典例① 若$a+\sqrt{a-3}=3$，则$\sqrt{a+3}$的值为。
【思路点拨】先将原式化为$\sqrt{a-3}=3-a$，再用算术平方根的双重非负性列不等式：$a-3≥0$，$3-a≥0$，解得$a≥3$，$a≤3$。所以$a=3$。所以$\sqrt{a+3}=\sqrt{6}$。
【答案】$\sqrt{6}$
名师大招▶算术平方根的双重非负性是指：$a≥0$，$\sqrt{a}≥0$，常以$\sqrt{a}$的双重非负性命题，注意隐含条件$a≥0$。
【思路点拨】先将原式化为$\sqrt{a-3}=3-a$，再用算术平方根的双重非负性列不等式：$a-3≥0$，$3-a≥0$，解得$a≥3$，$a≤3$。所以$a=3$。所以$\sqrt{a+3}=\sqrt{6}$。
【答案】$\sqrt{6}$
名师大招▶算术平方根的双重非负性是指：$a≥0$，$\sqrt{a}≥0$，常以$\sqrt{a}$的双重非负性命题，注意隐含条件$a≥0$。
答案：$\sqrt{6}$
解析：
解：
由$a+\sqrt{a-3}=3$，移项得$\sqrt{a-3}=3-a$。
根据算术平方根的双重非负性：
被开方数非负，即$a-3≥0$，解得$a≥3$；
算术平方根的值非负，即$\sqrt{a-3}≥0$，因此$3-a≥0$，解得$a≤3$。
所以同时满足$a≥3$和$a≤3$，可得$a=3$。
将$a=3$代入$\sqrt{a+3}$，得$\sqrt{a+3}=\sqrt{3+3}=\sqrt{6}$。
最终
由$a+\sqrt{a-3}=3$，移项得$\sqrt{a-3}=3-a$。
根据算术平方根的双重非负性：
被开方数非负，即$a-3≥0$，解得$a≥3$；
算术平方根的值非负，即$\sqrt{a-3}≥0$，因此$3-a≥0$，解得$a≤3$。
所以同时满足$a≥3$和$a≤3$，可得$a=3$。
将$a=3$代入$\sqrt{a+3}$，得$\sqrt{a+3}=\sqrt{3+3}=\sqrt{6}$。
最终
1. 已知$|a - 3| + \sqrt{3 + b} = 0$，则$(\dfrac{a}{b})^{2026}$的值为（
A.1
B.$-1$
C.2
D.$-2$
A
）A.1
B.$-1$
C.2
D.$-2$
答案：A 解析: 因为$|a - 3| + \sqrt{3 + b} = 0$，$|a - 3|≥0$，$\sqrt{3 + b}≥0$，所以$|a - 3|=0$，$\sqrt{3 + b}=0$。所以$a - 3=0$，$3 + b=0$。所以$a=3$，$b=-3$。所以$\dfrac{a}{b}=-1$。所以$(\dfrac{a}{b})^{2026}=(-1)^{2026}=1$。
2. 新素养 抽象能力 若$\sqrt{16-n}$是整数，则满足条件的正整数$n$的个数为（
A.2
B.3
C.4
D.5
C
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案：C 解析:由题意，得$16-n≥0$，$n$为正整数，所以$0＜n≤16$，$n$为正整数。又$\sqrt{16-n}$是整数，所以$16-n$是一个平方数，即$n=7$或$12$或$15$或$16$，共有4个。
典例② 已知一个正数$ x $的两个平方根分别是$ 5n - 9, 3 - 2n $，求$ x $的值.
【思路点拨】由一个正数的两个平方根互为相反数，得$ 5n - 9 + 3 - 2n = 0 $，解方程求解，并获得最终结果.
【答案】由题意，得$ 5n - 9 + 3 - 2n = 0 $，解得$ n = 2 $. 则$ 5n - 9 = 1, 3 - 2n = -1 $. 又$ (\pm 1)^2 = 1 $，所以$ x $的值为$ 1 $.
【知识总结】▶牢记“一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根”，不能混淆正数的平方根与算术平方根.
【思路点拨】由一个正数的两个平方根互为相反数，得$ 5n - 9 + 3 - 2n = 0 $，解方程求解，并获得最终结果.
【答案】由题意，得$ 5n - 9 + 3 - 2n = 0 $，解得$ n = 2 $. 则$ 5n - 9 = 1, 3 - 2n = -1 $. 又$ (\pm 1)^2 = 1 $，所以$ x $的值为$ 1 $.
【知识总结】▶牢记“一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根”，不能混淆正数的平方根与算术平方根.
答案：解：
∵ 一个正数的两个平方根互为相反数，
∴ $(5n - 9) + (3 - 2n) = 0$，
整理得 $3n - 6 = 0$，
解得 $n = 2$。
将$n=2$代入两个平方根：
$5n - 9 = 5×2 - 9 = 1$，
$3 - 2n = 3 - 2×2 = -1$，
∴ $x = (\pm1)^2 = 1$。
∵ 一个正数的两个平方根互为相反数，
∴ $(5n - 9) + (3 - 2n) = 0$，
整理得 $3n - 6 = 0$，
解得 $n = 2$。
将$n=2$代入两个平方根：
$5n - 9 = 5×2 - 9 = 1$，
$3 - 2n = 3 - 2×2 = -1$，
∴ $x = (\pm1)^2 = 1$。
3. 满足方程$(2x - 1)^2 - 16 = 9$的$x$的值为
3或－2
。答案：3或－2 解析: 因为$(2x - 1)^2 - 16 = 9$，所以$(2x - 1)^2=25$。所以$2x - 1=5$或$2x - 1=-5$，解得$x=3$或$x=-2$。则$x$的值为3或－2。
4. 已知$x$的两个平方根分别是$a+3$与$2a-15$，且$2b-1$的算术平方根是$3$，求$a$，$b$，$x$的值。
答案：因为$x$的两个平方根分别是$a+3$与$2a-15$，且$2b-1$的算术平方根是3，所以$a+3+2a-15=0$，$2b-1=9$，解得$a=4$，$b=5$。所以$a$的值为4，$b$的值为5，即$x=(a+3)^2=49$。