2. 已知在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°, BA=BC，P为射线BC上一动点，连接AP，在直线AB的左上方作AQ⊥AP，且AQ=AP，连接CQ交射线AB于点M.
(1) 如图①，当点P在线段BC上时，过点Q作QH⊥AB于点H，则QH
(2) 如图②，当点P在线段BC的延长线上时，线段QM与CM的上述数量关系还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请写出理由；
(3) 在(2)的条件下，若AB=3BM，求$\frac{CP}{AM}$的值.
(1) 如图①，当点P在线段BC上时，过点Q作QH⊥AB于点H，则QH
=
AB，QM =
CM(填“＞”“＜”或“=”);(2) 如图②，当点P在线段BC的延长线上时，线段QM与CM的上述数量关系还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请写出理由；
(3) 在(2)的条件下，若AB=3BM，求$\frac{CP}{AM}$的值.
答案：2. (1) = = 解析:因为∠ABC=90°,QH⊥AB,所以∠AHQ=∠QHM=∠PBA=90°. 所以∠HQA+∠HAQ=90°. 因为AQ⊥AP,且AQ=AP,所以∠QAP=90°. 所以∠HAQ+∠BAP=90°. 所以∠HQA=∠BAP. 所以△AQH≌△PAB(AAS). 所以QH=AB. 因为BA=BC,所以QH=CB. 又∠QHM=∠CBM=90°,∠HMQ=∠BMC,所以△QMH≌△CMB(AAS). 所以QM=CM.
(2) 成立. 理由如下:过点Q作QH⊥AB,交AB的延长线于点H,所以∠H=90°. 所以∠HQA+∠HAQ=90°. 因为AQ⊥AP,且AQ=AP,所以∠QAP=90°. 所以∠HAQ+∠BAP=90°. 所以∠HQA=∠BAP. 又∠ABC=90°,所以∠H=∠ABP=90°. 所以△AQH≌△PAB(AAS). 所以QH=AB. 因为AB=BC,所以QH=CB. 又∠CBM=180°−∠ABC=90°,所以∠CBM=∠H=90°. 又∠QMH=∠CMB,所以△QHM≌△CBM(AAS). 所以QM=CM.
(3) 设BM=a. 因为AB=3BM,所以AB=3a. 所以AM=AB+BM=4a. 又AB=BC,所以BC=3a. 由(2),得△AQH≌△PAB,△QHM≌△CBM,所以AH=PB,HM=BM=a,即AH=AM+HM=5a. 所以PB=5a. 所以CP=PB−BC=2a. 所以$\frac{CP}{AM}=\frac{2a}{4a}=\frac{1}{2}$.
(2) 成立. 理由如下:过点Q作QH⊥AB,交AB的延长线于点H,所以∠H=90°. 所以∠HQA+∠HAQ=90°. 因为AQ⊥AP,且AQ=AP,所以∠QAP=90°. 所以∠HAQ+∠BAP=90°. 所以∠HQA=∠BAP. 又∠ABC=90°,所以∠H=∠ABP=90°. 所以△AQH≌△PAB(AAS). 所以QH=AB. 因为AB=BC,所以QH=CB. 又∠CBM=180°−∠ABC=90°,所以∠CBM=∠H=90°. 又∠QMH=∠CMB,所以△QHM≌△CBM(AAS). 所以QM=CM.
(3) 设BM=a. 因为AB=3BM,所以AB=3a. 所以AM=AB+BM=4a. 又AB=BC,所以BC=3a. 由(2),得△AQH≌△PAB,△QHM≌△CBM,所以AH=PB,HM=BM=a,即AH=AM+HM=5a. 所以PB=5a. 所以CP=PB−BC=2a. 所以$\frac{CP}{AM}=\frac{2a}{4a}=\frac{1}{2}$.
典例【问题情境】有这样一个问题:如图①,把一个等腰直角三角板(AB=BC,∠ABC=90°)放入一个“U”形槽中,使三角形的三个顶点A,B,C分别在槽的两壁及底边上滑动.已知∠D=∠E=90°.在滑动过程中,你发现线段AD与BE之间有什么关系?试说明你的结论;
【变式探究】小明在解决这个问题后,将其命名为“一线三等角”模型.如图②,在△ABC中,D,E,F三点分别在边BC,AB,AC上.若∠B=∠FDE=∠C,则这三个相等的角之间的联系又会使图形中出现其他的一些等角.请你写出其中的一组,并加以说明;
【拓展应用】如图③,在△ABC中,BA=BC,∠B=45°,D,F分别是边BC,AB上的动点,且AF=2BD,以DF为腰向右作等腰三角形DEF,使DE=DF,∠EDF=45°,连接CE.
(1) 试判断线段DC,BD,BF之间的数量关系,并说明理由;
(2) 如图④,点G在AC上,且CG=2,连接EA,EG,∠CAE=30°,直接写出EA+EG的最小值.
母题分析▶熟悉“一线三等角”模型的结构特征,并证明符合这一特征的两个三角形全等;根据给出的条件构造“一线三等角”模型,再结合条件求解.
【答案】
【问题情境】AD=BE.理由如下:因为∠D=90°,所以∠ABD+∠BAD=90°.因为∠ABC=90°,所以∠ABD+∠CBE=180°−∠ABC=90°,即∠BAD=∠CBE.又∠D=∠E,AB=BC,所以△ABD≌△BCE(AAS).所以AD=BE.
【变式探究】∠BED=∠CDF,∠BDE=∠CFD.说明如下:因为∠B+∠BED+∠BDE=180°,∠FDE+∠CDF+∠BDE=180°,∠C+∠CDF+∠CFD=180°,∠B=∠FDE=∠C,所以∠BED=∠CDF,∠BDE=∠CFD.
【拓展应用】(1) BD+BF=DC.理由如下:因为BA=BC,所以AF+BF=BD+DC.因为AF=2BD,所以2BD+BF=BD+DC,即BD+BF=DC.
(2) EA+EG的最小值为4. 解析:如图⑤,在DC上截取MD=BF,连接ME,作点G关于直线CE的对称点N,连接AN,CN,EN,则EN=EG,CN=CG,∠NCE=∠ACE.因为∠B=45°,∠EDF=45°,所以∠B=∠EDF.因为∠B+∠BFD+∠BDF=180°,∠EDF+∠MDE+∠BDF=180°,所以∠MDE=∠BFD.又ED=DF,所以△MED≌△BDF(SAS).所以∠DME=∠B=45°,ME=BD.由(1),得BD+BF=DC,且CM+MD=DC,所以BD=CM,即ME=CM.所以∠MCE=∠MEC.所以∠DME=∠MCE+∠MEC=2∠MCE,即2∠MCE=45°.所以∠MCE=22.5°.因为BA=BC,所以$∠BAC=∠BCA=\frac{1}{2}(180°−∠B)=67.5°.$所以∠NCE=∠ACE=∠BCA−∠MCE=45°,即∠ACN=∠ACE+∠NCE=90°.因为EA+EG=EA+EN,所以结合图形可知,当A,E,N三点共线时,EA+EG=EA+EN的值最小,且最小值为AN的长.因为∠CAE=30°,CG=2,所以AN=2CN=2CG=4.所以EA+EG的最小值为4.
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【变式探究】小明在解决这个问题后,将其命名为“一线三等角”模型.如图②,在△ABC中,D,E,F三点分别在边BC,AB,AC上.若∠B=∠FDE=∠C,则这三个相等的角之间的联系又会使图形中出现其他的一些等角.请你写出其中的一组,并加以说明;
【拓展应用】如图③,在△ABC中,BA=BC,∠B=45°,D,F分别是边BC,AB上的动点,且AF=2BD,以DF为腰向右作等腰三角形DEF,使DE=DF,∠EDF=45°,连接CE.
(1) 试判断线段DC,BD,BF之间的数量关系,并说明理由;
(2) 如图④,点G在AC上,且CG=2,连接EA,EG,∠CAE=30°,直接写出EA+EG的最小值.
母题分析▶熟悉“一线三等角”模型的结构特征,并证明符合这一特征的两个三角形全等;根据给出的条件构造“一线三等角”模型,再结合条件求解.
【答案】
【问题情境】AD=BE.理由如下:因为∠D=90°,所以∠ABD+∠BAD=90°.因为∠ABC=90°,所以∠ABD+∠CBE=180°−∠ABC=90°,即∠BAD=∠CBE.又∠D=∠E,AB=BC,所以△ABD≌△BCE(AAS).所以AD=BE.
【变式探究】∠BED=∠CDF,∠BDE=∠CFD.说明如下:因为∠B+∠BED+∠BDE=180°,∠FDE+∠CDF+∠BDE=180°,∠C+∠CDF+∠CFD=180°,∠B=∠FDE=∠C,所以∠BED=∠CDF,∠BDE=∠CFD.
【拓展应用】(1) BD+BF=DC.理由如下:因为BA=BC,所以AF+BF=BD+DC.因为AF=2BD,所以2BD+BF=BD+DC,即BD+BF=DC.
(2) EA+EG的最小值为4. 解析:如图⑤,在DC上截取MD=BF,连接ME,作点G关于直线CE的对称点N,连接AN,CN,EN,则EN=EG,CN=CG,∠NCE=∠ACE.因为∠B=45°,∠EDF=45°,所以∠B=∠EDF.因为∠B+∠BFD+∠BDF=180°,∠EDF+∠MDE+∠BDF=180°,所以∠MDE=∠BFD.又ED=DF,所以△MED≌△BDF(SAS).所以∠DME=∠B=45°,ME=BD.由(1),得BD+BF=DC,且CM+MD=DC,所以BD=CM,即ME=CM.所以∠MCE=∠MEC.所以∠DME=∠MCE+∠MEC=2∠MCE,即2∠MCE=45°.所以∠MCE=22.5°.因为BA=BC,所以$∠BAC=∠BCA=\frac{1}{2}(180°−∠B)=67.5°.$所以∠NCE=∠ACE=∠BCA−∠MCE=45°,即∠ACN=∠ACE+∠NCE=90°.因为EA+EG=EA+EN,所以结合图形可知,当A,E,N三点共线时,EA+EG=EA+EN的值最小,且最小值为AN的长.因为∠CAE=30°,CG=2,所以AN=2CN=2CG=4.所以EA+EG的最小值为4.
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答案：问题情境
解：$AD=BE$，理由如下：
$\because ∠ D=90°$，
$\therefore ∠ ABD + ∠ BAD=90°$。
$\because ∠ ABC=90°$，
$\therefore ∠ ABD + ∠ CBE=180°-∠ ABC=90°$，
即$∠ BAD=∠ CBE$。
又$\because ∠ D=∠ E$，$AB=BC$，
$\therefore △ ABD ≌ △ BCE(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AD=BE$。
---
变式探究
解：一组等角为$∠ BED=∠ CDF$，说明如下：
$\because ∠ B + ∠ BED + ∠ BDE=180°$，
$∠ FDE + ∠ CDF + ∠ BDE=180°$，
又$\because ∠ B=∠ FDE$，
$\therefore ∠ BED=∠ CDF$。
（同理可得另一组等角$∠ BDE=∠ CFD$）
---
拓展应用
(1) 解：$BD+BF=DC$，理由如下：
$\because BA=BC$，
$\therefore AF+BF=BD+DC$。
$\because AF=2BD$，
代入得$2BD+BF=BD+DC$，
整理得$BD+BF=DC$。
(2) 解：$EA+EG$的最小值为$\boldsymbol{4}$。
解：$AD=BE$，理由如下：
$\because ∠ D=90°$，
$\therefore ∠ ABD + ∠ BAD=90°$。
$\because ∠ ABC=90°$，
$\therefore ∠ ABD + ∠ CBE=180°-∠ ABC=90°$，
即$∠ BAD=∠ CBE$。
又$\because ∠ D=∠ E$，$AB=BC$，
$\therefore △ ABD ≌ △ BCE(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AD=BE$。
---
变式探究
解：一组等角为$∠ BED=∠ CDF$，说明如下：
$\because ∠ B + ∠ BED + ∠ BDE=180°$，
$∠ FDE + ∠ CDF + ∠ BDE=180°$，
又$\because ∠ B=∠ FDE$，
$\therefore ∠ BED=∠ CDF$。
（同理可得另一组等角$∠ BDE=∠ CFD$）
---
拓展应用
(1) 解：$BD+BF=DC$，理由如下：
$\because BA=BC$，
$\therefore AF+BF=BD+DC$。
$\because AF=2BD$，
代入得$2BD+BF=BD+DC$，
整理得$BD+BF=DC$。
(2) 解：$EA+EG$的最小值为$\boldsymbol{4}$。