25. (10分)在平面直角坐标系中,对于任意两点$P_1(x_1,y_1)$与$P_2(x_2,y_2)$的“近似距离”,给出下列定义:若$|x_1-x_2|≥|y_1-y_2|$,则点$P_1(x_1,y_1)$与点$P_2(x_2,y_2)$的“近似距离”为$|x_1-x_2|$;若$|x_1-x_2|＜|y_1-y_2|$,则点$P_1(x_1,y_1)$与点$P_2(x_2,y_2)$的“近似距离”为$|y_1-y_2|$.
(1) 已知点$P(-3,4)$和点$Q(1,1)$,则点$P$与点$Q$的“近似距离”为
(2) 已知$A(0,-2)$,$B$为$x$轴上的一动点.
① 若点$A$与点$B$的“近似距离”为$3$,则满足条件的点$B$的坐标为
② 点$A$与点$B$的“近似距离”的最小值为
(3) 已知点$C(2m+2,m)$和点$D(1,0)$,求点$C$与点$D$的“近似距离”的最小值及相应的点$C$的坐标.
(1) 已知点$P(-3,4)$和点$Q(1,1)$,则点$P$与点$Q$的“近似距离”为
4
;(2) 已知$A(0,-2)$,$B$为$x$轴上的一动点.
① 若点$A$与点$B$的“近似距离”为$3$,则满足条件的点$B$的坐标为
(3,0)或(-3,0)
,② 点$A$与点$B$的“近似距离”的最小值为
2
;(3) 已知点$C(2m+2,m)$和点$D(1,0)$,求点$C$与点$D$的“近似距离”的最小值及相应的点$C$的坐标.
答案：25. (1) 4
(2) ① $(3,0)$或$(-3,0)$ 解析:因为点$B$在$x$轴上,所以设$B(a,0)$.又$A(0,-2)$,点$A$与点$B$的“近似距离”为3,且$|0-(-2)|=2$,所以$|a-0|=3$,解得$a=±3$.所以点$B$的坐标为$(3,0)$或$(-3,0)$.
② 2 解析:由题意,设$B(b,0)$.又$A(0,-2)$,所以$|0-(-2)|=2$,$|b-0|=|b|$.若$|0-(-2)|≥|b-0|$,则点$A$与点$B$的“近似距离”为$|0-(-2)|=2$;若$|0-(-2)|＜|b-0|$,则点$A$与点$B$的“近似距离”为$|b-0|=|b|≥2$.所以点$A$与点$B$的“近似距离”的最小值为2.
(3) 因为$C(2m+2,m)$,$D(1,0)$,所以$|2m+2-1|=|2m+1|$,$|m-0|=|m|$.同(2),易得当$|2m+1|=|m|$时,点$C$与点$D$的“近似距离”取最小值.则$2m+1=m$或$2m+1=-m$,解得$m=-1$或$m=-\dfrac{1}{3}$.当$m=-1$时,点$C$的坐标为$(0,-1)$,点$C$与点$D$的“近似距离”的最小值为1;当$m=-\dfrac{1}{3}$时,点$C$的坐标为$(\dfrac{4}{3},-\dfrac{1}{3})$,点$C$与点$D$的“近似距离”的最小值为$\dfrac{1}{3}$.综上,点$C$与点$D$的“近似距离”的最小值为$\dfrac{1}{3}$,此时点$C$的坐标为$(\dfrac{4}{3},-\dfrac{1}{3})$.
(2) ① $(3,0)$或$(-3,0)$ 解析:因为点$B$在$x$轴上,所以设$B(a,0)$.又$A(0,-2)$,点$A$与点$B$的“近似距离”为3,且$|0-(-2)|=2$,所以$|a-0|=3$,解得$a=±3$.所以点$B$的坐标为$(3,0)$或$(-3,0)$.
② 2 解析:由题意,设$B(b,0)$.又$A(0,-2)$,所以$|0-(-2)|=2$,$|b-0|=|b|$.若$|0-(-2)|≥|b-0|$,则点$A$与点$B$的“近似距离”为$|0-(-2)|=2$;若$|0-(-2)|＜|b-0|$,则点$A$与点$B$的“近似距离”为$|b-0|=|b|≥2$.所以点$A$与点$B$的“近似距离”的最小值为2.
(3) 因为$C(2m+2,m)$,$D(1,0)$,所以$|2m+2-1|=|2m+1|$,$|m-0|=|m|$.同(2),易得当$|2m+1|=|m|$时,点$C$与点$D$的“近似距离”取最小值.则$2m+1=m$或$2m+1=-m$,解得$m=-1$或$m=-\dfrac{1}{3}$.当$m=-1$时,点$C$的坐标为$(0,-1)$,点$C$与点$D$的“近似距离”的最小值为1;当$m=-\dfrac{1}{3}$时,点$C$的坐标为$(\dfrac{4}{3},-\dfrac{1}{3})$,点$C$与点$D$的“近似距离”的最小值为$\dfrac{1}{3}$.综上,点$C$与点$D$的“近似距离”的最小值为$\dfrac{1}{3}$,此时点$C$的坐标为$(\dfrac{4}{3},-\dfrac{1}{3})$.
解析：
【分析】
解决本题的核心是准确理解“近似距离”的新定义：两点的近似距离取横坐标差的绝对值、纵坐标差的绝对值中较大的那个。解题思路如下：
(1) 先分别计算点P和Q横、纵坐标差的绝对值，比较大小后取较大值即为近似距离；
(2) ① 设x轴上点B的坐标为$(a,0)$，先算A、B纵坐标差的绝对值为2，已知近似距离为3＞2，因此近似距离等于横坐标差的绝对值，列绝对值方程求解即可得a的值；② 分两种情况讨论：当横坐标差的绝对值≤2时，近似距离为2；当横坐标差的绝对值＞2时，近似距离等于横坐标差的绝对值，大于2，因此最小值为2；
(3) 先分别表示出C、D横、纵坐标差的绝对值，要让近似距离最小，需让两个差的绝对值相等（若不等，近似距离为较大的那个，无法取到最小值），列绝对值方程求解m的值，再分别计算对应的近似距离，取最小值即可。
【解析】
(1) 计算点$P(-3,4)$和$Q(1,1)$的横、纵坐标差的绝对值：
$|x_1-x_2|=|-3-1|=4$，$|y_1-y_2|=|4-1|=3$，
$\because 4＞3$，$\therefore$ 两点的近似距离为4。
(2) 设点B的坐标为$(x,0)$，已知$A(0,-2)$：
① 计算纵坐标差的绝对值：$|0 - (-2)|=2$，
$\because$ 近似距离为$3＞2$，$\therefore$ 近似距离为横坐标差的绝对值，即$|x-0|=3$，
解得$x=3$或$x=-3$，即点B坐标为$(3,0)$或$(-3,0)$。
② 分两种情况讨论：
当$|x-0|≤2$时，近似距离为$|0 - (-2)|=2$；
当$|x-0|＞2$时，近似距离为$|x|＞2$，
因此点A与点B的近似距离的最小值为2。
(3) $\because C(2m+2,m)$，$D(1,0)$，
$\therefore$ 横坐标差的绝对值：$|(2m+2)-1|=|2m+1|$，
纵坐标差的绝对值：$|m - 0|=|m|$。
当近似距离取最小值时，$|2m+1|=|m|$，
则有$2m+1=m$或$2m+1=-m$，
解得$m=-1$或$m=-\dfrac{1}{3}$。
当$m=-1$时，$|2m+1|=|m|=1$，近似距离为1；
当$m=-\dfrac{1}{3}$时，$|2m+1|=|m|=\dfrac{1}{3}$，近似距离为$\dfrac{1}{3}$。
$\because \dfrac{1}{3}＜1$，$\therefore$ 近似距离的最小值为$\dfrac{1}{3}$，
此时$2m+2=2×(-\dfrac{1}{3})+2=\dfrac{4}{3}$，即C点坐标为$(\dfrac{4}{3},-\dfrac{1}{3})$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$
(2) ① $\boldsymbol{(3,0)}$或$\boldsymbol{(-3,0)}$；② $\boldsymbol{2}$
(3) 最小值为$\boldsymbol{\dfrac{1}{3}}$，相应的点C的坐标为$\boldsymbol{(\dfrac{4}{3},-\dfrac{1}{3})}$
【知识点】
1. 新定义运算
2. 绝对值方程求解
3. 平面直角坐标系点的坐标
【点评】
本题为新定义类题型，重点考查对新规则的阅读理解能力，结合绝对值的性质、分类讨论思想求解，解题的关键是紧扣“近似距离”的定义分析，避免混淆横纵坐标差的比较规则。
【难度系数】
0.6
解决本题的核心是准确理解“近似距离”的新定义：两点的近似距离取横坐标差的绝对值、纵坐标差的绝对值中较大的那个。解题思路如下：
(1) 先分别计算点P和Q横、纵坐标差的绝对值，比较大小后取较大值即为近似距离；
(2) ① 设x轴上点B的坐标为$(a,0)$，先算A、B纵坐标差的绝对值为2，已知近似距离为3＞2，因此近似距离等于横坐标差的绝对值，列绝对值方程求解即可得a的值；② 分两种情况讨论：当横坐标差的绝对值≤2时，近似距离为2；当横坐标差的绝对值＞2时，近似距离等于横坐标差的绝对值，大于2，因此最小值为2；
(3) 先分别表示出C、D横、纵坐标差的绝对值，要让近似距离最小，需让两个差的绝对值相等（若不等，近似距离为较大的那个，无法取到最小值），列绝对值方程求解m的值，再分别计算对应的近似距离，取最小值即可。
【解析】
(1) 计算点$P(-3,4)$和$Q(1,1)$的横、纵坐标差的绝对值：
$|x_1-x_2|=|-3-1|=4$，$|y_1-y_2|=|4-1|=3$，
$\because 4＞3$，$\therefore$ 两点的近似距离为4。
(2) 设点B的坐标为$(x,0)$，已知$A(0,-2)$：
① 计算纵坐标差的绝对值：$|0 - (-2)|=2$，
$\because$ 近似距离为$3＞2$，$\therefore$ 近似距离为横坐标差的绝对值，即$|x-0|=3$，
解得$x=3$或$x=-3$，即点B坐标为$(3,0)$或$(-3,0)$。
② 分两种情况讨论：
当$|x-0|≤2$时，近似距离为$|0 - (-2)|=2$；
当$|x-0|＞2$时，近似距离为$|x|＞2$，
因此点A与点B的近似距离的最小值为2。
(3) $\because C(2m+2,m)$，$D(1,0)$，
$\therefore$ 横坐标差的绝对值：$|(2m+2)-1|=|2m+1|$，
纵坐标差的绝对值：$|m - 0|=|m|$。
当近似距离取最小值时，$|2m+1|=|m|$，
则有$2m+1=m$或$2m+1=-m$，
解得$m=-1$或$m=-\dfrac{1}{3}$。
当$m=-1$时，$|2m+1|=|m|=1$，近似距离为1；
当$m=-\dfrac{1}{3}$时，$|2m+1|=|m|=\dfrac{1}{3}$，近似距离为$\dfrac{1}{3}$。
$\because \dfrac{1}{3}＜1$，$\therefore$ 近似距离的最小值为$\dfrac{1}{3}$，
此时$2m+2=2×(-\dfrac{1}{3})+2=\dfrac{4}{3}$，即C点坐标为$(\dfrac{4}{3},-\dfrac{1}{3})$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$
(2) ① $\boldsymbol{(3,0)}$或$\boldsymbol{(-3,0)}$；② $\boldsymbol{2}$
(3) 最小值为$\boldsymbol{\dfrac{1}{3}}$，相应的点C的坐标为$\boldsymbol{(\dfrac{4}{3},-\dfrac{1}{3})}$
【知识点】
1. 新定义运算
2. 绝对值方程求解
3. 平面直角坐标系点的坐标
【点评】
本题为新定义类题型，重点考查对新规则的阅读理解能力，结合绝对值的性质、分类讨论思想求解，解题的关键是紧扣“近似距离”的定义分析，避免混淆横纵坐标差的比较规则。
【难度系数】
0.6
26. (12分)新趋势 综合实践 如图,在平面直角坐标系中,把线段AB先向右平移$h(h＞0)$个单位长度,再向下平移1个单位长度得到线段CD(点A的对应点为点C),其中$A(a,b),B(m,n)$分别是第三象限与第二象限内的点.
(1)若$|a+3|+\sqrt{b+1}=0,h=2$,求点C的坐标;
(2)若$b=n-1$,连接AD,过点B作AD的垂线$l$.
① 判断直线$l$与$x$轴的位置关系,并说明理由;
② 已知E是直线$l$上一点,连接DE,且DE的长的最小值为1.若B,D两点以及点$(s,t)$都是关于$x,y$的二元一次方程$px+qy=k(pq≠0)$的解$(x,y)$为坐标的点,试判断$(s-m)+(t-n)$是正数、负数还是0?并说明理由.
(1)若$|a+3|+\sqrt{b+1}=0,h=2$,求点C的坐标;
(2)若$b=n-1$,连接AD,过点B作AD的垂线$l$.
① 判断直线$l$与$x$轴的位置关系,并说明理由;
② 已知E是直线$l$上一点,连接DE,且DE的长的最小值为1.若B,D两点以及点$(s,t)$都是关于$x,y$的二元一次方程$px+qy=k(pq≠0)$的解$(x,y)$为坐标的点,试判断$(s-m)+(t-n)$是正数、负数还是0?并说明理由.
答案：26. (1) 由题意,得$\begin{cases}a+3=0,\\b+1=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-3,\\b=-1.\end{cases}$所以点$A$的坐标为$(-3,-1)$.因为$h=2$,所以点$C$是由点$A$先向右平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度所得.所以点$C$的坐标为$(-1,-2)$.
(2) ① 直线$l⊥x$轴.理由如下:因为$b=n-1$,所以点$A$的坐标为$(a,n-1)$.由题意,得点$D$的坐标为$(m+h,n-1)$.所以$A,D$两点的纵坐标相同,即$AD/\!/x$轴.因为直线$l⊥AD$,所以直线$l⊥x$轴.
② $(s-m)+(t-n)=0$.理由如下:由(2)①,得点$D$的坐标为$(m+h,n-1)$,直线$l⊥x$轴.因为点$E$在直线$l$上,且$DE$的长的最小值为1,所以$h=1$,即点$D$的坐标为$(m+1,n-1)$.因为$B,D$两点以及点$(s,t)$都是关于$x,y$的二元一次方程$px+qy=k$($pq≠0$)的解$(x,y)$为坐标的点,所以$\begin{cases}pm+qn=k①,\\p(m+1)+q(n-1)=k②,\\ps+qt=k③.\end{cases}$由②-①,得$p-q=0$,即$p=q$;由③-①,得$p(s-m)+q(t-n)=0$.又$pq≠0$,所以$p=q≠0$.所以$(s-m)+(t-n)=0$.
(2) ① 直线$l⊥x$轴.理由如下:因为$b=n-1$,所以点$A$的坐标为$(a,n-1)$.由题意,得点$D$的坐标为$(m+h,n-1)$.所以$A,D$两点的纵坐标相同,即$AD/\!/x$轴.因为直线$l⊥AD$,所以直线$l⊥x$轴.
② $(s-m)+(t-n)=0$.理由如下:由(2)①,得点$D$的坐标为$(m+h,n-1)$,直线$l⊥x$轴.因为点$E$在直线$l$上,且$DE$的长的最小值为1,所以$h=1$,即点$D$的坐标为$(m+1,n-1)$.因为$B,D$两点以及点$(s,t)$都是关于$x,y$的二元一次方程$px+qy=k$($pq≠0$)的解$(x,y)$为坐标的点,所以$\begin{cases}pm+qn=k①,\\p(m+1)+q(n-1)=k②,\\ps+qt=k③.\end{cases}$由②-①,得$p-q=0$,即$p=q$;由③-①,得$p(s-m)+q(t-n)=0$.又$pq≠0$,所以$p=q≠0$.所以$(s-m)+(t-n)=0$.
解析：
【分析】
(1) 首先利用绝对值和算术平方根的非负性，两个非负数相加和为0时，每个非负数都为0，可求出a、b的值得到点A的坐标；再根据平移“横坐标右移加、纵坐标下移减”的规律，代入h=2即可计算得到点C的坐标。
(2) ① 先根据平移规则写出点D的坐标，结合b=n-1可发现点A和点D纵坐标相等，即可判断AD平行于x轴；再根据直线l垂直AD，就能推出l与x轴的位置关系。
② 首先根据垂线段最短，DE长度的最小值就是点D到直线l的距离，结合直线l是过点B的竖线可求出h=1，得到点D的坐标；再将B、D、(s,t)三个点代入二元一次方程，通过方程作差消元，结合pq≠0的条件即可推导得出所求式子的值。
【解析】
(1) 由绝对值和算术平方根的非负性可得：
$\begin{cases}a+3=0,\\b+1=0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-3,\\b=-1,\end{cases}$
即点A的坐标为$(-3,-1)$。
根据平移规则，点A向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到点C，因此点C的横坐标为$-3+2=-1$，纵坐标为$-1-1=-2$。
(2) ① 直线$l⊥x$轴，理由如下：
∵$b=n-1$，
∴点A坐标为$(a,n-1)$，
由平移规则可知，点B(m,n)平移后对应点D的坐标为$(m+h,n-1)$，
∴点A和点D纵坐标相等，即$AD// x$轴，
又
∵直线$l⊥AD$，
∴直线$l⊥x$轴。
② $(s-m)+(t-n)=0$，理由如下：
由①可知直线$l$是过点B(m,n)且垂直于x轴的直线，即直线l的表达式为$x=m$，
点E在直线l上，DE长度的最小值为点D到直线l的垂线段长度，即$(m+h)-m=h=1$，
∴点D的坐标为$(m+1,n-1)$。
∵B(m,n)、D(m+1,n-1)、(s,t)均为方程$px+qy=k(pq≠0)$的解，
∴可得：
$\begin{cases}pm+qn=k&①\\p(m+1)+q(n-1)=k&②\\ps+qt=k&③\end{cases}$
用②式减去①式得：$p - q = 0$，即$p=q$，
用③式减去①式得：$p(s-m)+q(t-n)=0$，
∵$pq≠0$，
∴$p=q≠0$，将$p=q$代入上式两边同时除以p，可得$(s-m)+(t-n)=0$。
【答案】
(1) 点C的坐标为$\boldsymbol{(-1,-2)}$；
(2) ① 直线$l$与$x$轴垂直；
② $\boldsymbol{(s-m)+(t-n)=0}$。
【知识点】
1. 非负数的性质
2. 坐标平移变换
3. 一次函数与二元一次方程的关系
【点评】
本题是平面直角坐标系综合题，将多个基础知识点结合考查，解题时要注意挖掘平移坐标变化规律、垂线段最短等隐含条件，灵活运用方程作差消元的方法简化计算，即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
(1) 首先利用绝对值和算术平方根的非负性，两个非负数相加和为0时，每个非负数都为0，可求出a、b的值得到点A的坐标；再根据平移“横坐标右移加、纵坐标下移减”的规律，代入h=2即可计算得到点C的坐标。
(2) ① 先根据平移规则写出点D的坐标，结合b=n-1可发现点A和点D纵坐标相等，即可判断AD平行于x轴；再根据直线l垂直AD，就能推出l与x轴的位置关系。
② 首先根据垂线段最短，DE长度的最小值就是点D到直线l的距离，结合直线l是过点B的竖线可求出h=1，得到点D的坐标；再将B、D、(s,t)三个点代入二元一次方程，通过方程作差消元，结合pq≠0的条件即可推导得出所求式子的值。
【解析】
(1) 由绝对值和算术平方根的非负性可得：
$\begin{cases}a+3=0,\\b+1=0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-3,\\b=-1,\end{cases}$
即点A的坐标为$(-3,-1)$。
根据平移规则，点A向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到点C，因此点C的横坐标为$-3+2=-1$，纵坐标为$-1-1=-2$。
(2) ① 直线$l⊥x$轴，理由如下：
∵$b=n-1$，
∴点A坐标为$(a,n-1)$，
由平移规则可知，点B(m,n)平移后对应点D的坐标为$(m+h,n-1)$，
∴点A和点D纵坐标相等，即$AD// x$轴，
又
∵直线$l⊥AD$，
∴直线$l⊥x$轴。
② $(s-m)+(t-n)=0$，理由如下：
由①可知直线$l$是过点B(m,n)且垂直于x轴的直线，即直线l的表达式为$x=m$，
点E在直线l上，DE长度的最小值为点D到直线l的垂线段长度，即$(m+h)-m=h=1$，
∴点D的坐标为$(m+1,n-1)$。
∵B(m,n)、D(m+1,n-1)、(s,t)均为方程$px+qy=k(pq≠0)$的解，
∴可得：
$\begin{cases}pm+qn=k&①\\p(m+1)+q(n-1)=k&②\\ps+qt=k&③\end{cases}$
用②式减去①式得：$p - q = 0$，即$p=q$，
用③式减去①式得：$p(s-m)+q(t-n)=0$，
∵$pq≠0$，
∴$p=q≠0$，将$p=q$代入上式两边同时除以p，可得$(s-m)+(t-n)=0$。
【答案】
(1) 点C的坐标为$\boldsymbol{(-1,-2)}$；
(2) ① 直线$l$与$x$轴垂直；
② $\boldsymbol{(s-m)+(t-n)=0}$。
【知识点】
1. 非负数的性质
2. 坐标平移变换
3. 一次函数与二元一次方程的关系
【点评】
本题是平面直角坐标系综合题，将多个基础知识点结合考查，解题时要注意挖掘平移坐标变化规律、垂线段最短等隐含条件，灵活运用方程作差消元的方法简化计算，即可顺利求解。
【难度系数】
0.6