1. 定义:如果两条线段将一个三角形分成3个小等腰三角形,那么我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线.在$△ ABC$中,$∠ B=30°$,$AD$和$DE$是$△ ABC$的三分线,点$D$在边$BC$上,点$E$在边$AC$上,且$AD=BD$,$DE=CE$,则$∠ C$所有可能的度数为
20°或40°
.答案：
1. 20°或40° 解析:设∠C=x°. 因为AD=BD,DE=CE,∠B=30°,所以∠BAD=∠B=30°,∠CDE=∠C,即∠CDE=x°. 所以∠AED=∠C+∠CDE=(2x)°,∠ADC=∠B+∠BAD=60°,即∠ADE=∠ADC−∠CDE=(60−x)°. 由题意,得△ADE是等腰三角形,所以分类讨论如下:① 如图①,当AD=AE时,∠ADE=∠AED,所以60−x=2x,解得x=20. 则∠C=20°; ② 如图②,当AD=DE时,∠DAE=∠AED=(2x)°. 又∠ADE+∠DAE+∠AED=180°,所以60−x+2x+2x=180°,解得x=40. 则∠C=40°; ③ 当AE=DE时,∠DAE=∠ADE=(60−x)°. 则∠DAE+∠ADE+∠AED=120°≠180°. 此时不符合题意,舍去. 综上,∠C的度数为20°或40°.
1. 20°或40° 解析:设∠C=x°. 因为AD=BD,DE=CE,∠B=30°,所以∠BAD=∠B=30°,∠CDE=∠C,即∠CDE=x°. 所以∠AED=∠C+∠CDE=(2x)°,∠ADC=∠B+∠BAD=60°,即∠ADE=∠ADC−∠CDE=(60−x)°. 由题意,得△ADE是等腰三角形,所以分类讨论如下:① 如图①,当AD=AE时,∠ADE=∠AED,所以60−x=2x,解得x=20. 则∠C=20°; ② 如图②,当AD=DE时,∠DAE=∠AED=(2x)°. 又∠ADE+∠DAE+∠AED=180°,所以60−x+2x+2x=180°,解得x=40. 则∠C=40°; ③ 当AE=DE时,∠DAE=∠ADE=(60−x)°. 则∠DAE+∠ADE+∠AED=120°≠180°. 此时不符合题意,舍去. 综上,∠C的度数为20°或40°.
典例② 如图①，等边三角形ABC的边长为6 cm，点P在边AB上以1 cm/s的速度从点A向点B运动，到点B停止；同时点Q在射线BC上以3 cm/s的速度从点B开始运动，随着点P的停止而停止。设运动时间为t s.
（1）用含t的代数式表示线段长度：BP=cm，BQ=cm；
（2）当t为何值时，△BPQ为直角三角形？
（3）若运动过程中，线段PQ与边AC交于点M，则是否存在M为线段PQ中点的情况？若存在，请求出此时的t值和MC的长；若不存在，请说明理由。
【答案】（1）$(6-t)$ $3t$
（2）因为△ABC是边长为6 cm的等边三角形，所以$AB=BC=6\ \mathrm{cm}$，$∠ B=60°$.又△BPQ为直角三角形，所以有以下两种情况：①当$∠ BQP=90°$时，$∠ BPQ=90°-∠ B=30°$.所以$BQ=\frac{1}{2}BP$.由（1），得$BP=(6-t)\ \mathrm{cm}$，$BQ=3t\ \mathrm{cm}$，所以$3t=\frac{1}{2}(6-t)$，解得$t=\frac{6}{7}$；②当$∠ BPQ=90°$时，$∠ BQP=90°-∠ B=30°$.所以$BP=\frac{1}{2}BQ$.同理，得$6-t=\frac{1}{2}×3t$，解得$t=\frac{12}{5}$.综上，当$t=\frac{6}{7}$或$\frac{12}{5}$时，△BPQ为直角三角形.
（3）存在.如图②，过点P作$PN// BC$交AC于点N.所以$∠ APN=∠ B$，$∠ ANP=∠ ACB$，$∠ PNM=∠ QCM$.由题意，得$AP=t\ \mathrm{cm}$，$BQ=3t\ \mathrm{cm}$，$∠ A=∠ B=∠ ACB=60°$，$AB=AC=BC=6\ \mathrm{cm}$，即$∠ A=∠ APN=∠ ANP=60°$.所以△APN是等边三角形.所以$PN=AN=AP=t\ \mathrm{cm}$.因为M为线段PQ的中点，所以$PM=QM$.又$∠ PMN=∠ QMC$，所以△PNM≌△QCM（AAS）.所以$PN=QC$，$MN=MC$，即$CQ=t\ \mathrm{cm}$.所以$BQ=BC+CQ=(6+t)\ \mathrm{cm}$.所以$3t=6+t$，解得$t=3$.所以当$t=3$时，M为线段PQ的中点，此时$AN=3\ \mathrm{cm}$.所以$CN=AC-AN=3\ \mathrm{cm}$.所以$MC=\frac{1}{2}CN=1.5\ \mathrm{cm}$.
要点提示▶解答此类问题要灵活利用含$30°$角的直角三角形的性质，并构造出全等三角形，找到线段之间的数量关系，列方程解决问题.
（1）用含t的代数式表示线段长度：BP=cm，BQ=cm；
（2）当t为何值时，△BPQ为直角三角形？
（3）若运动过程中，线段PQ与边AC交于点M，则是否存在M为线段PQ中点的情况？若存在，请求出此时的t值和MC的长；若不存在，请说明理由。
【答案】（1）$(6-t)$ $3t$
（2）因为△ABC是边长为6 cm的等边三角形，所以$AB=BC=6\ \mathrm{cm}$，$∠ B=60°$.又△BPQ为直角三角形，所以有以下两种情况：①当$∠ BQP=90°$时，$∠ BPQ=90°-∠ B=30°$.所以$BQ=\frac{1}{2}BP$.由（1），得$BP=(6-t)\ \mathrm{cm}$，$BQ=3t\ \mathrm{cm}$，所以$3t=\frac{1}{2}(6-t)$，解得$t=\frac{6}{7}$；②当$∠ BPQ=90°$时，$∠ BQP=90°-∠ B=30°$.所以$BP=\frac{1}{2}BQ$.同理，得$6-t=\frac{1}{2}×3t$，解得$t=\frac{12}{5}$.综上，当$t=\frac{6}{7}$或$\frac{12}{5}$时，△BPQ为直角三角形.
（3）存在.如图②，过点P作$PN// BC$交AC于点N.所以$∠ APN=∠ B$，$∠ ANP=∠ ACB$，$∠ PNM=∠ QCM$.由题意，得$AP=t\ \mathrm{cm}$，$BQ=3t\ \mathrm{cm}$，$∠ A=∠ B=∠ ACB=60°$，$AB=AC=BC=6\ \mathrm{cm}$，即$∠ A=∠ APN=∠ ANP=60°$.所以△APN是等边三角形.所以$PN=AN=AP=t\ \mathrm{cm}$.因为M为线段PQ的中点，所以$PM=QM$.又$∠ PMN=∠ QMC$，所以△PNM≌△QCM（AAS）.所以$PN=QC$，$MN=MC$，即$CQ=t\ \mathrm{cm}$.所以$BQ=BC+CQ=(6+t)\ \mathrm{cm}$.所以$3t=6+t$，解得$t=3$.所以当$t=3$时，M为线段PQ的中点，此时$AN=3\ \mathrm{cm}$.所以$CN=AC-AN=3\ \mathrm{cm}$.所以$MC=\frac{1}{2}CN=1.5\ \mathrm{cm}$.
要点提示▶解答此类问题要灵活利用含$30°$角的直角三角形的性质，并构造出全等三角形，找到线段之间的数量关系，列方程解决问题.
答案：解：
(1) $(6-t)$；$3t$
(2) $\because △ ABC$是边长为6 cm的等边三角形，
$\therefore AB=BC=6\ \mathrm{cm}$，$∠ B=60°$。
$△ BPQ$为直角三角形分两种情况：
① 当$∠ BQP=90°$时，$∠ BPQ=90°-∠ B=30°$，
$\therefore BQ=\frac{1}{2}BP$。
将$BP=6-t$，$BQ=3t$代入得：
$3t=\frac{1}{2}(6-t)$，
解得$t=\frac{6}{7}$；
② 当$∠ BPQ=90°$时，$∠ BQP=90°-∠ B=30°$，
$\therefore BP=\frac{1}{2}BQ$。
代入得：
$6-t=\frac{1}{2}× 3t$，
解得$t=\frac{12}{5}$。
综上，当$t=\frac{6}{7}$或$t=\frac{12}{5}$时，$△ BPQ$为直角三角形。
(3) 存在。
过点$P$作$PN// BC$，交$AC$于点$N$，
$\therefore ∠ APN=∠ B$，$∠ ANP=∠ ACB$，$∠ PNM=∠ QCM$。
$\because △ ABC$是等边三角形，
$\therefore ∠ A=∠ B=∠ ACB=60°$，$AB=AC=6\ \mathrm{cm}$，
$\therefore ∠ A=∠ APN=∠ ANP=60°$，
$\therefore △ APN$是等边三角形，
$\therefore PN=AN=AP=t\ \mathrm{cm}$。
$\because M$是线段$PQ$的中点，
$\therefore PM=QM$。
又$\because ∠ PMN=∠ QMC$，
$\therefore △ PNM≌ △ QCM(\mathrm{AAS})$，
$\therefore PN=QC$，$MN=MC$，即$CQ=t\ \mathrm{cm}$。
$\because BQ=BC+CQ$，
$\therefore 3t=6+t$，
解得$t=3$。
此时$AN=AP=3\ \mathrm{cm}$，
$\therefore CN=AC-AN=6-3=3\ \mathrm{cm}$，
$\therefore MC=\frac{1}{2}CN=1.5\ \mathrm{cm}$。
答：存在M为线段PQ中点的情况，此时$t=3$，$MC$的长为$1.5\ \mathrm{cm}$。
(1) $(6-t)$；$3t$
(2) $\because △ ABC$是边长为6 cm的等边三角形，
$\therefore AB=BC=6\ \mathrm{cm}$，$∠ B=60°$。
$△ BPQ$为直角三角形分两种情况：
① 当$∠ BQP=90°$时，$∠ BPQ=90°-∠ B=30°$，
$\therefore BQ=\frac{1}{2}BP$。
将$BP=6-t$，$BQ=3t$代入得：
$3t=\frac{1}{2}(6-t)$，
解得$t=\frac{6}{7}$；
② 当$∠ BPQ=90°$时，$∠ BQP=90°-∠ B=30°$，
$\therefore BP=\frac{1}{2}BQ$。
代入得：
$6-t=\frac{1}{2}× 3t$，
解得$t=\frac{12}{5}$。
综上，当$t=\frac{6}{7}$或$t=\frac{12}{5}$时，$△ BPQ$为直角三角形。
(3) 存在。
过点$P$作$PN// BC$，交$AC$于点$N$，
$\therefore ∠ APN=∠ B$，$∠ ANP=∠ ACB$，$∠ PNM=∠ QCM$。
$\because △ ABC$是等边三角形，
$\therefore ∠ A=∠ B=∠ ACB=60°$，$AB=AC=6\ \mathrm{cm}$，
$\therefore ∠ A=∠ APN=∠ ANP=60°$，
$\therefore △ APN$是等边三角形，
$\therefore PN=AN=AP=t\ \mathrm{cm}$。
$\because M$是线段$PQ$的中点，
$\therefore PM=QM$。
又$\because ∠ PMN=∠ QMC$，
$\therefore △ PNM≌ △ QCM(\mathrm{AAS})$，
$\therefore PN=QC$，$MN=MC$，即$CQ=t\ \mathrm{cm}$。
$\because BQ=BC+CQ$，
$\therefore 3t=6+t$，
解得$t=3$。
此时$AN=AP=3\ \mathrm{cm}$，
$\therefore CN=AC-AN=6-3=3\ \mathrm{cm}$，
$\therefore MC=\frac{1}{2}CN=1.5\ \mathrm{cm}$。
答：存在M为线段PQ中点的情况，此时$t=3$，$MC$的长为$1.5\ \mathrm{cm}$。