21. (8分)(2026·江苏宿迁期末)已知实数$a,b$满足$b^2=1+\sqrt{a-2}-\sqrt{2-a}$，且$|b|+b＞0$，求$\frac{2026}{ab}+\frac{2026}{(a+1)(b+1)}+\frac{2026}{(a+2)(b+2)}+\dots+\frac{2026}{(a+2024)(b+2024)}$的值。
答案：21. 由题意,得 $a-2≥0,2-a≥0$,所以 $a≥2,a≤2$,即$a=2$. 所以 $b^2=1$. 又 $|b|+b＞0$,所以 $b＞0$,即 $b=1$. 所以 原式 $=\dfrac{2026}{1×2}+\dfrac{2026}{2×3}+\dfrac{2026}{3×4}+\dots+\dfrac{2026}{2025×2026}=2026×(\dfrac{1}{1×2}+\dfrac{1}{2×3}+\dfrac{1}{3×4}+\dots+\dfrac{1}{2025×2026})=2026×(1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dots+\dfrac{1}{2025}-\dfrac{1}{2026})=2026×(1-\dfrac{1}{2026})=2025$.
解析：
【分析】
解题时第一步先确定参数a的取值：根据二次根式被开方数必须是非负数的要求，a-2和2-a都要大于等于0，可直接得出a=2；第二步将a代入式子求出b²的值，再结合|b|+b＞0的条件判断b的符号，得到b的取值；第三步把a、b代入所求式子，观察到每一项的分母是两个相邻正整数的乘积，可利用裂项相消法拆分分数，简化计算即可求出结果。
【解析】
解：要使二次根式$\sqrt{a-2}$和$\sqrt{2-a}$有意义，需满足被开方数非负，即：
$\begin{cases}a-2≥0 \\ 2-a≥0\end{cases}$
解得$a≥2$且$a≤2$，因此$a=2$。
将$a=2$代入$b^2=1+\sqrt{a-2}-\sqrt{2-a}$，得$b^2=1+0-0=1$，所以$b=\pm1$。
又因为$|b|+b＞0$：若$b≤0$，则$|b|=-b$，$|b|+b=-b+b=0$，不符合条件，因此$b＞0$，即$b=1$。
将$a=2$，$b=1$代入原式，得：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2026}{1×2}+\frac{2026}{2×3}+\frac{2026}{3×4}+\dots+\frac{2026}{2025×2026} \\&=2026×(\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\dots+\frac{1}{2025×2026}) \\&=2026×(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026}) \\&=2026×(1-\frac{1}{2026}) \\&=2026-1 \\&=2025\end{aligned}$
【答案】
$\boxed{2025}$
【知识点】
二次根式有意义的条件；绝对值的性质；裂项相消求和
【点评】
本题是代数综合类题型，解题的突破口是利用二次根式的隐含取值范围求出a的值，再结合绝对值的性质确定b的符号，最后运用裂项相消法简化分式求和运算，能很好地考察学生的综合运算能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
解题时第一步先确定参数a的取值：根据二次根式被开方数必须是非负数的要求，a-2和2-a都要大于等于0，可直接得出a=2；第二步将a代入式子求出b²的值，再结合|b|+b＞0的条件判断b的符号，得到b的取值；第三步把a、b代入所求式子，观察到每一项的分母是两个相邻正整数的乘积，可利用裂项相消法拆分分数，简化计算即可求出结果。
【解析】
解：要使二次根式$\sqrt{a-2}$和$\sqrt{2-a}$有意义，需满足被开方数非负，即：
$\begin{cases}a-2≥0 \\ 2-a≥0\end{cases}$
解得$a≥2$且$a≤2$，因此$a=2$。
将$a=2$代入$b^2=1+\sqrt{a-2}-\sqrt{2-a}$，得$b^2=1+0-0=1$，所以$b=\pm1$。
又因为$|b|+b＞0$：若$b≤0$，则$|b|=-b$，$|b|+b=-b+b=0$，不符合条件，因此$b＞0$，即$b=1$。
将$a=2$，$b=1$代入原式，得：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2026}{1×2}+\frac{2026}{2×3}+\frac{2026}{3×4}+\dots+\frac{2026}{2025×2026} \\&=2026×(\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\dots+\frac{1}{2025×2026}) \\&=2026×(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026}) \\&=2026×(1-\frac{1}{2026}) \\&=2026-1 \\&=2025\end{aligned}$
【答案】
$\boxed{2025}$
【知识点】
二次根式有意义的条件；绝对值的性质；裂项相消求和
【点评】
本题是代数综合类题型，解题的突破口是利用二次根式的隐含取值范围求出a的值，再结合绝对值的性质确定b的符号，最后运用裂项相消法简化分式求和运算，能很好地考察学生的综合运算能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7