11. 已知实数$x,y$满足$\sqrt{x-2}+(6-y)^2=0$，则$x+y$的值为
8
。答案：11. 8
解析：
【分析】
首先观察等式的构成，等式左边包含算术平方根和平方运算，我们学过算术平方根的结果是非负数，任意实数的平方也是非负数。根据非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每一个非负数的值都为0。因此我们可以分别令两个非负项等于0，列方程求出x、y的值，最后计算x+y的和即可。
【解析】
解：
∵$\sqrt{x-2} ≥ 0$，$(6-y)^2 ≥ 0$，且$\sqrt{x-2}+(6-y)^2=0$
∴$\sqrt{x-2}=0$，$(6-y)^2=0$
即$x-2=0$，$6-y=0$
解得：$x=2$，$y=6$
∴$x+y=2+6=8$
【答案】
8
【知识点】
非负数的性质、算术平方根的非负性、平方的非负性
【点评】
本题属于基础题，核心考查非负数的性质，常见的非负数类型有算术平方根、偶次幂、绝对值三类，遇到多个非负数的和为0的题型时，直接令每个非负项为0求解未知量即可。
【难度系数】
0.9
首先观察等式的构成，等式左边包含算术平方根和平方运算，我们学过算术平方根的结果是非负数，任意实数的平方也是非负数。根据非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每一个非负数的值都为0。因此我们可以分别令两个非负项等于0，列方程求出x、y的值，最后计算x+y的和即可。
【解析】
解：
∵$\sqrt{x-2} ≥ 0$，$(6-y)^2 ≥ 0$，且$\sqrt{x-2}+(6-y)^2=0$
∴$\sqrt{x-2}=0$，$(6-y)^2=0$
即$x-2=0$，$6-y=0$
解得：$x=2$，$y=6$
∴$x+y=2+6=8$
【答案】
8
【知识点】
非负数的性质、算术平方根的非负性、平方的非负性
【点评】
本题属于基础题，核心考查非负数的性质，常见的非负数类型有算术平方根、偶次幂、绝对值三类，遇到多个非负数的和为0的题型时，直接令每个非负项为0求解未知量即可。
【难度系数】
0.9
12. 亮点原创·据统计，截至3月3日22时，2026年中央广播电视总台元宵晚会境内新媒体直点播触达总数为11.35亿次，则近似值11.35亿精确到的数位是
百万
位。答案：12. 百万
解析：
【分析】
要判断带计数单位的近似数精确到的数位，核心是找到近似数的末位数字对应的实际数位。解题时可以先把带“亿”单位的数还原为普通整数，再看末位有效数字在整数中的数位即可；也可以直接根据单位换算，计算末位数字对应的具体数位。本题中11.35亿的末位数字是5，只需确定5对应的实际数位就能得到答案。
【解析】
首先将11.35亿还原为原数：
$11.35\mathrm{亿}=1135000000$
观察近似值11.35亿的最后一位有效数字是5，对应原数1135000000中5所在的数位为百万位，因此近似值11.35亿精确到百万位。
【答案】
百万
【知识点】
1. 近似数的精确度 2. 数位的识别
【点评】
本题是近似数精确度判断的常见题型，易错点是忽略计数单位“亿”，直接按小数的数位判断为精确到百分位，解题时要注意结合计数单位确定末位数字的实际位置。
【难度系数】
0.7
要判断带计数单位的近似数精确到的数位，核心是找到近似数的末位数字对应的实际数位。解题时可以先把带“亿”单位的数还原为普通整数，再看末位有效数字在整数中的数位即可；也可以直接根据单位换算，计算末位数字对应的具体数位。本题中11.35亿的末位数字是5，只需确定5对应的实际数位就能得到答案。
【解析】
首先将11.35亿还原为原数：
$11.35\mathrm{亿}=1135000000$
观察近似值11.35亿的最后一位有效数字是5，对应原数1135000000中5所在的数位为百万位，因此近似值11.35亿精确到百万位。
【答案】
百万
【知识点】
1. 近似数的精确度 2. 数位的识别
【点评】
本题是近似数精确度判断的常见题型，易错点是忽略计数单位“亿”，直接按小数的数位判断为精确到百分位，解题时要注意结合计数单位确定末位数字的实际位置。
【难度系数】
0.7
13. 新趋势 传统文化 我国古代数学家张衡将圆周率取值为$\sqrt{10}$，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为$\frac{22}{7}$。比较大小：$\sqrt{10}$
＞
$\frac{22}{7}$。（填“＞”或“＜”）答案：13. ＞
解析：
【分析】
要比较两个正数$\sqrt{10}$和$\frac{22}{7}$的大小，可利用正数的性质：对于两个正数a、b，若$a^2 ＞ b^2$，则$a ＞ b$；若$a^2 ＜ b^2$，则$a ＜ b$。我们可以分别计算两个数的平方，将无理数和分数的大小比较转化为有理数的大小比较，降低计算难度。
【解析】
∵ $\sqrt{10} ＞ 0$，$\frac{22}{7} ＞ 0$，
∴ 可通过比较两个数平方的大小判断原数大小：
1. 计算$\sqrt{10}$的平方：$(\sqrt{10})^2 = 10$；
2. 计算$\frac{22}{7}$的平方：$(\frac{22}{7})^2 = \frac{22^2}{7^2} = \frac{484}{49}$；
3. 比较平方结果：$10 = \frac{490}{49}$，$\frac{484}{49} ＜ \frac{490}{49}$，即$(\frac{22}{7})^2 ＜ (\sqrt{10})^2$；
根据正数平方大则原数更大的性质，可得$\sqrt{10} ＞ \frac{22}{7}$。
【答案】
＞
【知识点】
实数大小比较，二次根式的性质
【点评】
本题结合我国古代数学家的研究成果出题，既考查了实数大小比较的常用方法，又融入了传统文化知识，解题的关键是熟练掌握正数比较大小的平方比较法，整体解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
要比较两个正数$\sqrt{10}$和$\frac{22}{7}$的大小，可利用正数的性质：对于两个正数a、b，若$a^2 ＞ b^2$，则$a ＞ b$；若$a^2 ＜ b^2$，则$a ＜ b$。我们可以分别计算两个数的平方，将无理数和分数的大小比较转化为有理数的大小比较，降低计算难度。
【解析】
∵ $\sqrt{10} ＞ 0$，$\frac{22}{7} ＞ 0$，
∴ 可通过比较两个数平方的大小判断原数大小：
1. 计算$\sqrt{10}$的平方：$(\sqrt{10})^2 = 10$；
2. 计算$\frac{22}{7}$的平方：$(\frac{22}{7})^2 = \frac{22^2}{7^2} = \frac{484}{49}$；
3. 比较平方结果：$10 = \frac{490}{49}$，$\frac{484}{49} ＜ \frac{490}{49}$，即$(\frac{22}{7})^2 ＜ (\sqrt{10})^2$；
根据正数平方大则原数更大的性质，可得$\sqrt{10} ＞ \frac{22}{7}$。
【答案】
＞
【知识点】
实数大小比较，二次根式的性质
【点评】
本题结合我国古代数学家的研究成果出题，既考查了实数大小比较的常用方法，又融入了传统文化知识，解题的关键是熟练掌握正数比较大小的平方比较法，整体解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
14. 已知正数$x$的两个平方根分别是$a$和$a+b$.若$2a^2x + (a+b)^2x = 27$,则$x$的值为
3
.答案：14. 3
解析：
【分析】
解题时首先回忆平方根的性质：正数的两个平方根互为相反数，且每个平方根的平方都等于这个正数本身。观察给出的等式，发现式子中包含$a^2$和$(a+b)^2$，无需单独求解$a$、$b$的取值，利用“平方根的平方等于原数”的性质，把$a^2$和$(a+b)^2$都替换为$x$，整体代入等式即可得到只含$x$的方程，求解后结合$x$是正数的条件筛选结果即可。
【解析】
解：
∵ 正数$x$的两个平方根分别是$a$和$a+b$
∴ 根据平方根的性质可得：$a^2 = x$，$(a+b)^2 = x$
将$a^2 = x$，$(a+b)^2 = x$代入$2a^2x + (a+b)^2x = 27$，得：
$2· x · x + x · x = 27$
合并同类项得：$3x^2 = 27$
两边同时除以3得：$x^2 = 9$
又
∵ $x$是正数
∴ $x = \sqrt{9} = 3$
【答案】
3
【知识点】
平方根的性质，整体代入法，开平方运算
【点评】
本题考查平方根性质的灵活应用，解题时运用整体代入思想可大幅简化计算，避免不必要的运算步骤，求解后注意结合题干中$x$为正数的条件对解进行取舍。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆平方根的性质：正数的两个平方根互为相反数，且每个平方根的平方都等于这个正数本身。观察给出的等式，发现式子中包含$a^2$和$(a+b)^2$，无需单独求解$a$、$b$的取值，利用“平方根的平方等于原数”的性质，把$a^2$和$(a+b)^2$都替换为$x$，整体代入等式即可得到只含$x$的方程，求解后结合$x$是正数的条件筛选结果即可。
【解析】
解：
∵ 正数$x$的两个平方根分别是$a$和$a+b$
∴ 根据平方根的性质可得：$a^2 = x$，$(a+b)^2 = x$
将$a^2 = x$，$(a+b)^2 = x$代入$2a^2x + (a+b)^2x = 27$，得：
$2· x · x + x · x = 27$
合并同类项得：$3x^2 = 27$
两边同时除以3得：$x^2 = 9$
又
∵ $x$是正数
∴ $x = \sqrt{9} = 3$
【答案】
3
【知识点】
平方根的性质，整体代入法，开平方运算
【点评】
本题考查平方根性质的灵活应用，解题时运用整体代入思想可大幅简化计算，避免不必要的运算步骤，求解后注意结合题干中$x$为正数的条件对解进行取舍。
【难度系数】
0.7
15. 若非零实数$x,y$满足$\sqrt[3]{y-2x}+\sqrt[3]{x-3y}=0$，则$\frac{x}{y}=$
$-2$
.答案：15. $-2$
解析：
【分析】
首先观察等式特征：两个立方根的和为0，结合立方根的性质思考：立方根具有唯一性，且互为相反数的两个数的立方根也互为相反数，反之若两个数的立方根互为相反数，则这两个数本身也互为相反数。据此我们可以将含根号的等式转化为不含根号的整式等式，再通过移项、合并同类项整理出x与y的数量关系，最后结合x、y均为非零实数，两边同时除以y即可求出$\frac{x}{y}$的比值。
【解析】
解：已知$\sqrt[3]{y-2x}+\sqrt[3]{x-3y}=0$，
移项得：$\sqrt[3]{y-2x}=-\sqrt[3]{x-3y}$，
根据立方根的性质，等式两边同时立方，等式仍然成立，得：
$y-2x=-(x-3y)$，
去括号得：$y-2x=-x+3y$，
移项合并同类项得：$-x=2y$，
∵x、y为非零实数，
∴$y≠0$，
等式两边同时除以y得：$-\frac{x}{y}=2$，
即$\frac{x}{y}=-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
立方根的性质；等式的性质；代数式求值
【点评】
本题核心是利用立方根的性质将根式方程转化为整式方程，解题的关键是熟练掌握立方根的运算特性，整体计算量小，思路明确，属于基础类的性质应用题。
【难度系数】
0.7
首先观察等式特征：两个立方根的和为0，结合立方根的性质思考：立方根具有唯一性，且互为相反数的两个数的立方根也互为相反数，反之若两个数的立方根互为相反数，则这两个数本身也互为相反数。据此我们可以将含根号的等式转化为不含根号的整式等式，再通过移项、合并同类项整理出x与y的数量关系，最后结合x、y均为非零实数，两边同时除以y即可求出$\frac{x}{y}$的比值。
【解析】
解：已知$\sqrt[3]{y-2x}+\sqrt[3]{x-3y}=0$，
移项得：$\sqrt[3]{y-2x}=-\sqrt[3]{x-3y}$，
根据立方根的性质，等式两边同时立方，等式仍然成立，得：
$y-2x=-(x-3y)$，
去括号得：$y-2x=-x+3y$，
移项合并同类项得：$-x=2y$，
∵x、y为非零实数，
∴$y≠0$，
等式两边同时除以y得：$-\frac{x}{y}=2$，
即$\frac{x}{y}=-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
立方根的性质；等式的性质；代数式求值
【点评】
本题核心是利用立方根的性质将根式方程转化为整式方程，解题的关键是熟练掌握立方根的运算特性，整体计算量小，思路明确，属于基础类的性质应用题。
【难度系数】
0.7
16.（2026·江苏常州期末）观察下列等式：$\sqrt[3]{2\dfrac{2}{7}}=2×\sqrt[3]{\dfrac{2}{7}}$，$\sqrt[3]{3\dfrac{3}{26}}=3×\sqrt[3]{\dfrac{3}{26}}$，$\sqrt[3]{4\dfrac{4}{63}}=4×\sqrt[3]{\dfrac{4}{63}}$，则满足上述等式规律的一般化公式为________。（用含字母n的代数式表示，n为大于1的正整数）
答案：16. $\sqrt[3]{n+\dfrac{n}{n^3-1}}=n·\sqrt[3]{\dfrac{n}{n^3-1}}$
解析：
【分析】
解题时先分别拆解等式左右两边的结构，逐部分找与n的对应规律：①观察左边根号内的带分数：整数部分依次为2、3、4，对应大于1的正整数n；分数部分的分子和整数部分一致，也为n；分母依次为7=2³-1、26=3³-1、63=4³-1，即分母为n³-1。②观察等式右边：结构为整数n乘三次根号下分数，分数部分和左边带分数的分数部分完全相同，结合两部分规律即可整理出一般公式。
【解析】
我们对应n的取值验证规律：
当n=2时：左边=$\sqrt[3]{2+\dfrac{2}{2^3-1}}=\sqrt[3]{2\dfrac{2}{7}}$，右边=$2×\sqrt[3]{\dfrac{2}{2^3-1}}=2×\sqrt[3]{\dfrac{2}{7}}$，等式成立；
当n=3时：左边=$\sqrt[3]{3+\dfrac{3}{3^3-1}}=\sqrt[3]{3\dfrac{3}{26}}$，右边=$3×\sqrt[3]{\dfrac{3}{3^3-1}}=3×\sqrt[3]{\dfrac{3}{26}}$，等式成立；
当n=4时：左边=$\sqrt[3]{4+\dfrac{4}{4^3-1}}=\sqrt[3]{4\dfrac{4}{63}}$，右边=$4×\sqrt[3]{\dfrac{4}{4^3-1}}=4×\sqrt[3]{\dfrac{4}{63}}$，等式成立；
推广到n为大于1的正整数，可得一般化公式。
【答案】
$\sqrt[3]{n+\dfrac{n}{n^3-1}}=n·\sqrt[3]{\dfrac{n}{n^3-1}}$
【知识点】
数字规律探究，立方根的性质，代数式表示规律
【点评】
本题是规律探究类常规题型，解题核心是拆分等式各组成部分，分别对应n的特征找数量关系，得出规律后可代入已知示例验证，避免规律推导错误。
【难度系数】
0.7
解题时先分别拆解等式左右两边的结构，逐部分找与n的对应规律：①观察左边根号内的带分数：整数部分依次为2、3、4，对应大于1的正整数n；分数部分的分子和整数部分一致，也为n；分母依次为7=2³-1、26=3³-1、63=4³-1，即分母为n³-1。②观察等式右边：结构为整数n乘三次根号下分数，分数部分和左边带分数的分数部分完全相同，结合两部分规律即可整理出一般公式。
【解析】
我们对应n的取值验证规律：
当n=2时：左边=$\sqrt[3]{2+\dfrac{2}{2^3-1}}=\sqrt[3]{2\dfrac{2}{7}}$，右边=$2×\sqrt[3]{\dfrac{2}{2^3-1}}=2×\sqrt[3]{\dfrac{2}{7}}$，等式成立；
当n=3时：左边=$\sqrt[3]{3+\dfrac{3}{3^3-1}}=\sqrt[3]{3\dfrac{3}{26}}$，右边=$3×\sqrt[3]{\dfrac{3}{3^3-1}}=3×\sqrt[3]{\dfrac{3}{26}}$，等式成立；
当n=4时：左边=$\sqrt[3]{4+\dfrac{4}{4^3-1}}=\sqrt[3]{4\dfrac{4}{63}}$，右边=$4×\sqrt[3]{\dfrac{4}{4^3-1}}=4×\sqrt[3]{\dfrac{4}{63}}$，等式成立；
推广到n为大于1的正整数，可得一般化公式。
【答案】
$\sqrt[3]{n+\dfrac{n}{n^3-1}}=n·\sqrt[3]{\dfrac{n}{n^3-1}}$
【知识点】
数字规律探究，立方根的性质，代数式表示规律
【点评】
本题是规律探究类常规题型，解题核心是拆分等式各组成部分，分别对应n的特征找数量关系，得出规律后可代入已知示例验证，避免规律推导错误。
【难度系数】
0.7
17. 已知$\sqrt[3]{1 - a^2} = 1 - a^2$，则a的值为
$\pm\sqrt{2}$或$\pm1$或0
.答案：17. $\pm\sqrt{2}$或$\pm1$或0 解析:由题意,得 $1-a^2=1$ 或 $1-a^2=-1$ 或 $1-a^2=0$. 当 $1-a^2=1$ 时,$a=0$;当 $1-a^2=-1$ 时,$a=\pm\sqrt{2}$;当 $1-a^2=0$ 时,$a=\pm1$. 综上,$a$ 的值为 $\pm\sqrt{2}$ 或 $\pm1$ 或 0.
解析：
【分析】
拿到这道题，首先回忆立方根的性质：如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数只能是0、1或者-1。题目中给出$\sqrt[3]{1 - a^2} = 1 - a^2$，说明$1-a^2$就是立方根等于自身的数，因此我们可以分三种情况列方程，分别求解每种情况对应的a值，最后把所有符合条件的a值汇总就得到答案了，注意分类时不要遗漏任何一种情况。
【解析】
解：
∵ 立方根等于本身的数为0、1、-1，
∴ 根据题意$\sqrt[3]{1 - a^2} = 1 - a^2}$，分三种情况讨论：
① 当$1-a^2=1$时，
移项得$a^2=0$，解得$a=0$；
② 当$1-a^2=-1$时，
移项得$a^2=2$，解得$a=\pm\sqrt{2}$；
③ 当$1-a^2=0$时，
移项得$a^2=1$，解得$a=\pm1$。
综上，a的值为$\pm\sqrt{2}$或$\pm1$或0。
【答案】
$\pm\sqrt{2}$或$\pm1$或0
【知识点】
立方根的性质、平方根的运算
【点评】
本题属于基础易错题，核心考查立方根的性质，解题时要注意全面考虑立方根等于自身的数的所有可能取值，避免漏解。
【难度系数】
0.7
拿到这道题，首先回忆立方根的性质：如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数只能是0、1或者-1。题目中给出$\sqrt[3]{1 - a^2} = 1 - a^2$，说明$1-a^2$就是立方根等于自身的数，因此我们可以分三种情况列方程，分别求解每种情况对应的a值，最后把所有符合条件的a值汇总就得到答案了，注意分类时不要遗漏任何一种情况。
【解析】
解：
∵ 立方根等于本身的数为0、1、-1，
∴ 根据题意$\sqrt[3]{1 - a^2} = 1 - a^2}$，分三种情况讨论：
① 当$1-a^2=1$时，
移项得$a^2=0$，解得$a=0$；
② 当$1-a^2=-1$时，
移项得$a^2=2$，解得$a=\pm\sqrt{2}$；
③ 当$1-a^2=0$时，
移项得$a^2=1$，解得$a=\pm1$。
综上，a的值为$\pm\sqrt{2}$或$\pm1$或0。
【答案】
$\pm\sqrt{2}$或$\pm1$或0
【知识点】
立方根的性质、平方根的运算
【点评】
本题属于基础易错题，核心考查立方根的性质，解题时要注意全面考虑立方根等于自身的数的所有可能取值，避免漏解。
【难度系数】
0.7
18. 设$[x)$表示大于$x$的最小整数，如:$[3)=4,[-1.2)=-1$.有下列4个结论:①$[[0))=0$;②$[x)-x$的最小值是0;③$[x)-x$的最大值是1;④存在实数$x$,使$[x)-x=0.5$成立.其中正确的是
③④
.(填序号)答案：18. ③④ 解析:由题意,得 $x＜[x)≤ x+1$. 对于①,$[0)=1≠0$. 故①错误;对于②,因为 $[x)＞x$,所以$[x)-x＞0$. 故②错误;对于③,因为 $[x)≤ x+1$,所以$[x)-x≤1$,即$[x)-x$ 的最大值为 1. 故③正确;对于④,当 $x=1.5$ 时,$[x)=[1.5)=2$,所以$[x)-x=2-1.5=0.5$. 故④正确. 综上,正确的是③④.
解析：
【分析】
解题首先要准确理解新定义符号$[x)$的含义：大于$x$的最小整数，由此可推导得出$[x)$的取值范围为$x ＜ [x) ≤ x+1$。接下来逐个验证4个结论：对于①，先计算内层的$[0)$，再计算外层的结果即可判断；对于②③，结合推导的不等式分析$[x)-x$的取值范围，判断最值是否正确；对于④，通过举符合条件的实数实例即可验证是否成立。
【解析】
根据题意，$[x)$是大于$x$的最小整数，因此可得不等式关系：$\boldsymbol{x ＜ [x) ≤ x+1}$。
① 先计算内层：$[0)=1$，再计算外层$[[0))=[1)=2 ≠ 0$，故①错误；
② 由$[x) ＞ x$可得$[x)-x ＞ 0$，差值始终大于0，取不到0，因此最小值不是0，故②错误；
③ 由$[x) ≤ x+1$移项可得$[x)-x ≤ 1$，当$x$为整数时，$[x)=x+1$，此时差值为1，因此$[x)-x$的最大值是1，故③正确；
④ 举实例验证：当$x=1.5$时，$[1.5)=2$，则$[x)-x=2-1.5=0.5$，因此存在实数$x$使等式成立，故④正确。
综上，正确的结论是③④。
【答案】
③④
【知识点】
新定义运算，不等式的应用，实数的性质
【点评】
本题属于新定义类题型，核心考查对新运算规则的理解能力，以及运用不等式分析取值范围、举实例验证结论的方法，解题关键是准确把握$[x)$的取值范围，避免对新定义理解偏差导致判断错误。
【难度系数】
0.6
解题首先要准确理解新定义符号$[x)$的含义：大于$x$的最小整数，由此可推导得出$[x)$的取值范围为$x ＜ [x) ≤ x+1$。接下来逐个验证4个结论：对于①，先计算内层的$[0)$，再计算外层的结果即可判断；对于②③，结合推导的不等式分析$[x)-x$的取值范围，判断最值是否正确；对于④，通过举符合条件的实数实例即可验证是否成立。
【解析】
根据题意，$[x)$是大于$x$的最小整数，因此可得不等式关系：$\boldsymbol{x ＜ [x) ≤ x+1}$。
① 先计算内层：$[0)=1$，再计算外层$[[0))=[1)=2 ≠ 0$，故①错误；
② 由$[x) ＞ x$可得$[x)-x ＞ 0$，差值始终大于0，取不到0，因此最小值不是0，故②错误；
③ 由$[x) ≤ x+1$移项可得$[x)-x ≤ 1$，当$x$为整数时，$[x)=x+1$，此时差值为1，因此$[x)-x$的最大值是1，故③正确；
④ 举实例验证：当$x=1.5$时，$[1.5)=2$，则$[x)-x=2-1.5=0.5$，因此存在实数$x$使等式成立，故④正确。
综上，正确的结论是③④。
【答案】
③④
【知识点】
新定义运算，不等式的应用，实数的性质
【点评】
本题属于新定义类题型，核心考查对新运算规则的理解能力，以及运用不等式分析取值范围、举实例验证结论的方法，解题关键是准确把握$[x)$的取值范围，避免对新定义理解偏差导致判断错误。
【难度系数】
0.6
三、耐心解一解(共66分)
19. (6分)求下列各式中的$x$：
(1) $5x^2 - 10 = 0$；
(2) $(1 - x)^3 = -8$；
(3) $27(2x + 1)^3 + 1 = 0$。
19. (6分)求下列各式中的$x$：
(1) $5x^2 - 10 = 0$；
(2) $(1 - x)^3 = -8$；
(3) $27(2x + 1)^3 + 1 = 0$。
答案：19. (1) $x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2}$.(2) $x=3$.(3) $x=-\dfrac{2}{3}$.
解析：
【分析】
这三道题均属于利用开方运算解方程的基础题型，解题思路清晰：①对于含$x^2$的方程，先通过移项、系数化为1，将方程变形为$x^2=a$（$a≥0$）的形式，再根据平方根的性质开平方求解，注意正数的平方根有两个且互为相反数，不要漏解；②对于含三次方的方程，先通过移项、系数化为1，将方程变形为$(x+m)^3=a$的形式，再根据立方根的性质开立方得到一元一次方程，进而求解$x$，立方根只有唯一结果，不需要考虑多解情况。
【解析】
(1) 解方程$5x^2 - 10 = 0$
移项，得：$5x^2 = 10$
系数化为1，得：$x^2 = 2$
开平方，得：$x = \pm\sqrt{2}$
即$x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2}$
(2) 解方程$(1 - x)^3 = -8$
开立方，得：$1 - x = \sqrt[3]{-8} = -2$
移项计算，得：$x = 1 + 2 = 3$
(3) 解方程$27(2x + 1)^3 + 1 = 0$
移项，得：$27(2x + 1)^3 = -1$
系数化为1，得：$(2x + 1)^3 = -\dfrac{1}{27}$
开立方，得：$2x + 1 = \sqrt[3]{-\dfrac{1}{27}} = -\dfrac{1}{3}$
移项合并同类项，得：$2x = -\dfrac{4}{3}$
系数化为1，得：$x = -\dfrac{2}{3}$
【答案】
(1) $x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2}$；(2) $x=3$；(3) $x=-\dfrac{2}{3}$
【知识点】
平方根的性质，立方根的性质，直接开方法解方程
【点评】
本题是开方运算的基础应用题型，解题核心是熟练掌握平方根、立方根的性质，注意开平方时正数有两个互为相反数的根，避免漏解，开立方时注意符号的处理。
【难度系数】
0.8
这三道题均属于利用开方运算解方程的基础题型，解题思路清晰：①对于含$x^2$的方程，先通过移项、系数化为1，将方程变形为$x^2=a$（$a≥0$）的形式，再根据平方根的性质开平方求解，注意正数的平方根有两个且互为相反数，不要漏解；②对于含三次方的方程，先通过移项、系数化为1，将方程变形为$(x+m)^3=a$的形式，再根据立方根的性质开立方得到一元一次方程，进而求解$x$，立方根只有唯一结果，不需要考虑多解情况。
【解析】
(1) 解方程$5x^2 - 10 = 0$
移项，得：$5x^2 = 10$
系数化为1，得：$x^2 = 2$
开平方，得：$x = \pm\sqrt{2}$
即$x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2}$
(2) 解方程$(1 - x)^3 = -8$
开立方，得：$1 - x = \sqrt[3]{-8} = -2$
移项计算，得：$x = 1 + 2 = 3$
(3) 解方程$27(2x + 1)^3 + 1 = 0$
移项，得：$27(2x + 1)^3 = -1$
系数化为1，得：$(2x + 1)^3 = -\dfrac{1}{27}$
开立方，得：$2x + 1 = \sqrt[3]{-\dfrac{1}{27}} = -\dfrac{1}{3}$
移项合并同类项，得：$2x = -\dfrac{4}{3}$
系数化为1，得：$x = -\dfrac{2}{3}$
【答案】
(1) $x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2}$；(2) $x=3$；(3) $x=-\dfrac{2}{3}$
【知识点】
平方根的性质，立方根的性质，直接开方法解方程
【点评】
本题是开方运算的基础应用题型，解题核心是熟练掌握平方根、立方根的性质，注意开平方时正数有两个互为相反数的根，避免漏解，开立方时注意符号的处理。
【难度系数】
0.8
20. (8分)计算：
(1) (2024·海南)$\sqrt{9} ÷ |-3| + (\frac{1}{2})^0 × 2^2$；
(2) (2024·江苏徐州)$|-3| - 2024^0 + (\frac{1}{2})^{-1} + \sqrt[3]{-8}$；
(3) $(\sqrt{9})^2 + \sqrt[3]{-64} - \sqrt{17^2} - 8^2$；
(4) $\sqrt{(-4)^2} + \sqrt{2\frac{1}{4}} + \sqrt[3]{3\frac{3}{8}} - \sqrt{3^2 + 4^2}$；
(1) (2024·海南)$\sqrt{9} ÷ |-3| + (\frac{1}{2})^0 × 2^2$；
(2) (2024·江苏徐州)$|-3| - 2024^0 + (\frac{1}{2})^{-1} + \sqrt[3]{-8}$；
(3) $(\sqrt{9})^2 + \sqrt[3]{-64} - \sqrt{17^2} - 8^2$；
(4) $\sqrt{(-4)^2} + \sqrt{2\frac{1}{4}} + \sqrt[3]{3\frac{3}{8}} - \sqrt{3^2 + 4^2}$；
答案：20. (1) 原式$=3÷3+1×4=5$.(2) 原式$=3-1+2+(-2)=2$.(3) 原式$=9-4-17-64=-76$.(4) 原式$=4+\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}-5=2$.
解析：
【分析】
这几道题均属于实数混合运算类题目，解题遵循“先化简、后运算”的原则：①先分别计算每一项的乘方、开方（平方根、立方根）、绝对值、零指数幂、负整数指数幂；②再按照先乘除后加减的顺序计算，最终得出结果，每一小问只需先拆分各个运算单元分别化简，再合并计算即可。
【解析】
(1) 先化简各部分：$\sqrt{9}=3$，$|-3|=3$，非零数的零次幂为1，故$(\frac{1}{2})^0=1$，$2^2=4$，代入计算：
原式$=3÷3 + 1×4 = 1 + 4 = 5$
(2) 先化简各部分：$|-3|=3$，$2024^0=1$，负指数幂等于对应正指数幂的倒数，故$(\frac{1}{2})^{-1}=2$，$\sqrt[3]{-8}=-2$，代入计算：
原式$=3 - 1 + 2 + (-2) = 2$
(3) 先化简各部分：$(\sqrt{9})^2=9$，$\sqrt[3]{-64}=-4$，$\sqrt{17^2}=17$，$8^2=64$，代入计算：
原式$=9 - 4 - 17 - 64 = -76$
(4) 先化简各部分：$\sqrt{(-4)^2}=\sqrt{16}=4$，$\sqrt{2\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$，$\sqrt[3]{3\frac{3}{8}}=\sqrt[3]{\frac{27}{8}}=\frac{3}{2}$，$\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$，代入计算：
原式$=4 + \frac{3}{2} + \frac{3}{2} - 5 = 4 + 3 - 5 = 2$
【答案】
(1)5；(2)2；(3)-76；(4)2
【知识点】
实数混合运算，零/负指数幂运算，开方运算
【点评】
本题是实数运算的基础题型，核心是熟练掌握各类基础运算的化简规则，计算时注意运算顺序和符号问题，细心计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
这几道题均属于实数混合运算类题目，解题遵循“先化简、后运算”的原则：①先分别计算每一项的乘方、开方（平方根、立方根）、绝对值、零指数幂、负整数指数幂；②再按照先乘除后加减的顺序计算，最终得出结果，每一小问只需先拆分各个运算单元分别化简，再合并计算即可。
【解析】
(1) 先化简各部分：$\sqrt{9}=3$，$|-3|=3$，非零数的零次幂为1，故$(\frac{1}{2})^0=1$，$2^2=4$，代入计算：
原式$=3÷3 + 1×4 = 1 + 4 = 5$
(2) 先化简各部分：$|-3|=3$，$2024^0=1$，负指数幂等于对应正指数幂的倒数，故$(\frac{1}{2})^{-1}=2$，$\sqrt[3]{-8}=-2$，代入计算：
原式$=3 - 1 + 2 + (-2) = 2$
(3) 先化简各部分：$(\sqrt{9})^2=9$，$\sqrt[3]{-64}=-4$，$\sqrt{17^2}=17$，$8^2=64$，代入计算：
原式$=9 - 4 - 17 - 64 = -76$
(4) 先化简各部分：$\sqrt{(-4)^2}=\sqrt{16}=4$，$\sqrt{2\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$，$\sqrt[3]{3\frac{3}{8}}=\sqrt[3]{\frac{27}{8}}=\frac{3}{2}$，$\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$，代入计算：
原式$=4 + \frac{3}{2} + \frac{3}{2} - 5 = 4 + 3 - 5 = 2$
【答案】
(1)5；(2)2；(3)-76；(4)2
【知识点】
实数混合运算，零/负指数幂运算，开方运算
【点评】
本题是实数运算的基础题型，核心是熟练掌握各类基础运算的化简规则，计算时注意运算顺序和符号问题，细心计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8