(2026·江苏连云港期中)小南对发声物体的振动实验做了进一步探究,请认真阅读,并完成后面的任务.
| 课题 | 发声物体的振动实验的探究 |
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| 工具 | 测量角度的仪器(仪器的高度忽略不计)、直角三角板、刻度尺等 |
| 测量方案 | 如图①,在支架横杆上的点O处用一根细绳悬挂一个小球A,小球A可以自由摆动,OA表示小球静止时的位置.当小南用发声物体靠近小球A时,如图②,小球从OA摆动到OB位置,此时过点B作$BD⊥OA$于点D,当小球摆动到OC位置时,OB与OC恰好垂直(图中的A,B,O,C四点在同一平面上),过点C作$CE⊥OD$于点E. |
| 测量示意图 |
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| 任务一 | 求证:$∠COE=∠B$. |
| 任务二 | 经测量,得知点B到点D的距离是8 cm,细绳OA的长是15 cm,求AE的长. |
| 拓展应用 | 如图③,在$△ ABC$中,D是AC的中点,过点D作$DE⊥AB$,垂足为E,BC的垂直平分线分别交BC,DE于F,G两点,且$BC=2FG$.若$AE=4$,$BE=6$,则DG的长为
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| 课题 | 发声物体的振动实验的探究 |
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| 工具 | 测量角度的仪器(仪器的高度忽略不计)、直角三角板、刻度尺等 |
| 测量方案 | 如图①,在支架横杆上的点O处用一根细绳悬挂一个小球A,小球A可以自由摆动,OA表示小球静止时的位置.当小南用发声物体靠近小球A时,如图②,小球从OA摆动到OB位置,此时过点B作$BD⊥OA$于点D,当小球摆动到OC位置时,OB与OC恰好垂直(图中的A,B,O,C四点在同一平面上),过点C作$CE⊥OD$于点E. |
| 测量示意图 |
|| 任务一 | 求证:$∠COE=∠B$. |
| 任务二 | 经测量,得知点B到点D的距离是8 cm,细绳OA的长是15 cm,求AE的长. |
| 拓展应用 | 如图③,在$△ ABC$中,D是AC的中点,过点D作$DE⊥AB$,垂足为E,BC的垂直平分线分别交BC,DE于F,G两点,且$BC=2FG$.若$AE=4$,$BE=6$,则DG的长为
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. |答案：
任务一 因为OB⊥OC,所以∠BOC=90°,即∠BOD+∠COE=90°. 因为BD⊥OA,所以∠BDO=90°,即∠BOD+∠B=90°. 所以∠COE=∠B.
任务二 因为BD⊥OA,CE⊥OA,所以∠CEO=∠ODB=90°. 由任务一,得∠COE=∠B,且OB=OC,所以△COE≌△OBD(AAS). 所以OE=BD. 由题意,得BD=8 cm,所以OE=8 cm. 又OA=15 cm,所以AE=OA−OE=7 cm.
拓展应用 1 解析:如图,延长ED至点H,使得DH=DE,连接HC,GB,GC. 因为D是AC的中点,所以AD=CD. 又∠ADE=∠CDH,所以△ADE≌△CDH(SAS). 所以AE=CH,∠A=∠DCH. 所以AB//CH. 因为DE⊥AB,所以CH⊥DE,即∠BEG=∠DHC=∠AED=90°. 因为GF垂直平分BC,BC=2FG,所以∠GFB=∠GFC=90°,GF=BF=CF,GB=GC. 所以△GFB,△GFC是等腰直角三角形. 所以∠BGF=∠CGF=45°. 所以∠BGC=90°. 因为∠EGB+∠EBG=90°,∠EGB+∠HGC=180°−∠BGC=90°,所以∠EBG=∠HGC. 所以△EBG≌△HGC(AAS). 所以BE=GH,EG=HC. 又AE=4,BE=6,所以GH=6,EG=CH=AE=4,即EH=EG+GH=10. 所以$DE=\frac{1}{2}EH=5$. 所以DG=DE−EG=1.
任务一 因为OB⊥OC,所以∠BOC=90°,即∠BOD+∠COE=90°. 因为BD⊥OA,所以∠BDO=90°,即∠BOD+∠B=90°. 所以∠COE=∠B.
任务二 因为BD⊥OA,CE⊥OA,所以∠CEO=∠ODB=90°. 由任务一,得∠COE=∠B,且OB=OC,所以△COE≌△OBD(AAS). 所以OE=BD. 由题意,得BD=8 cm,所以OE=8 cm. 又OA=15 cm,所以AE=OA−OE=7 cm.
拓展应用 1 解析:如图,延长ED至点H,使得DH=DE,连接HC,GB,GC. 因为D是AC的中点,所以AD=CD. 又∠ADE=∠CDH,所以△ADE≌△CDH(SAS). 所以AE=CH,∠A=∠DCH. 所以AB//CH. 因为DE⊥AB,所以CH⊥DE,即∠BEG=∠DHC=∠AED=90°. 因为GF垂直平分BC,BC=2FG,所以∠GFB=∠GFC=90°,GF=BF=CF,GB=GC. 所以△GFB,△GFC是等腰直角三角形. 所以∠BGF=∠CGF=45°. 所以∠BGC=90°. 因为∠EGB+∠EBG=90°,∠EGB+∠HGC=180°−∠BGC=90°,所以∠EBG=∠HGC. 所以△EBG≌△HGC(AAS). 所以BE=GH,EG=HC. 又AE=4,BE=6,所以GH=6,EG=CH=AE=4,即EH=EG+GH=10. 所以$DE=\frac{1}{2}EH=5$. 所以DG=DE−EG=1.