典例③ 若$\sqrt[3]{8-y}$与$\sqrt[3]{2y-5}$互为相反数，负数$(x+4)$的立方根是它本身，求$x+y$的立方根。
【思路点拨】由题干中的条件，分别求出$x,y$的值，再求出最终结果。
【答案】因为$\sqrt[3]{8-y}$与$\sqrt[3]{2y-5}$互为相反数，负数$(x+4)$的立方根是它本身，所以$\sqrt[3]{8-y}+\sqrt[3]{2y-5}=0$，$x+4=-1$，即$8-y+2y-5=0$，解得$y=-3$，$x=-5$。则$x+y=-8$。又$-8$的立方根是$-2$，所以$x+y$的立方根是$-2$。
名师大招▶1. 任何实数都有立方根，当$a＞0$时，$\sqrt[3]{a}＞0$；当$a=0$时，$\sqrt[3]{a}=0$；当$a＜0$时，$\sqrt[3]{a}＜0$。
2. $\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$，$(\sqrt[3]{a})^3=a$。
【思路点拨】由题干中的条件，分别求出$x,y$的值，再求出最终结果。
【答案】因为$\sqrt[3]{8-y}$与$\sqrt[3]{2y-5}$互为相反数，负数$(x+4)$的立方根是它本身，所以$\sqrt[3]{8-y}+\sqrt[3]{2y-5}=0$，$x+4=-1$，即$8-y+2y-5=0$，解得$y=-3$，$x=-5$。则$x+y=-8$。又$-8$的立方根是$-2$，所以$x+y$的立方根是$-2$。
名师大招▶1. 任何实数都有立方根，当$a＞0$时，$\sqrt[3]{a}＞0$；当$a=0$时，$\sqrt[3]{a}=0$；当$a＜0$时，$\sqrt[3]{a}＜0$。
2. $\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$，$(\sqrt[3]{a})^3=a$。
答案：解：
$\because \sqrt[3]{8-y}$与$\sqrt[3]{2y-5}$互为相反数，
$\therefore \sqrt[3]{8-y} + \sqrt[3]{2y-5} = 0$，
由立方根的性质可得：$8-y + 2y -5 = 0$，
解得：$y=-3$。
$\because$ 负数$(x+4)$的立方根是它本身，立方根等于自身的负数只有$-1$，
$\therefore x+4=-1$，
解得：$x=-5$。
$\therefore x+y = -5 + (-3) = -8$，
$\because -8$的立方根是$-2$，
$\therefore x+y$的立方根是$-2$。
$\because \sqrt[3]{8-y}$与$\sqrt[3]{2y-5}$互为相反数，
$\therefore \sqrt[3]{8-y} + \sqrt[3]{2y-5} = 0$，
由立方根的性质可得：$8-y + 2y -5 = 0$，
解得：$y=-3$。
$\because$ 负数$(x+4)$的立方根是它本身，立方根等于自身的负数只有$-1$，
$\therefore x+4=-1$，
解得：$x=-5$。
$\therefore x+y = -5 + (-3) = -8$，
$\because -8$的立方根是$-2$，
$\therefore x+y$的立方根是$-2$。
5. 新素养 推理能力 已知$\sqrt[3]{x-2} - x = -2$，$\sqrt[3]{3y - 1}$与$\sqrt[3]{1 - 2x}$互为相反数，求$y^x$的值。
答案：因为$\sqrt[3]{x-2} - x = -2$，所以$\sqrt[3]{x-2}=x-2$，即$x-2=\pm1$或0。又$\sqrt[3]{3y-1}$与$\sqrt[3]{1-2x}$互为相反数，所以$3y-1+1-2x=0$，即$2x=3y$。当$x-2=0$时，$x=2$，则$y=\dfrac{4}{3}$。所以$y^x=\dfrac{16}{9}$；当$x-2=-1$时，$x=1$，则$y=\dfrac{2}{3}$。所以$y^x=\dfrac{2}{3}$；当$x-2=1$时，$x=3$，则$y=2$。所以$y^x=8$。综上，$y^x$的值为$\dfrac{2}{3}$或$\dfrac{16}{9}$或8。
典例④若$a^2=16$，$\sqrt[3]{b}=2$，则$a+b$的算术平方根为 （）
A.$\sqrt{12}$
B.2
C.12或4
D.$\sqrt{12}$或2
【思路点拨】由$a^2=16$，得$a=\pm4$。由$\sqrt[3]{b}=2$，得$b=8$。则$a+b=12$或4。又12的算术平方根为$\sqrt{12}$，4的算术平方根为2，所以$a+b$的算术平方根为$\sqrt{12}$或2。
【答案】D
A.$\sqrt{12}$
B.2
C.12或4
D.$\sqrt{12}$或2
【思路点拨】由$a^2=16$，得$a=\pm4$。由$\sqrt[3]{b}=2$，得$b=8$。则$a+b=12$或4。又12的算术平方根为$\sqrt{12}$，4的算术平方根为2，所以$a+b$的算术平方根为$\sqrt{12}$或2。
【答案】D
答案：D
解析：
由$a^2=16$，得$a=\pm4$；由$\sqrt[3]{b}=2$，得$b=2^3=8$。分两种情况计算：当$a=4$时，$a+b=4+8=12$，12的算术平方根为$\sqrt{12}$；当$a=-4$时，$a+b=-4+8=4$，4的算术平方根为2。因此$a+b$的算术平方根为$\sqrt{12}$或2。
6. 已知 $5a+2$ 的立方根是 $3$，$3a+b-1$ 的算术平方根是 $4$。
（1）求 $a$，$b$ 的值；
（2）求 $2a+3b$ 的平方根。
（1）求 $a$，$b$ 的值；
（2）求 $2a+3b$ 的平方根。
答案：（1）因为$5a+2$的立方根是3，$3a+b-1$的算术平方根是4，所以$5a+2=3^3$，$3a+b-1=4^2$，解得$a=5$，$b=2$。则$a$的值为5，$b$的值为2。
（2）由（1），得$a=5$，$b=2$，所以$2a+3b=16$。因为$(\pm4)^2=16$，所以$2a+3b$的平方根是$\pm4$。
（2）由（1），得$a=5$，$b=2$，所以$2a+3b=16$。因为$(\pm4)^2=16$，所以$2a+3b$的平方根是$\pm4$。