠ PCB=∠ APC+∠ BEO$，代入得$∠ PCB-∠ APC=45°$；
② 当P在E点右侧时，$∠ PEC=180°-∠ BEO=135°$，$∠ PCB$是$△ PCE$的外角，得$∠ PCB=∠ APC+∠ PEC$，代入得$∠ PCB-∠ APC=135°$。
【答案】
(1) $(2,0)$；$(0,-6)$；$45$
(2) $C(4,-2)$，$E(6,0)$
(3) $∠ PCB - ∠ APC=45°$或$∠ PCB - ∠ APC=135°$
【知识点】
非负数的性质；平移的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题综合考查代数与几何知识的结合应用，解题的关键是熟练掌握非负性、平移坐标变化规律、平行线性质及三角形外角性质，第三问的动点分类讨论是易错点，容易漏解导致失分。
【难度系数】
0.6
24. (10分)在同一平面内,若一个点到一条直线的距离不大于1,则称这个点是该直线的“伴侣点”.在平面直角坐标系中有一点$M(1,0)$,过点$M$作直线$l$平行于$y$轴,$A(-1,a)$,$B(b,2a)$,$C(-\dfrac{1}{2},a-1)$,将$△ ABC$进行平移,平移后点$A$的对应点为点$D$,点$B$的对应点为点$E$,点$C$的对应点为点$F$.
(1) 试判断:点$A$是否是直线$l$的“伴侣点”?请说明理由;
(2) 若点$F$刚好落在直线$l$上,点$F$的纵坐标为$a+b$,点$E$落在$x$轴上,且$△ MFD$的面积为$\dfrac{1}{12}$.试判断:点$B$是否是直线$l$的“伴侣点”?请说明理由.
(1) 试判断:点$A$是否是直线$l$的“伴侣点”?请说明理由;
(2) 若点$F$刚好落在直线$l$上,点$F$的纵坐标为$a+b$,点$E$落在$x$轴上,且$△ MFD$的面积为$\dfrac{1}{12}$.试判断:点$B$是否是直线$l$的“伴侣点”?请说明理由.
答案：24. (1) 点$A$不是直线$l$的“伴侣点”.理由如下:因为$A(-1,a)$,直线$l$平行于$y$轴,且过点$M(1,0)$,所以点$A$到直线$l$的距离为2.又$2＞1$,所以点$A$不是直线$l$的“伴侣点”.
(2) 点$B$是直线$l$的“伴侣点”.理由如下:因为点$C(-\dfrac{1}{2},a-1)$的对应点为点$F$,且点$F$在直线$l$上,点$F$的纵坐标为$a+b$,所以$F(1,a+b)$.所以$△ABC$先向右平移$\dfrac{3}{2}$个单位长度,再向上平移$(b+1)$个单位长度.所以$D(\dfrac{1}{2},a+b+1)$,$E(b+\dfrac{3}{2},2a+b+1)$.又点$E$在$x$轴上,所以$2a+b+1=0$,即$b=-2a-1$,$a+b=-a-1$.又$△MFD$的面积为$\dfrac{1}{12}$,所以$\dfrac{1}{2}×(1-\dfrac{1}{2})·|a+b|=\dfrac{1}{12}$,即$|a+b|=\dfrac{1}{3}$.所以$|a+1|=|-a-1|=|a+b|=\dfrac{1}{3}$,$|b-1|=|-2a-2|=2|a+1|$.所以$|b-1|=2×\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$.又点$B$到直线$l$的距离为$|b-1|$,且$\dfrac{2}{3}＜1$,所以点$B$是直线$l$的“伴侣点”.
(2) 点$B$是直线$l$的“伴侣点”.理由如下:因为点$C(-\dfrac{1}{2},a-1)$的对应点为点$F$,且点$F$在直线$l$上,点$F$的纵坐标为$a+b$,所以$F(1,a+b)$.所以$△ABC$先向右平移$\dfrac{3}{2}$个单位长度,再向上平移$(b+1)$个单位长度.所以$D(\dfrac{1}{2},a+b+1)$,$E(b+\dfrac{3}{2},2a+b+1)$.又点$E$在$x$轴上,所以$2a+b+1=0$,即$b=-2a-1$,$a+b=-a-1$.又$△MFD$的面积为$\dfrac{1}{12}$,所以$\dfrac{1}{2}×(1-\dfrac{1}{2})·|a+b|=\dfrac{1}{12}$,即$|a+b|=\dfrac{1}{3}$.所以$|a+1|=|-a-1|=|a+b|=\dfrac{1}{3}$,$|b-1|=|-2a-2|=2|a+1|$.所以$|b-1|=2×\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$.又点$B$到直线$l$的距离为$|b-1|$,且$\dfrac{2}{3}＜1$,所以点$B$是直线$l$的“伴侣点”.
解析：
【分析】
(1) 解题第一步先明确“伴侣点”的判断规则：点到直线的距离不大于1即为该直线的伴侣点。首先确定直线l的表达式：过M(1,0)且平行于y轴的直线为x=1，点到平行于y轴的直线的距离为两点横坐标差的绝对值，据此计算点A到l的距离，再与1比较即可判断。
(2) 第二问核心是利用平移性质：平移前后对应点的坐标变化量完全相同。先根据点C平移到F的坐标变化，求出横、纵坐标的平移偏移量，再据此写出平移后D、E的坐标；结合E落在x轴上（纵坐标为0）得到a与b的等量关系，再利用三角形面积公式列方程求出a+b的绝对值，最后计算点B到直线l的距离，与1比较即可得出结论。
【解析】
(1) 点A不是直线l的“伴侣点”，理由如下：
∵ 直线l过点M(1,0)且平行于y轴，
∴ 直线l的表达式为$x=1$。
点$A(-1,a)$到直线l的距离为$|1-(-1)|=2$，
∵$2＞1$，不符合“伴侣点”的定义，
∴ 点A不是直线l的“伴侣点”。
(2) 点B是直线l的“伴侣点”，理由如下：
∵ 点F落在直线l上，且纵坐标为$a+b$，
∴ F点坐标为$(1,a+b)$。
已知$C(-\dfrac{1}{2},a-1)$平移后对应$F(1,a+b)$，则平移的横坐标偏移量为$1-(-\dfrac{1}{2})=\dfrac{3}{2}$，纵坐标偏移量为$(a+b)-(a-1)=b+1$，即$△ ABC$先向右平移$\dfrac{3}{2}$个单位，再向上平移$(b+1)$个单位。
根据平移规律可得：
D点坐标为$(-1+\dfrac{3}{2},a+b+1)$，即$D(\dfrac{1}{2},a+b+1)$；
E点坐标为$(b+\dfrac{3}{2},2a+b+1)$。
∵ 点E落在x轴上，
∴ E的纵坐标为0，即$2a+b+1=0$，整理得$b=-2a-1$，因此$a+b=-a-1$。
∵$M(1,0)$、$F(1,a+b)$都在直线l上，
∴ MF的长度为$|a+b|$，点D到直线l的距离为$|1-\dfrac{1}{2}|=\dfrac{1}{2}$。
由$△ MFD$的面积为$\dfrac{1}{12}$，列等式：$\dfrac{1}{2} × |a+b| × \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{12}$，解得$|a+b|=\dfrac{1}{3}$。
点B到直线l的距离为$|b-1|$，将$b=-2a-1$代入得：$|b-1|=|-2a-2|=2|a+1|$，
又
∵$|a+1|=|-a-1|=|a+b|=\dfrac{1}{3}$，
∴$|b-1|=2 × \dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}＜1$，符合“伴侣点”定义，因此点B是直线l的“伴侣点”。
【答案】
(1) 点A不是直线l的“伴侣点”，理由：点A到直线l的距离为2，大于1；
(2) 点B是直线l的“伴侣点”，理由：点B到直线l的距离为$\dfrac{2}{3}$，小于1。
【知识点】
新定义理解，坐标平移规律，坐标系面积计算
【点评】
本题以新定义“伴侣点”为背景，结合平移性质、平面直角坐标系中点的坐标特征及三角形面积计算考查知识综合运用能力，解题关键是准确理解新定义规则，熟练掌握平移坐标变化规律，根据点的位置特征建立等式求解。
【难度系数】
0.6
(1) 解题第一步先明确“伴侣点”的判断规则：点到直线的距离不大于1即为该直线的伴侣点。首先确定直线l的表达式：过M(1,0)且平行于y轴的直线为x=1，点到平行于y轴的直线的距离为两点横坐标差的绝对值，据此计算点A到l的距离，再与1比较即可判断。
(2) 第二问核心是利用平移性质：平移前后对应点的坐标变化量完全相同。先根据点C平移到F的坐标变化，求出横、纵坐标的平移偏移量，再据此写出平移后D、E的坐标；结合E落在x轴上（纵坐标为0）得到a与b的等量关系，再利用三角形面积公式列方程求出a+b的绝对值，最后计算点B到直线l的距离，与1比较即可得出结论。
【解析】
(1) 点A不是直线l的“伴侣点”，理由如下：
∵ 直线l过点M(1,0)且平行于y轴，
∴ 直线l的表达式为$x=1$。
点$A(-1,a)$到直线l的距离为$|1-(-1)|=2$，
∵$2＞1$，不符合“伴侣点”的定义，
∴ 点A不是直线l的“伴侣点”。
(2) 点B是直线l的“伴侣点”，理由如下：
∵ 点F落在直线l上，且纵坐标为$a+b$，
∴ F点坐标为$(1,a+b)$。
已知$C(-\dfrac{1}{2},a-1)$平移后对应$F(1,a+b)$，则平移的横坐标偏移量为$1-(-\dfrac{1}{2})=\dfrac{3}{2}$，纵坐标偏移量为$(a+b)-(a-1)=b+1$，即$△ ABC$先向右平移$\dfrac{3}{2}$个单位，再向上平移$(b+1)$个单位。
根据平移规律可得：
D点坐标为$(-1+\dfrac{3}{2},a+b+1)$，即$D(\dfrac{1}{2},a+b+1)$；
E点坐标为$(b+\dfrac{3}{2},2a+b+1)$。
∵ 点E落在x轴上，
∴ E的纵坐标为0，即$2a+b+1=0$，整理得$b=-2a-1$，因此$a+b=-a-1$。
∵$M(1,0)$、$F(1,a+b)$都在直线l上，
∴ MF的长度为$|a+b|$，点D到直线l的距离为$|1-\dfrac{1}{2}|=\dfrac{1}{2}$。
由$△ MFD$的面积为$\dfrac{1}{12}$，列等式：$\dfrac{1}{2} × |a+b| × \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{12}$，解得$|a+b|=\dfrac{1}{3}$。
点B到直线l的距离为$|b-1|$，将$b=-2a-1$代入得：$|b-1|=|-2a-2|=2|a+1|$，
又
∵$|a+1|=|-a-1|=|a+b|=\dfrac{1}{3}$，
∴$|b-1|=2 × \dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}＜1$，符合“伴侣点”定义，因此点B是直线l的“伴侣点”。
【答案】
(1) 点A不是直线l的“伴侣点”，理由：点A到直线l的距离为2，大于1；
(2) 点B是直线l的“伴侣点”，理由：点B到直线l的距离为$\dfrac{2}{3}$，小于1。
【知识点】
新定义理解，坐标平移规律，坐标系面积计算
【点评】
本题以新定义“伴侣点”为背景，结合平移性质、平面直角坐标系中点的坐标特征及三角形面积计算考查知识综合运用能力，解题关键是准确理解新定义规则，熟练掌握平移坐标变化规律，根据点的位置特征建立等式求解。
【难度系数】
0.6